Eksamensoppgaver etter tema

Grunnflaten \( ABC \) ligger i \( xy \)-planet, og \( T \) ligger rett over \( A\text{.} \) Høyden er derfor \( 5\text{,} \) og vi trenger bare arealet av grunnflaten.

1. Finn arealet av grunnflaten Arealet av en trekant utspent av \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) er: \[ A = \dfrac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[5, 0, 0]}} \) og \( {\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[4, 2, 0]}}\text{.} \) Begge ligger i \( xy \)-planet, så bare \( z \)-koordinaten er ulik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0, 0, \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{2} - 0 \cdot \textcolor{red}{4}] \\ &= [0, 0, 10] \end{aligned} \]

Grunnflaten er \( {G = \dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5}\text{.} \)

2. Regn ut volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \]

Høyden er avstanden fra \( T \) ned til \( xy \)-planet, \( {h = 5}\text{:} \) \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot 5 \cdot 5 = \dfrac{25}{3} \]

Vi bruker vektorproduktet igjen, nå med to av sidene som går ut fra \( B\text{.} \)

1. Sett opp vektorene Fra \( B(5, 0, 0) \) til \( C \) og \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} &= \textcolor{blue}{[-1, 2, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BT}} &= \textcolor{red}{[-5, 0, 5]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til \( \vec{u} \times \vec{v} \) er: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad u_2v_3 - u_3v_2 \\ y&\text{:} \quad u_3v_1 - u_1v_3 \\ z&\text{:} \quad u_1v_2 - u_2v_1 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, som regner det ut med en determinant.

For \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{BT}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad 2 \cdot 5 - 0 \cdot 0 = 10 \\ y&\text{:} \quad 0 \cdot (-5) - (-1) \cdot 5 = 5 \\ z&\text{:} \quad (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-5) = 10 \end{aligned} \]

3. Finn arealet Lengden er: \[ \sqrt{10^2 + 5^2 + 10^2} = \sqrt{225} = 15 \]

Arealet er halve lengden: \[ A_{BCT} = \dfrac{1}{2} \cdot 15 = \dfrac{15}{2} \]

Fra a) er volumet av pyramiden \( \dfrac{25}{3}\text{,} \) og fra b) er arealet av \( \triangle BCT \) lik \( \dfrac{15}{2}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi kan se på pyramiden med \( \triangle BCT \) som grunnflate. Da er høyden nettopp avstanden fra \( A \) til planet gjennom \( B\text{,} \) \( C \) og \( T\text{.} \)

1. Bruk volumet med en ny grunnflate Volumet er det samme uansett hvilken side vi kaller grunnflaten. Med \( {\textcolor{blue}{G = \dfrac{15}{2}}} \) og høyden \( \textcolor{red}{d} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{15}{2}} \cdot \textcolor{red}{d} &= \dfrac{25}{3} \\ \dfrac{5}{2}\textcolor{red}{d} &= \dfrac{25}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \dfrac{10}{3} \end{aligned} \]

2. Kontroller med planet Normalvektoren \( [10, 5, 10] \) fra b) kan vi korte til \( [2, 1, 2]\text{.} \) Planet gjennom \( B(5, 0, 0) \) er da \( {2x + y + 2z - 10 = 0}\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram. Avstanden fra \( A(0, 0, 0) \) er: \[ d = \dfrac{|2 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{10}{3} \]

Vi følger løkka noen runder og ser hva som legges til \( S \) hver gang.

1. Følg løkka Linje 7 til 9 er en løkke som går \( {N = 10} \) ganger. I hver runde legger linje 8 tallet \( a \) til summen \( S\text{,} \) og linje 9 øker \( a \) med \( {d = 4}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

Etter tre runder er: \[ S = \textcolor{blue}{3} + 7 + 11 \]

2. Kjenn igjen rekken Leddene øker med \( \textcolor{red}{4} \) hver gang, så dette er en aritmetisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \) Programmet legger sammen de \( 10 \) første leddene. Det siste er \( {3 + 9 \cdot 4 = 39}\text{,} \) så summen er: \[ S_{10} = \dfrac{10 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 39)}{2} = 210 \]

Fra a) legger programmet sammen de \( N \) første leddene i den aritmetiske rekken med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \)

Vi finner det siste leddet, \( a_{100}\text{,} \) og bruker sumformelen for aritmetiske rekker.

