Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

logistisk regresjon

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i R2 om logistisk regresjon

Oppgavene

R2 vår 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

Tabellen nedenfor viser hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming av musikk i Norge noen år i perioden 2008–2018.
A˚rStrømming200822010702012246201445620165822018655 \begin{array}{r|r} \text{År} & \text{Strømming} \\ \hline 2008 & 2 \\ 2010 & 70 \\ 2012 & 246 \\ 2014 & 456 \\ 2016 & 582 \\ 2018 & 655 \end{array}

Oppgave 1a)

Lag en modell F F som du kan bruke til å bestemme hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming i Norge per år i perioden 2008–2018 og årene etterpå. Velg x x -verdier slik at F(0) F(0) gir hvor mange millioner kroner som ble brukt i 2008. Begrunn valget av modell.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med x x år etter 2008 og F(x) F(x) i millioner kroner per år:
F(x)≈660,361+30,72e−0,7066x‾‾ \underline{\underline{F(x) \approx \dfrac{660{,}36}{1 + 30{,}72e^{-0{,}7066x}}}}
Veksten bremser opp i tabellen, og en logistisk modell flater ut mot en øvre grense, også i årene etterpå.
Tallene vokser sakte, så raskt, og så saktere igjen. Det er formen til en logistisk modell, som også flater ut i årene etterpå. Vi lar \( x \) være antall år etter 2008 og bruker logistisk regresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å se av tallene hvilken type modell som passer, og på å bruke en gitt logistisk modell med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Velg modell Økningen er \( 68\text{,} \) \( 176\text{,} \) \( 210\text{,} \) \( 126 \) og \( 73 \) millioner kroner for hvert andre år. Den blir først større og så mindre, så veksten bremser opp. Da passer en logistisk modell, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den vokser på samme måte, og flater ut mot en øvre grense. Det passer også for årene etterpå: hvor mye folk bruker på strømming, kan ikke vokse uten grense.
2. Legg punktene inn i GeoGebra Med \( x \) år etter 2008 blir årene \( 0\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 8 \) og \( 10\text{.} \) Vi skriver dem i kolonne A og beløpene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
3. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{1 + \textcolor{blue}{a}e^{-\textcolor{green}{b}x}} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)
Grafen går nær alle punktene, og flater ut mot \( {\textcolor{red}{c} \approx \textcolor{red}{660}} \) millioner kroner per år.
Nedenfor ser du fire formler.
I=∫−0,510,5F(x) dxG=15∫2,57,5F(x) dxS=∑i=010F(i)D=F(5,001)−F(5)0,001 \begin{aligned} I &= \int_{-0{,}5}^{10{,}5} F(x)\,dx \\ G &= \dfrac{1}{5}\int_{2{,}5}^{7{,}5} F(x)\,dx \\ S &= \sum_{i = 0}^{10} F(i) \\ D &= \dfrac{F(5{,}001) - F(5)}{0{,}001} \end{aligned}

Oppgave 1b)

Bestem I, I\text{,} G, G\text{,} S S og D. D\text{.}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
I≈3729G≈344S≈3729D≈116‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} I &\approx 3729 & G &\approx 344 \\ S &\approx 3729 & D &\approx 116 \end{aligned}}}
Vi bruker modellen fra a): \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{660{,}36}}{1 + \textcolor{blue}{30{,}72}e^{-\textcolor{green}{0{,}7066}x}} \]
Vi henter modellen inn i CAS og skriver de fire formlene som de står. CAS gir et tall for hver.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC har du ikke modellen fra a). Øv heller på å forstå hva et integral, en gjennomsnittsverdi, en sum og en differansekvotient betyr, som i c).
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut formlene i CAS Rad 1 henter modellen fra lista \( l_1\text{.} \) Så skriver vi integralene med Integral, summen med Sum og differansekvotienten. Hvis du er usikker på hva integralet er, kan du se videoen Hva er integrasjon:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) := RegLogist(l1) ≈ Integral(F(x), -0.5, 10.5) ≈ 1/5 Integral(F(x), 2.5, 7.5) ≈ Sum(F(i), i, 0, 10) ≈ (F(5.001) - F(5))/0.001
\( I \) og \( S \) er nesten like. Det er ingen tilfeldighet, og c) forklarer hvorfor.

Oppgave 1c)

Gi en praktisk tolkning av svarene i oppgave b.
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
- I≈3729: {I \approx 3729}\text{:} Til sammen ble det brukt omtrent 3,7 3{,}7 milliarder kroner på strømming fra 2008 til 2018. - G≈344: {G \approx 344}\text{:} I årene 2011 til 2015 ble det i gjennomsnitt brukt omtrent 344 344 millioner kroner per år. - S≈3729: {S \approx 3729}\text{:} Summen av beløpene for hvert av årene 2008 til 2018, også omtrent 3,7 3{,}7 milliarder kroner. - D≈116: {D \approx 116}\text{:} I 2013 økte beløpet med omtrent 116 116 millioner kroner per år.
Fra b) er \( {I \approx 3729}\text{,} \) \( {G \approx 344}\text{,} \) \( {S \approx 3729} \) og \( {D \approx 116}\text{.} \) Modellen \( F(x) \) fra a) gir millioner kroner per år, \( x \) år etter 2008.
Vi ser hvilke år hver formel dekker. Året \( {2008 + i} \) svarer til intervallet fra \( {x = i - 0{,}5} \) til \( {x = i + 0{,}5}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Tolk integralene Integralet av en vekstfart er det som samles opp, her millioner kroner. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Fra \( {x = -0{,}5} \) til \( {x = 10{,}5} \) dekker \( \textcolor{blue}{I} \) årene 2008 til 2018: \[ \textcolor{blue}{I} \approx \textcolor{blue}{3729} \text{ millioner kroner totalt} \]
\( \textcolor{red}{G} \) er integralet fra \( 2{,}5 \) til \( 7{,}5\text{,} \) altså årene 2011 til 2015, delt på de \( 5 \) årene. Det er gjennomsnittet per år.
2. Tolk summen og differansekvotienten \( \textcolor{green}{S} \) legger sammen beløpet for hvert av de \( 11 \) årene 2008 til 2018. Det er nesten det samme som \( \textcolor{blue}{I}\text{,} \) fordi hvert år er en stripe med bredde \( 1 \) under grafen.
\( \textcolor{darkorange}{D} \) er stigningstallet mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 5{,}001}\text{,} \) nesten den deriverte \( F'(5)\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det er hvor fort beløpet økte i 2013.