Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

numerisk integrasjon

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i R2 om numerisk integrasjon

Oppgavene

R2 høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

Funksjonen f f er gitt ved
f(x)=32x f(x) = 3^{2x}
Programmet nedenfor beregner arealet avgrenset av grafen til f, f\text{,} x x -aksen og linjene x=0 {x = 0} og x=2 {x = 2} ved hjelp av to ulike metoder.

Oppgave 4a)

Forklar hvorfor den ene metoden vil gi en litt for høy verdi for arealet, og den andre metoden en litt for lav verdi.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
f f er voksende, så venstre kant gir rektangler under grafen, og høyre kant rektangler over:
areal_til_hoyre: for lav‾‾areal_til_venstre: for høy‾‾ \begin{aligned} \texttt{areal\_til\_hoyre}\text{:}\ & \underline{\underline{\text{for lav}}} \\ \texttt{areal\_til\_venstre}\text{:}\ & \underline{\underline{\text{for høy}}} \end{aligned}
Begge metodene deler området i \( 100 \) rektangler med bredde \( dx\text{.} \) Vi ser på hvilken kant av rektanglene som bestemmer høyden, og bruker at \( f \) er voksende.
Metode: For hånd
1. Se hvilken høyde rektanglene får Begge funksjonene legger sammen høyde ganger bredde, \( {f(x) \cdot dx}\text{,} \) for \( 100 \) rektangler (linje 14 og 21).
I \( \texttt{areal\_til\_hoyre} \) går \( \texttt{i} \) fra \( 0 \) til \( 99 \) i linje 12, så \( x \) i linje 13 er \( \textcolor{blue}{\text{venstre kant}} \) av hvert rektangel. Rektangelet går til høyre derfra.
I \( \texttt{areal\_til\_venstre} \) går \( \texttt{i} \) fra \( 1 \) til \( 100 \) i linje 19, så \( x \) i linje 20 er \( \textcolor{red}{\text{høyre kant}}\text{.} \) Rektangelet går til venstre derfra.
2. Bruk at funksjonen vokser \( {f(x) = 3^{2x} = 9^x} \) er voksende, fordi grunntallet \( 9 \) er større enn \( 1\text{.} \) På hvert lite intervall er grafen derfor lavest i \( \textcolor{blue}{\text{venstre kant}} \) og høyest i \( \textcolor{red}{\text{høyre kant}}\text{.} \)
Rektanglene i \( \texttt{areal\_til\_hoyre} \) ligger da under grafen og gir en litt for lav verdi. Rektanglene i \( \texttt{areal\_til\_venstre} \) stikker over grafen og gir en litt for høy verdi. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Riemann sum.
Kontroll: Programmet skriver ut \( 35{,}62 \) og \( 37{,}22\text{,} \) og det eksakte arealet er \( {\int_0^2 9^x\,dx = \dfrac{80}{\ln 9} \approx 36{,}41}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Lag et program som beregner arealet mer nøyaktig uten å dele det opp i flere deler. Ta utgangspunkt i koden nedenfor, og skriv ferdig funksjonen «bedre_metode()». Hvis du programmerer i et annet programmeringsspråk enn Python, må du først skrive en kode som samsvarer med koden nedenfor i språket du bruker.
Husk å legge ved skjermbilde av programmet du lager, og resultatet du får når du kjører programmet.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Vi bruker rektanglene fra a), der den ene metoden ga for lite og den andre for mye.
Vi beholder de \( 100 \) delene, men bruker trapeser i stedet for rektangler. Et trapes følger grafen fra venstre kant til høyre kant, så det ligger mye nærmere arealet.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å forklare hvorfor trapeser gir et bedre svar enn rektangler.
Metode: Med Python
1. Bruk trapeser i stedet for rektangler Et trapes med bredde \( dx \) og høyder \( \textcolor{blue}{f(x)} \) og \( {\textcolor{red}{f(x + dx)}} \) har arealet: \[ A = \dfrac{\textcolor{blue}{f(x)} + \textcolor{red}{f(x + dx)}}{2} \cdot dx \]Hvis du er usikker på trapesmetoden, kan du se videoen Trapesmetoden.
Det er gjennomsnittet av rektangelet med \( \textcolor{blue}{\text{venstre kant}} \) og rektangelet med \( \textcolor{red}{\text{høyre kant}} \) fra a). Den ene ga for lite og den andre for mye, så gjennomsnittet ligger mye nærmere.
2. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 12 og 13 går gjennom de samme venstre kantene som \( \texttt{areal\_til\_hoyre}\text{,} \) og linje 14 legger til arealet av ett trapes for hver \( x\text{.} \) Linje 15 og 17 er som i koden fra oppgaven, så linjenumrene stemmer.
3. Kjør programmet Programmet skriver ut \( 36{,}415\,428\dots\text{,} \) mens det eksakte arealet er \( {\dfrac{80}{\ln 9} \approx 36{,}409\,57}\text{.} \) Feilen er omtrent \( 0{,}006\text{,} \) mot omtrent \( 0{,}8 \) med rektanglene i a).