1. Finn det siste leddet Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Med \( {n = 100} \) får vi: \[ a_{100} = \textcolor{blue}{3} + 99 \cdot \textcolor{red}{4} = 399 \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

På figuren ligger trekanten \( ABD \) inni sirkelsektoren \( ABD\text{,} \) og sektoren ligger inni trekanten \( ABC\text{.} \) Vi finner de tre arealene.

1. Arealet av trekanten ABD Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin v \]der \( v \) er vinkelen mellom sidene \( a \) og \( b\text{.} \) Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

Med \( {AB = AD = 1} \) får vi \( {\textcolor{blue}{A_{ABD} = \dfrac{1}{2}\sin v}}\text{.} \)

2. Arealet av sektoren En hel sirkel med radius \( 1 \) har arealet \( \pi \) og vinkelen \( 2\pi\text{.} \) Sektoren har vinkelen \( v\text{,} \) så den er \( \dfrac{v}{2\pi} \) av sirkelen: \[ \textcolor{green}{A_{\text{sektor}}} = \dfrac{v}{2\pi} \cdot \pi = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}v} \]

3. Arealet av trekanten ABC Trekanten er rettvinklet i \( B\text{,} \) så \( {\tan v = \dfrac{BC}{AB} = BC}\text{.} \) Arealet er: \[ \textcolor{red}{A_{ABC}} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\tan v} \]

Trekanten \( ABD \) ligger inni sektoren, og sektoren ligger inni trekanten \( ABC\text{,} \) så arealene blir større og større.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: ulikheten står i oppgaveteksten i a). \[ \dfrac{1}{2}\sin v < \dfrac{1}{2}v < \dfrac{1}{2}\tan v \]

Vi deler alle tre leddene på \( \dfrac{1}{2}\sin v\text{,} \) og bruker at \( {\tan v = \dfrac{\sin v}{\cos v}}\text{.} \)

1. Del på det samme positive tallet På figuren er \( {0 < v < \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}\sin v} > 0}\text{.} \) Når vi deler på et positivt tall, snur ikke ulikhetstegnene, som i videoen Introduksjon til Ulikheter. Halvdelene forkortes mot hverandre: \[ \dfrac{\sin v}{\textcolor{blue}{\sin v}} < \dfrac{v}{\textcolor{blue}{\sin v}} < \dfrac{\tan v}{\textcolor{blue}{\sin v}} \]

2. Forenkle Det første leddet er \( 1\text{,} \) og det midterste er \( \dfrac{v}{\sin v}\text{.} \) I det siste skriver vi \( {\tan v = \dfrac{\sin v}{\cos v}}\text{:} \) \[ \dfrac{\tan v}{\textcolor{blue}{\sin v}} = \dfrac{\sin v}{\cos v} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{blue}{\sin v}} = \dfrac{1}{\cos v} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: ulikhetene står i oppgaveteksten i b). \[ 1 < \dfrac{v}{\sin v} < \dfrac{1}{\cos v} \]

Vi ser hva som skjer med de to ytterste leddene når \( v \) går mot \( 0\text{.} \) Hvis begge går mot \( 1\text{,} \) blir det midterste klemt mellom dem.

