Eksamensoppgaver etter tema

Vi finner den faste vekstfaktoren \( V \) som gjør 272,55 kroner i 2008 til 340,10 kroner i 2022, altså 14 år senere.

1. Sett opp likningen Med fast vekst er lønnen etter \( n \) år startverdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i \( n\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Fra 2008 til 2022 er det 14 år: \[ 272{,}55 \cdot \textcolor{blue}{V}^{14} = 340{,}10 \]

2. Løs for vekstfaktoren Vi deler på \( 272{,}55 \) og tar fjortenderoten på begge sider. En rot kan skrives som en potens, \( {\sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}}}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{V}^{14} &= \dfrac{340{,}10}{272{,}55} \\ \textcolor{blue}{V} &= \left(\dfrac{340{,}10}{272{,}55}\right)^{\tfrac{1}{14}} \approx \textcolor{blue}{1{,}0159} \end{aligned} \]

Vekstfaktoren er \( 1 \) pluss prosenten som desimaltall, som i videoen Vekstfaktor: \[ \textcolor{blue}{V} = 1 + \dfrac{p}{100} \]\( {\textcolor{blue}{V} \approx \textcolor{blue}{1{,}0159}} \) betyr altså at lønnen har vokst med omtrent \( 1{,}59\,\% \) per år.

1. Løs likningen i CAS Vi løser \( {272{,}55 \cdot x^{14} = 340{,}10} \) i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(272.55*x^14 = 340.1, x)

Vekstfaktoren er positiv, så \( {V \approx 1{,}0159}\text{.} \) Lønnen har vokst med omtrent \( 1{,}6\,\% \) per år.

En eksponentialfunksjon har formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) Vi bruker alle punktene i tabellen og eksponentiell regresjon i GeoGebra, med \( x \) som år etter 2008.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon, men vi kan lage en modell selv, med timelønnen i 2008 og vekstfaktoren fra a): \( {g(x) = 272{,}55 \cdot 1{,}0159^x}\text{.} \) Øv på det, og på c) med modellen i svaret.

1. Legg punktene inn i GeoGebra \( x \) er antall år etter 2008, så 2008 blir \( {x = 0}\text{,} \) 2010 blir \( {x = 2}\text{,} \) 2013 blir \( {x = 5} \) og så videre, til 2022, som blir \( {x = 14}\text{.} \)

Vi skriver \( x \) i kolonne A og timelønnen i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) i \( {\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^x} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Kommandoen heter RegEksp:

Skriv inn i GeoGebra: g(x) = RegEksp(l1)

Regresjonen gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{277{,}8327}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}0155}}\text{.} \)

I c) regner vi videre med tallene i svaret, både med kalkulator og i regnearket.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}02}\text{.} \) Regner vi videre med \( 1{,}02\text{,} \) blir Pers samlede lønn i c) omtrent 8,17 millioner kroner i stedet for 7,91.

Vi bruker modellen \( g \) fra b) for Per. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den samlede lønnen er summen av årslønnene i de 15 årene fra 2008 til 2022. Årslønnen er 1700 timer ganget med timelønnen det året.

1. Skriv opp Amalies årslønn Amalies timelønn vokser med 2,3 prosent per år, så vekstfaktoren er \( \textcolor{green}{1{,}023}\text{.} \) Etter \( n \) år er timelønnen startverdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i \( n\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Årslønnen \( n \) år etter 2008 er da: \[ 1700 \cdot 272{,}55 \cdot \textcolor{green}{1{,}023}^n \]

2. Legg sammen de 15 årene Fra 2008 til 2022 går \( n \) fra \( 0 \) til \( 14\text{.} \) Vi setter \( {1700 \cdot 272{,}55 = 463\,335} \) utenfor og legger sammen potensene på kalkulatoren: \[ 1 + \textcolor{green}{1{,}023} + \cdots + \textcolor{green}{1{,}023}^{14} \approx 17{,}6732 \]

Med alle desimalene på kalkulatoren gir det Amalies samlede lønn: \[ \begin{aligned} S_A &= 463\,335 \cdot 17{,}6732\ldots \\ S_A &\approx 8\,188\,601 \end{aligned} \]

3. Regn ut Pers samlede lønn Pers timelønn følger modellen fra b): \[ g(x) \approx \textcolor{red}{277{,}83} \cdot \textcolor{blue}{1{,}0155}^x \]

Årslønnen \( n \) år etter 2008 er \( {1700 \cdot g(n)}\text{,} \) og \( {1700 \cdot 277{,}83 = 472\,311}\text{.} \) Vi legger sammen på samme måte: \[ \begin{aligned} &1 + \textcolor{blue}{1{,}0155} + \cdots + \textcolor{blue}{1{,}0155}^{14} \\ &\approx 16{,}7421 \end{aligned} \]

Det gir Pers samlede lønn: \[ \begin{aligned} S_P &\approx 472\,311 \cdot 16{,}7421\ldots \\ S_P &\approx 7\,907\,466 \end{aligned} \]Amalie har altså tjent omtrent 8,19 millioner kroner, og Per omtrent 7,91 millioner kroner.

