Eksamensoppgaver etter tema

Vi deriverer \( f\text{,} \) setter \( {f'(x) = k} \) og ser hvilke verdier \( f'(x) \) kan få.

1. Deriver funksjonen \( {2x + 5} \) derivert blir \( 2\text{.} \) Brøken deriverer vi med kvotientregelen, som forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{1}{x - 1}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x - 1}) - \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x - 1})^2} \\ f'(x) &= 2 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} \end{aligned} \]

2. Se hvilke verdier f'(x) kan få Vi setter \( {f'(x) = k} \) og får brøken alene: \[ \begin{aligned} 2 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} &= k \\ \dfrac{1}{(x - 1)^2} &= 2 - k \end{aligned} \]

For \( {x \neq 1} \) er \( {(x - 1)^2} \) et positivt tall, og det kan bli hvilket som helst positivt tall. Da kan \( {\dfrac{1}{(x - 1)^2}} \) også bli alle positive tall, men aldri \( 0 \) eller negativ. Likningen har derfor løsning nøyaktig når \( {2 - k > 0}\text{,} \) altså når \( {k < 2}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Vi lar CAS derivere \( f \) og løse \( {f'(x) = k} \) for \( x\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 2x + 5 + 1/(x - 1) f'(x) Løs(f'(x) = k, x)

Løsningene har \( {\sqrt{-k + 2}} \) i telleren og \( {k - 2} \) i nevneren. Roten finnes bare når \( {-k + 2 \ge 0}\text{,} \) og nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så likningen har løsning når \( {k < 2}\text{.} \)

Vi bruker likningen \( {\dfrac{1}{(x - 1)^2} = 2 - k} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi velger noen verdier av \( k \) under \( 2\text{,} \) løser likningen og ser hvor løsningene ligger i forhold til hverandre.

1. Løs for noen verdier av k I a) fant vi at \( {f'(x) = k} \) betyr \( {\dfrac{1}{(x - 1)^2} = 2 - k}\text{.} \) Vi tar én delt på begge sider: \[ (x - 1)^2 = \dfrac{1}{2 - k} \]

Et tall i andre er lik et positivt tall \( c \) når tallet er \( \sqrt{c} \) eller \( {-\sqrt{c}}\text{.} \) Med \( {k = 1} \) er \( {(x - 1)^2 = 1}\text{,} \) så \( {x - 1 = \pm 1}\text{.} \) På samme måte for \( {k = -2} \) og \( {k = \dfrac{7}{4}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 1\text{:} \quad & x = \textcolor{blue}{0} \text{ eller } x = \textcolor{red}{2} \\ k = -2\text{:} \quad & x = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \text{ eller } x = \textcolor{red}{\dfrac{3}{2}} \\ k = \dfrac{7}{4}\text{:} \quad & x = \textcolor{blue}{-1} \text{ eller } x = \textcolor{red}{3} \end{aligned} \]

2. Beskriv symmetrien I hvert par ligger den \( \textcolor{blue}{\text{minste}} \) og den \( \textcolor{red}{\text{største}} \) løsningen like langt fra \( {x = \textcolor{green}{1}} \) på hver sin side, for eksempel er \( {\dfrac{\textcolor{blue}{0} + \textcolor{red}{2}}{2} = \textcolor{green}{1}}\text{.} \) Generelt gir likningen: \[ x = \textcolor{green}{1} \pm \dfrac{1}{\sqrt{2 - k}} \]For hver \( {k < 2} \) er løsningene altså symmetriske om \( {x = \textcolor{green}{1}}\text{.} \) Det er den vertikale asymptoten til \( f\text{,} \) der nevneren \( {x - 1} \) er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Jo nærmere \( k \) er \( 2\text{,} \) jo lenger fra \( {x = 1} \) ligger løsningene.

1. Løs for tre verdier av k Vi løser \( {f'(x) = k} \) i CAS for \( {k = 1}\text{,} \) \( {k = -2} \) og \( {k = \dfrac{7}{4}}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 2x + 5 + 1/(x - 1) Løs(f'(x) = 1, x) Løs(f'(x) = -2, x) Løs(f'(x) = 7/4, x)

Løsningene er \( 0 \) og \( 2\text{,} \) \( \dfrac{1}{2} \) og \( \dfrac{3}{2}\text{,} \) og \( {-1} \) og \( 3\text{.} \) I hvert par er midtpunktet \( 1\text{,} \) så løsningene ligger symmetrisk om \( {x = 1}\text{.} \)

Vi deriverer \( g \) på samme måte som \( f \) i a), og ser når \( {g'(x) = 4} \) har løsning.