1. Se på de ytterste leddene Når \( {v \to 0^+}\text{,} \) går \( \cos v \to 1\text{.} \) Hvis du er usikker på grenseverdier, kan du se videoen Grenseverdier. Da får vi: \[ \textcolor{blue}{1} \to \textcolor{blue}{1} \qquad \text{og} \qquad \textcolor{red}{\dfrac{1}{\cos v}} \to \textcolor{red}{1} \]

2. Klem det midterste leddet \( \dfrac{v}{\sin v} \) ligger hele tiden mellom \( \textcolor{blue}{1} \) og \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{\cos v}}\text{,} \) som begge går mot \( 1\text{.} \) Da må også \( \dfrac{v}{\sin v} \) gå mot \( 1\text{.} \)

\( \dfrac{\sin v}{v} \) er den omvendte brøken, så: \[ \lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = \dfrac{1}{\displaystyle\lim_{v \to 0^+} \dfrac{v}{\sin v}} = \dfrac{1}{1} = 1 \]

Tallene vokser sakte, så raskt, og så saktere igjen. Det er formen til en logistisk modell, som også flater ut i årene etterpå. Vi lar \( x \) være antall år etter 2008 og bruker logistisk regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å se av tallene hvilken type modell som passer, og på å bruke en gitt logistisk modell med kalkulator.

1. Velg modell Økningen er \( 68\text{,} \) \( 176\text{,} \) \( 210\text{,} \) \( 126 \) og \( 73 \) millioner kroner for hvert andre år. Den blir først større og så mindre, så veksten bremser opp. Da passer en logistisk modell, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den vokser på samme måte, og flater ut mot en øvre grense. Det passer også for årene etterpå: hvor mye folk bruker på strømming, kan ikke vokse uten grense.

2. Legg punktene inn i GeoGebra Med \( x \) år etter 2008 blir årene \( 0\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 8 \) og \( 10\text{.} \) Vi skriver dem i kolonne A og beløpene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

3. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{1 + \textcolor{blue}{a}e^{-\textcolor{green}{b}x}} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)

Grafen går nær alle punktene, og flater ut mot \( {\textcolor{red}{c} \approx \textcolor{red}{660}} \) millioner kroner per år.

Vi bruker modellen fra a): \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{660{,}36}}{1 + \textcolor{blue}{30{,}72}e^{-\textcolor{green}{0{,}7066}x}} \]

Vi henter modellen inn i CAS og skriver de fire formlene som de står. CAS gir et tall for hver.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC har du ikke modellen fra a). Øv heller på å forstå hva et integral, en gjennomsnittsverdi, en sum og en differansekvotient betyr, som i c).

1. Regn ut formlene i CAS Rad 1 henter modellen fra lista \( l_1\text{.} \) Så skriver vi integralene med Integral, summen med Sum og differansekvotienten. Hvis du er usikker på hva integralet er, kan du se videoen Hva er integrasjon:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) := RegLogist(l1) ≈ Integral(F(x), -0.5, 10.5) ≈ 1/5 Integral(F(x), 2.5, 7.5) ≈ Sum(F(i), i, 0, 10) ≈ (F(5.001) - F(5))/0.001

\( I \) og \( S \) er nesten like. Det er ingen tilfeldighet, og c) forklarer hvorfor.

Fra b) er \( {I \approx 3729}\text{,} \) \( {G \approx 344}\text{,} \) \( {S \approx 3729} \) og \( {D \approx 116}\text{.} \) Modellen \( F(x) \) fra a) gir millioner kroner per år, \( x \) år etter 2008.

Vi ser hvilke år hver formel dekker. Året \( {2008 + i} \) svarer til intervallet fra \( {x = i - 0{,}5} \) til \( {x = i + 0{,}5}\text{.} \)

1. Tolk integralene Integralet av en vekstfart er det som samles opp, her millioner kroner. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Fra \( {x = -0{,}5} \) til \( {x = 10{,}5} \) dekker \( \textcolor{blue}{I} \) årene 2008 til 2018: \[ \textcolor{blue}{I} \approx \textcolor{blue}{3729} \text{ millioner kroner totalt} \]

\( \textcolor{red}{G} \) er integralet fra \( 2{,}5 \) til \( 7{,}5\text{,} \) altså årene 2011 til 2015, delt på de \( 5 \) årene. Det er gjennomsnittet per år.

2. Tolk summen og differansekvotienten \( \textcolor{green}{S} \) legger sammen beløpet for hvert av de \( 11 \) årene 2008 til 2018. Det er nesten det samme som \( \textcolor{blue}{I}\text{,} \) fordi hvert år er en stripe med bredde \( 1 \) under grafen.

