Eksamensoppgaver etter tema

Gjennomsnittlig vekstfart på \( [0, 4] \) er stigningstallet til linja mellom grafens punkter i \( {x = 0} \) og \( {x = 4}\text{.} \) Vi leser av grafene og ser hvilken funksjon som oppfyller begge kravene.

1. Regn ut den gjennomsnittlige vekstfarten Gjennomsnittlig vekstfart fra \( {x = 0} \) til \( {x = 4} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Med \( {x_1 = 0} \) og \( {x_2 = 4} \) leser vi av \( y_1 \) og \( y_2 \) i figuren: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f}\text{:} \quad \dfrac{2 - 0}{4 - 0} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{blue}{g}\text{:} \quad \dfrac{4 - 2}{4 - 0} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{h}\text{:} \quad \dfrac{4 - 4}{4 - 0} &= 0 \end{aligned} \]Bare \( \textcolor{green}{f} \) og \( \textcolor{blue}{g} \) har gjennomsnittlig vekstfart \( \dfrac{1}{2}\text{.} \)

2. Sjekk den deriverte Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen til \( \textcolor{blue}{g} \) er en rett linje, så tangenten er linja selv, og stigningstallet er \( \dfrac{1}{2} \) overalt: \[ \textcolor{blue}{g'(1)} = \dfrac{1}{2} \neq 1 \]Da står bare \( \textcolor{green}{f} \) igjen.

3. Kontroller med funksjonsuttrykket Grafen til \( \textcolor{green}{f} \) ser ut som en parabel med nullpunkter i \( {x = 0} \) og \( {x = 6}\text{,} \) altså \( {f(x) = a \cdot x(x - 6)}\text{.} \) Punktet \( (2, 2) \) gir: \[ \begin{aligned} a \cdot 2 \cdot (2 - 6) &= 2 \\ a &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

Det gir \( {f(x) = -\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{3}{2}x}\text{.} \) Potensregelen \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}} \) gir: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} \\ f'(1) &= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 1 \end{aligned} \]