Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

kvotientregelen

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i R2 om kvotientregelen

Oppgavene

R2 vår 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

Oppgave 2a)

Vis at dersom f(x)=tan⁡x, {f(x) = \tan x}\text{,} så er f′(x)=1+tan⁡2x. {f'(x) = 1 + \tan^2 x}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Med kvotientregelen på sin⁡xcos⁡x \dfrac{\sin x}{\cos x} er
f′(x)=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1+tan⁡2x‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= 1 + \tan^2 x \end{aligned}}}
Vi skriver \( {\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}} \) og deriverer brøken med kvotientregelen.
1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{blue}{u}}{\textcolor{red}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{blue}{u}' \cdot \textcolor{red}{v} - \textcolor{blue}{u} \cdot \textcolor{red}{v}'}{\textcolor{red}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \textcolor{blue}{\sin x}, & \textcolor{blue}{u}' &= \cos x \\ \textcolor{red}{v} &= \textcolor{red}{\cos x}, & \textcolor{red}{v}' &= -\sin x \end{aligned} \]
2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn, blir telleren: \[ \begin{aligned} &\cos x \cdot \textcolor{red}{\cos x} - \textcolor{blue}{\sin x} \cdot (-\sin x) \\ &= \cos^2 x + \sin^2 x \end{aligned} \]
Nevneren er \( {\textcolor{red}{v}^2 = \textcolor{red}{\cos^2 x}}\text{,} \) så: \[ f'(x) = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\textcolor{red}{\cos^2 x}} \]
Vi deler brøken i to: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= 1 + \tan^2 x \end{aligned} \]

Oppgave 2b)

Regn ut
∫1+tan⁡2xtan⁡x dx \int \dfrac{1 + \tan^2 x}{\tan x}\,dx
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
∫1+tan⁡2xtan⁡x dx=ln⁡∣tan⁡x∣+C‾‾ \underline{\underline{\int \dfrac{1 + \tan^2 x}{\tan x}\,dx = \ln|\tan x| + C}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: den deriverte av \( \tan x \) står i oppgaveteksten i a), \( {(\tan x)' = 1 + \tan^2 x}\text{.} \)
Telleren er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon med \( {u = \tan x}\text{.} \)
1. Velg u Vi setter \( {\textcolor{blue}{u = \tan x}}\text{.} \) Fra a) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{du}{dx} &= 1 + \tan^2 x \\ \textcolor{red}{du} &= \textcolor{red}{(1 + \tan^2 x)\,dx} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.
2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\textcolor{red}{(1 + \tan^2 x)\,dx}}{\textcolor{blue}{\tan x}} &= \int \dfrac{1}{\textcolor{blue}{u}}\,\textcolor{red}{du} \\ &= \ln|\textcolor{blue}{u}| + C \end{aligned} \]Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Til slutt bytter vi tilbake til \( x\text{.} \)