\( \textcolor{darkorange}{D} \) er stigningstallet mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 5{,}001}\text{,} \) nesten den deriverte \( F'(5)\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det er hvor fort beløpet økte i 2013.

Parallelle plan har den samme normalvektoren. Vi finner normalvektoren til \( \alpha \) med vektorproduktet, og setter inn punktet \( P\text{.} \)

1. Finn normalvektoren Fra \( A(1, 0, 3) \) til \( B \) og \( C\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-1, 1, -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[1, 3, -1]} \end{aligned} \]

Vektorproduktet står vinkelrett på begge. Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet. For \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad 1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3 = 2 \\ y&\text{:} \quad (-1) \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) = -2 \\ z&\text{:} \quad (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 1 = -4 \end{aligned} \]

Vi deler \( {[2, -2, -4]} \) på \( 2 \) og bruker \( {\textcolor{green}{\vec{n} = [1, -1, -2]}}\text{.} \)

2. Sett inn punktet P Likningen for et plan med normalvektor \( [a, b, c] \) gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) er: \[ \begin{aligned} &a(x - x_0) + b(y - y_0) \\ &\quad + c(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Med \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) og \( {P(2, -5, 5)} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{1}(x - 2) \textcolor{green}{- 1}(y + 5) \textcolor{green}{- 2}(z - 5) &= 0 \\ x - y - 2z + 3 &= 0 \end{aligned} \]

Til sammenligning er \( \alpha\text{:} \) \( {x - y - 2z + 5 = 0}\text{,} \) med det samme venstre leddet og et annet tall. Planene er altså parallelle og ikke like.

Fra a) er \( \beta\text{:} \) \( {x - y - 2z + 3 = 0}\text{,} \) og begge planene har normalvektoren \( {\textcolor{green}{\vec{n} = [1, -1, -2]}}\text{.} \)

Radien til en kule står vinkelrett på et plan den tangerer. Kula ligger mellom de to parallelle planene, så \( A\text{,} \) sentrum og \( Q \) ligger på én linje langs normalvektoren. \( Q \) er der den linja treffer \( \beta\text{.} \)

1. Linja gjennom A langs normalvektoren Linja gjennom \( A(1, 0, 3) \) med retning \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) er: \[ \ell\text{:} \quad \begin{cases} x = 1 + \textcolor{green}{1}t \\ y = 0 \textcolor{green}{- 1}t \\ z = 3 \textcolor{green}{- 2}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

2. Finn hvor linja treffer β Vi setter koordinatene inn i likningen for \( \beta\text{:} \) \[ \begin{aligned} (1 + t) - (-t) - 2(3 - 2t) + 3 &= 0 \\ 6t - 2 &= 0 \\ t &= \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]

3. Regn ut Q Med \( {t = \dfrac{1}{3}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} \\ y &= -\dfrac{1}{3} \\ z &= 3 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{3} \end{aligned} \]

Kontroll: \( {\dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{14}{3} + 3 = 0}\text{,} \) så \( Q \) ligger i \( \beta\text{.} \)

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og banefarten er lengden av fartsvektoren.

1. Deriver posisjonsvektoren Vi deriverer hver koordinat for seg, som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Med kjerneregelen er \( {\left(e^{t/20}\right)' = \dfrac{1}{20}e^{t/20}} \) og \( {\left(e^{-2t + 2}\right)' = -2e^{-2t + 2}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Fartsvektoren er \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

2. Sett inn t = 1 Kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \dfrac{1}{20}e^{0{,}05} \approx \textcolor{blue}{0{,}0526} \\ \textcolor{red}{v_y} &= -\cos 1 \approx \textcolor{red}{-0{,}5403} \\ \textcolor{green}{v_z} &= -\dfrac{1}{5}e^{0} - \sin 1 \approx \textcolor{green}{-1{,}0415} \end{aligned} \]