1. Deriver g \( {a \cdot x + b} \) derivert blir \( a\text{.} \) Brøken deriverer vi med kvotientregelen, som i a): \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Med \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{u'} = \textcolor{red}{0}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{x + d}} \) og \( {\textcolor{blue}{v'} = \textcolor{blue}{1}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{1}{x + d}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x + d}) - \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + d})^2} \\ g'(x) &= a - \dfrac{1}{(x + d)^2} \end{aligned} \]

2. Se når likningen har løsning Vi setter \( {g'(x) = 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} a - \dfrac{1}{(x + d)^2} &= 4 \\ \dfrac{1}{(x + d)^2} &= \textcolor{green}{a - 4} \end{aligned} \]Venstre side kan bli alle positive tall, men aldri \( 0 \) eller negativ. Likningen har derfor løsning nøyaktig når \( {\textcolor{green}{a - 4} > 0}\text{,} \) altså når \( {a > 4}\text{,} \) uansett hva \( b \) og \( d \) er.

1. Løs likningen i CAS Vi lar CAS derivere \( g \) og løse \( {g'(x) = 4} \) for \( x\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := a*x + b + 1/(x + d) g'(x) Løs(g'(x) = 4, x)

Løsningene har \( {\sqrt{a - 4}} \) og \( {a - 4} \) i nevneren, så de finnes bare når \( {a - 4 > 0}\text{,} \) altså når \( {a > 4}\text{.} \)

Vi bruker \( {g'(x) = a - \dfrac{1}{(x + d)^2}} \) fra c), nå med \( {a = 3}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Med \( {a = 3} \) løser vi \( {g'(x) = k} \) som i b), og ser hvordan løsningene avhenger av \( k\text{.} \)

1. Løs likningen Med \( {a = 3} \) er \( {g'(x) = 3 - \dfrac{1}{(x + d)^2}}\text{.} \) Vi setter \( {g'(x) = k}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 - \dfrac{1}{(x + d)^2} &= k \\ (x + d)^2 &= \dfrac{1}{3 - k} \end{aligned} \]

2. Beskriv løsningene For \( {k \ge 3} \) har likningen ingen løsning, fordi \( {\dfrac{1}{(x + d)^2}} \) aldri er \( 0 \) eller negativ.

For \( {k < 3} \) er det to løsninger: \[ x = \textcolor{green}{-d} \pm \dfrac{1}{\sqrt{3 - k}} \]De ligger symmetrisk om \( {x = \textcolor{green}{-d}}\text{,} \) den vertikale asymptoten til \( g\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Når \( k \) nærmer seg \( 3\text{,} \) blir avstanden til \( {x = -d} \) større og større, og jo mindre \( k \) er, jo nærmere \( {x = -d} \) ligger de. For eksempel gir \( {k = 2} \) løsningene \( {x = -d - 1} \) og \( {x = -d + 1}\text{.} \)

\( b \) påvirker ikke løsningene, og \( d \) flytter dem sidelengs.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver \( g \) med \( {a = 3} \) og løser \( {g'(x) = k}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := 3x + b + 1/(x + d) g'(x) Løs(g'(x) = k, x)

Løsningene har \( {\sqrt{-k + 3}} \) og \( {k - 3} \) i nevneren, så de finnes bare når \( {k < 3}\text{.} \) Skriver vi dem om, er de \( {x = -d \pm \dfrac{1}{\sqrt{3 - k}}}\text{,} \) symmetrisk om \( {x = -d}\text{.} \)

Vi bruker \( {g'(x) = a - \dfrac{1}{(x + d)^2}} \) fra c), med \( {a = 3}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter inn \( {x = -1} \) og \( {x = 5} \) i \( g'(x) \) og løser for \( d\text{.} \) Så bruker vi \( {g(1) = 7} \) til å finne \( b\text{.} \)

1. Finn d Med \( {a = 3} \) er \( {g'(x) = 3 - \dfrac{1}{(x + d)^2}}\text{.} \) Kravet \( {g'(-1) = g'(5)} \) gir: \[ \begin{aligned} 3 - \dfrac{1}{(\textcolor{blue}{d - 1})^2} &= 3 - \dfrac{1}{(\textcolor{red}{d + 5})^2} \\ (\textcolor{blue}{d - 1})^2 &= (\textcolor{red}{d + 5})^2 \end{aligned} \]

To tall har samme kvadrat når de er like eller motsatte. \( {\textcolor{blue}{d - 1} = \textcolor{red}{d + 5}} \) er umulig, så: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d - 1} &= -(\textcolor{red}{d + 5}) \\ 2d &= -4 \\ d &= -2 \end{aligned} \]Det passer med d): \( {-1} \) og \( 5 \) ligger symmetrisk om \( {x = -d = 2}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, der like verdier av den deriverte i to punkter gir symmetri om midtpunktet.

2. Finn b Med \( {d = -2} \) er \( {g(x) = 3x + b + \dfrac{1}{x - 2}}\text{.} \) Kravet \( {g(1) = 7} \) gir: \[ \begin{aligned} 3 \cdot 1 + b + \dfrac{1}{1 - 2} &= 7 \\ 2 + b &= 7 \\ b &= 5 \end{aligned} \]

1. Løs likningssettet i CAS Vi skriver \( g \) med \( {a = 3} \) og løser de to kravene for \( b \) og \( d \) med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := 3x + b + 1/(x + d) Løs({g'(-1) = g'(5), g(1) = 7}, {b, d})

CAS gir \( {b = 5} \) og \( {d = -2}\text{.} \)