3. Finn lengden Lengden av en vektor er: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{v_x}^2 + \textcolor{red}{v_y}^2 + \textcolor{green}{v_z}^2} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Vi regner ut kvadratene først: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(1)|^2 &\approx \textcolor{blue}{0{,}0028} + \textcolor{red}{0{,}2919} + \textcolor{green}{1{,}0847} \\ &\approx 1{,}3794 \\ |\vec{v}(1)| &\approx \sqrt{1{,}3794} \approx 1{,}17 \end{aligned} \]

1. Regn ut banefarten i CAS Vi skriver \( \vec{r}(t) \) som et punkt, deriverer og tar lengden:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (1 + ℯ^(t/20), 1 - sin(t), 1/10 ℯ^(-2t+2) + cos(t)) v(t) := Derivert(r(t), t) ≈ Lengde(v(1))

Rad 3 gir det samme som med kalkulatoren.

Fra a) er fartsvektoren \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

Banefarten \( |\vec{v}(t)| \) er en funksjon av \( t\text{.} \) Vi tegner grafen for \( t \in [0, 5] \) i GeoGebra og finner bunnpunktet.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke finne bunnpunktet til en så sammensatt funksjon. Øv heller på å sette opp banefarten som lengden av fartsvektoren, og på å regne den ut for gitte \( t \) med kalkulator.

1. Tegn banefarten Banefarten er lengden av fartsvektoren, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ s(t) = \sqrt{\textcolor{blue}{v_x}^2 + \textcolor{red}{v_y}^2 + \textcolor{green}{v_z}^2} \]

Vi skriver den inn i algebrafeltet med \( x \) for \( t\text{,} \) bare for \( {0 \le x \le 5}\text{,} \) og finner bunnpunktet med Min:

Skriv inn i GeoGebra: s(x) = Hvis(0 <= x <= 5, sqrt((ℯ^(x/20)/20)^2 + cos(x)^2 + (-0.2ℯ^(2-2x) - sin(x))^2)) M = Min(s, 0, 5)

2. Les av bunnpunktet Grafen faller fra \( {s(0) \approx 1{,}79} \) og er nesten flat fra \( {t \approx 2}\text{.} \) Bunnpunktet er \( {M \approx (3{,}54;\ 1{,}0013)}\text{,} \) det laveste punktet på hele \( [0, 5]\text{.} \)

Fra a) er fartsvektoren \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

Fartsvektoren er parallell med \( xy \)-planet når \( {\textcolor{green}{v_z = 0}}\text{,} \) og parallell med \( yz \)-planet når \( {\textcolor{blue}{v_x = 0}}\text{.} \) Vi ser om hver av dem kan bli \( 0\text{.} \)

1. Parallell med yz-planet? \( e^{t/20} \) er alltid positiv, så: \[ \textcolor{blue}{v_x} = \dfrac{1}{20}e^{t/20} > 0 \]\( \textcolor{blue}{v_x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så fartsretningen er aldri parallell med \( yz \)-planet.

2. Parallell med xy-planet? Vi regner ut \( \textcolor{green}{v_z} \) i to tidspunkter med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v_z(3)} &= -\dfrac{1}{5}e^{-4} - \sin 3 \approx -0{,}145 \\ \textcolor{green}{v_z(3{,}5)} &= -\dfrac{1}{5}e^{-5} - \sin 3{,}5 \approx 0{,}349 \end{aligned} \]

\( \textcolor{green}{v_z} \) er kontinuerlig og skifter fortegn mellom \( {t = 3} \) og \( {t = 3{,}5}\text{,} \) så den er \( 0 \) for en \( t \) der imellom. Da er fartsvektoren parallell med \( xy \)-planet. Prøver vi oss fram, finner vi fortegnsskiftet mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v_z(3{,}14)} &\approx -0{,}004 \\ \textcolor{green}{v_z(3{,}15)} &\approx 0{,}006 \end{aligned} \]Det er altså ved \( {t \approx 3{,}14}\text{.} \)

1. Løs v_z = 0 i CAS Vi bruker \( \vec{v}(t) \) fra a), og løser \( {\textcolor{green}{v_z = 0}} \) med en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(-1/5 ℯ^(-2t+2) - sin(t) = 0, t = 3)

Ved \( {t \approx 3{,}14} \) er \( {\textcolor{green}{v_z} = 0}\text{.} \) \( \textcolor{blue}{v_x} \) er alltid positiv.

Vi starter med \( 100 \) kroner og bruker den rekursive formelen tre ganger: legg til \( 10 \) i tilbud 1, og gang med \( 1{,}05 \) i tilbud 2.

1. Tilbud 1 Hver uke får han \( \textcolor{red}{10} \) kroner mer enn uka før: \[ \begin{aligned} a_1 &= 100 \\ a_2 &= 100 + \textcolor{red}{10} = 110 \\ a_3 &= 110 + \textcolor{red}{10} = 120 \\ a_4 &= 120 + \textcolor{red}{10} = 130 \end{aligned} \]

2. Tilbud 2 Hver uke får han \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) ganger det han fikk uka før: \[ \begin{aligned} b_1 &= 100 \\ b_2 &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 105 \\ b_3 &= 105 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 110{,}25 \\ b_4 &= 110{,}25 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} \approx 115{,}76 \end{aligned} \]

Fra a) øker tilbud 1 med \( \textcolor{red}{10} \) kroner hver uke, og tilbud 2 ganges med \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) hver uke. Begge starter på \( 100 \) kroner.

Vi skriver begge beløpene som eksplisitte formler for uke \( n\text{,} \) og finner den første uka der \( {b_n > a_n}\text{.} \)

1. Skriv formlene eksplisitt Tilbud 1 er en aritmetisk følge med \( {d = \textcolor{red}{10}}\text{,} \) og tilbud 2 er en geometrisk følge med \( {k = \textcolor{blue}{1{,}05}}\text{.} \) Hvis du er usikker på \( a_n\text{,} \) kan du se videoen Aritmetiske rekker intro: \[ \begin{aligned} a_n &= 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10} \\ b_n &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1} \end{aligned} \]

2. Prøv oss fram Likningen \( {b_n = a_n} \) kan vi ikke løse for hånd, så vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} n = 27&\text{:} \quad a_{27} = 360, \quad b_{27} \approx 355{,}57 \\ n = 28&\text{:} \quad a_{28} = 370, \quad b_{28} \approx 373{,}35 \end{aligned} \]

I uke \( 27 \) er tilbud 1 fortsatt best, men i uke \( 28 \) gir tilbud 2 mest. Siden tilbud 2 vokser med \( 5\,\% \) av et stadig større beløp, holder det seg foran etter det.

1. Løs b(n) = a(n) i CAS Vi skriver de eksplisitte formlene, og løser \( {b(n) = a(n)} \) med en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: a(n) := 100 + 10(n - 1) b(n) := 100*1.05^(n - 1) NLøs(b(n) = a(n), n = 30)

Beløpene er like ved \( {n \approx 27{,}58}\text{,} \) så den første hele uka der tilbud 2 gir mest, er uke \( 28\text{.} \)

Fra b) er \( {a_n = 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10}} \) og \( {b_n = 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1}}\text{.} \)

Det han har fått til sammen etter \( n \) uker, er summen av de \( n \) første leddene. Vi bruker sumformlene for aritmetiske og geometriske rekker, og prøver oss fram.

1. Sett opp summene Summen av en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} \]som i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel. For tilbud 1 får vi: \[ \begin{aligned} S_n^{(1)} &= \dfrac{n(100 + 100 + 10(n - 1))}{2} \\ &= 5n^2 + 95n \end{aligned} \]

Summen av en geometrisk rekke er: \[ S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{k}^n}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel. For tilbud 2 får vi: \[ \begin{aligned} S_n^{(2)} &= 100 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}^n}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}} \\ &= 2000(\textcolor{blue}{1{,}05}^n - 1) \end{aligned} \]

2. Prøv oss fram Med kalkulatoren regner vi ut summene etter \( 38 \) og \( 39 \) uker: \[ \begin{aligned} S_{38}^{(1)} &= 10\,830, & S_{38}^{(2)} &\approx 10\,771 \\ S_{39}^{(1)} &= 11\,310, & S_{39}^{(2)} &\approx 11\,410 \end{aligned} \]

Etter \( 38 \) uker har tilbud 1 gitt mest, men etter \( 39 \) uker har tilbud 2 gitt mest til sammen.

1. Løs likningen for summene i CAS Vi bruker \( a(n) \) og \( b(n) \) fra b), og lar CAS summere:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(b(k), k, 1, n) = Sum(a(k), k, 1, n), n = 40)

Summene er like ved \( {n \approx 38{,}39}\text{,} \) så tilbud 2 har gitt mest til sammen fra uke \( 39\text{.} \)

Volumet er \( \pi \) ganger integralet av \( f(x)^2\text{.} \) Vi skriver om \( f(x)^2 \) med \( {\cos^2 x = 1 - \sin^2 x} \) til ledd vi kan integrere.

1. Sett opp volumet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er: \[ V = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.

2. Skriv om f(x)² Vi kvadrerer telleren og bytter \( \cos^2 x \) med \( {1 - \sin^2 x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x)^2 &= \dfrac{4 - 4\cos x + \cos^2 x}{\sin^2 x} \\ &= \dfrac{5 - 4\cos x - \sin^2 x}{\sin^2 x} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\sin^2 x} - \dfrac{\textcolor{red}{4\cos x}}{\sin^2 x} - 1 \end{aligned} \]

3. Integrer ledd for ledd Siden \( {\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}} \) med kvotientregelen, er \( {\displaystyle\int \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\sin^2 x}\,dx = -\textcolor{blue}{5}\dfrac{\cos x}{\sin x}}\text{.} \)

I det midterste leddet setter vi \( {u = \sin x}\text{,} \) så \( {du = \cos x\,dx}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \int \dfrac{\textcolor{red}{4\cos x}}{\sin^2 x}\,dx = \int \dfrac{4}{u^2}\,du = -\dfrac{4}{\sin x} \]

Til sammen: \[ V = \pi\left[-\dfrac{\textcolor{blue}{5}\cos x}{\sin x} + \dfrac{\textcolor{red}{4}}{\sin x} - x\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} \]

4. Sett inn grensene Med \( {\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) \( {\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) og \( {\dfrac{4}{\sqrt{2}/2} = 4\sqrt{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{øvre: } & 5 + 4\sqrt{2} - \dfrac{3\pi}{4} \\ \text{nedre: } & -5 + 4\sqrt{2} - \dfrac{\pi}{4} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} V &= \pi\left(10 - \dfrac{\pi}{2}\right) \\ &= 10\pi - \dfrac{\pi^2}{2} \approx 26{,}48 \end{aligned} \]

1. Regn ut volumet i CAS Vi skriver \( f \) og integralet, først eksakt og så med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := (2 - cos(x))/sin(x) π*Integral(f(x)^2, π/4, 3π/4) ≈ π*Integral(f(x)^2, π/4, 3π/4)

Rad 2 gir det samme eksakte svaret som for hånd.

Fra a) er volumet av legemet omtrent \( 26{,}48\text{,} \) og legemet er \( {\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}571} \) langt.

Volumet \( {26{,}48 < 45} \) er ikke nok: legemet må også passe i formen. Kjeglen blir smalere oppover, så vi ser om kjeglen er bred nok også der legemet slutter.

1. Finn høyden i kjeglen Volumet av en kjegle er \( \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\text{,} \) som i videoen Koblede hastigheter. Med \( {r = 4} \) og volum \( 45\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot h &= 45 \\ h &= \dfrac{135}{16\pi} \approx 2{,}686 \end{aligned} \]

2. Plasser den brede enden nederst Radiene i endene er \( {f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)} \) og \( {f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\text{.} \) Vi ganger teller og nevner med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)} &= \dfrac{4 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= \textcolor{red}{2\sqrt{2} + 1} \approx \textcolor{red}{3{,}83} \\ \textcolor{blue}{f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} &= \dfrac{4 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= \textcolor{blue}{2\sqrt{2} - 1} \approx \textcolor{blue}{1{,}83} \end{aligned} \]

Det er best å la den brede enden stå på grunnflaten, der kjeglen er bredest. Da står den smale enden \( 1{,}571 \) over grunnflaten.

3. Sjekk den smale enden Radien i kjeglen avtar jevnt fra \( 4 \) ved grunnflaten til \( 0 \) i toppen. I høyden \( 1{,}571 \) er den: \[ 4\left(1 - \dfrac{1{,}571}{2{,}686}\right) \approx 1{,}66 \]

Den smale enden har radius \( \textcolor{blue}{1{,}83}\text{,} \) som er større enn \( 1{,}66\text{.} \) Legemet går altså ut gjennom kjegleveggen øverst. Snur vi legemet, står den brede enden der, og det blir enda verre.

Linjestykket er hypotenusen i en rettvinklet trekant med en vannrett og en loddrett katet. Vi finner katetene og bruker Pytagoras.

1. Finn katetene Den vannrette kateten går fra \( x_i \) til \( {x_{i+1}}\text{,} \) så den er: \[ \textcolor{blue}{x_{i+1} - x_i = h} \]

Den loddrette kateten er forskjellen i høyde mellom de to punktene: \[ \textcolor{red}{k_i = f(x_{i+1}) - f(x_i)} \]Hvis grafen synker, er \( \textcolor{red}{k_i} \) negativ, men lengden av kateten er \( |\textcolor{red}{k_i}|\text{,} \) og \( {|\textcolor{red}{k_i}|^2 = \textcolor{red}{k_i}^2}\text{.} \)

2. Bruk Pytagoras Pytagoras forteller oss at: \[ S_i^2 = \textcolor{blue}{h}^2 + \textcolor{red}{k_i}^2 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Buelengde formel, som gjør det samme med små trekanter.

Vi tar kvadratroten, og \( S_i \) er positiv: \[ S_i = \sqrt{\textcolor{blue}{h}^2 + \textcolor{red}{k_i}^2} \]

Fra a) er lengden av linjestykke nummer \( i \) lik \( {S_i = \sqrt{h^2 + k_i^2}}\text{,} \) der \( {k_i = g(x_{i+1}) - g(x_i)}\text{.} \)

Vi lar et program legge sammen \( S_i \) for mange små delintervall, her \( {N = 1000}\text{.} \) Grafen til \( g \) er en halvsirkel, så vi kan sammenligne med halve omkretsen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å regne ut summen med få delintervall for hånd, for eksempel \( {N = 2}\text{,} \) og på å lese og skrive slike løkker på papir.

1. Les programmet Programmet står i svaret. Linje 3 og 4 definerer \( g\text{,} \) og linje 6 til 9 deler \( {[-1, 1]} \) i \( {N = 1000} \) delintervall med bredde \( {\textcolor{blue}{h} = \dfrac{1 - (-1)}{1000} = \textcolor{blue}{0{,}002}}\text{.} \)

Løkka i linje 12 til 16 regner ut \( x_i \) og \( {x_{i+1}}\text{,} \) høydeforskjellen \( \textcolor{red}{k_i}\text{,} \) og legger \( {\sqrt{\textcolor{blue}{h}^2 + \textcolor{red}{k_i}^2}} \) til summen \( L\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

Programmet skriver ut \( {L \approx 3{,}14157}\text{.} \)

2. Vurder svaret \( {x^2 + g(x)^2 = 1}\text{,} \) så grafen til \( g \) er den øvre halvdelen av sirkelen med sentrum i origo og radius \( 1\text{.} \) Lengden er halve omkretsen: \[ \dfrac{2\pi \cdot 1}{2} = \pi \approx 3{,}14159 \]

Svaret er rimelig: det er litt mindre enn \( \pi\text{,} \) fordi et rett linjestykke er kortere enn buen det erstatter. Med større \( N \) kommer vi enda nærmere \( \pi\text{.} \)