1. Lag en tabell år for år Vi skriver årene i kolonne A, med 2008 i A2 og \( {\texttt{=A2+1}} \) i A3, og årslønnene til Amalie og Per i kolonne B og C. I 2008 er årslønnen 1700 timer ganget med timelønnen, og for Per bruker vi modellen fra b) med tallene i svaret, som med kalkulator. Hvert år etter er årslønnen året før ganget med vekstfaktoren: \[ \begin{aligned} \text{B2:}\quad & \texttt{=1700*272,55} \\ \text{C2:}\quad & \texttt{=1700*}\textcolor{red}{\texttt{277,83}} \\ \text{B3:}\quad & \texttt{=B2*}\textcolor{green}{\texttt{1,023}} \\ \text{C3:}\quad & \texttt{=C2*}\textcolor{blue}{\texttt{1,0155}} \end{aligned} \]Vi drar A3 til C3 ned til rad 16, altså 2022, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. I B17 og C17 summerer vi med \( {\texttt{=SUMMER(B2:B16)}} \) og \( {\texttt{=SUMMER(C2:C16)}}\text{:} \)

Regnearket gir \( 8\,188\,601 \) kroner for Amalie og \( 7\,907\,466 \) kroner for Per, det samme som med kalkulator, altså omtrent 8,19 og 7,91 millioner kroner.

Vi finner Amalies timelønn i 2025, og den faste vekstfaktoren som gjør Pers timelønn i 2022 til det samme på tre år.

1. Finn Amalies timelønn i 2025 2025 er 17 år etter 2008. Med vekstfaktoren \( 1{,}023 \) er timelønnen hennes da, som i videoen Vekstfaktor: \[ 272{,}55 \cdot 1{,}023^{17} \approx \textcolor{green}{401{,}17} \]

2. Finn Pers vekstfaktor Pers lønn har fulgt tabellen, så i 2022 var timelønnen hans \( 340{,}10 \) kroner. Fra 2022 til 2025 er det tre år. Med vekstfaktoren \( \textcolor{blue}{V} \) får vi: \[ \begin{aligned} 340{,}10 \cdot \textcolor{blue}{V}^3 &= \textcolor{green}{401{,}17} \\ \textcolor{blue}{V} &= \left(\dfrac{\textcolor{green}{401{,}17}}{340{,}10}\right)^{\tfrac{1}{3}} \approx \textcolor{blue}{1{,}0566} \end{aligned} \]Med \( {\textcolor{blue}{V} = 1 + \dfrac{p}{100}} \) er det en økning på omtrent \( 5{,}66\,\% \) per år.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver Amalies timelønn inn som \( A(x)\text{,} \) regner ut \( A(17) \) og løser \( {340{,}10 \cdot x^3 = A(17)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) := 272.55*1.023^x A(17) Løs(340.1*x^3 = A(17), x)

CAS gir \( {A(17) \approx 401{,}1732} \) og vekstfaktoren \( {x \approx 1{,}0566}\text{.} \) Pers lønn må gå opp med omtrent \( 5{,}7\,\% \) per år.

Vi setter \( {L = 130} \) inn i formelen, får \( \lg I \) alene og bruker definisjonen av \( \lg\text{.} \)

1. Få lg I alene Vi setter \( {L = 130} \) inn i formelen: \[ \begin{aligned} 120 + 10 \cdot \lg I &= 130 \\ 10 \cdot \lg I &= 10 \\ \textcolor{green}{\lg I} &= \textcolor{green}{1} \end{aligned} \]

2. Bruk definisjonen av lg \( \lg I \) er tallet vi må opphøye \( 10 \) i for å få \( I\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?: \[ \textcolor{green}{\lg I = 1} \quad \Leftrightarrow \quad I = 10^{\textcolor{green}{1}} = 10 \]

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen i CAS, med \( x \) for \( I\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(120 + 10*lg(x) = 130, x)

CAS gir \( {I = 10}\text{,} \) altså \( 10\,\text{W}/\text{m}^2\text{.} \)

Vi sammenligner intensiteten \( I_1 \) ved lydstyrken \( L \) med \( I_2 \) ved \( {L + 2}\text{.} \) Forskjellen mellom logaritmene gir forholdet \( \dfrac{I_2}{I_1}\text{,} \) og det er vekstfaktoren.

1. Sett opp de to lydstyrkene Vi kaller intensiteten \( \textcolor{blue}{I_1} \) ved lydstyrken \( L\text{,} \) og \( \textcolor{red}{I_2} \) ved \( {L + 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} L &= 120 + 10 \cdot \lg \textcolor{blue}{I_1} \\ L + 2 &= 120 + 10 \cdot \lg \textcolor{red}{I_2} \end{aligned} \]

Trekker vi den første likningen fra den andre og deler på \( 10\text{,} \) får vi: \[ 0{,}2 = \lg \textcolor{red}{I_2} - \lg \textcolor{blue}{I_1} \]

2. Bruk logaritmeregelen Logaritmeregelen for brøk forteller oss at: \[ \lg \textcolor{red}{a} - \lg \textcolor{blue}{b} = \lg \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir \( {\lg \dfrac{\textcolor{red}{I_2}}{\textcolor{blue}{I_1}} = 0{,}2}\text{,} \) og med definisjonen av \( \lg\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{I_2}}{\textcolor{blue}{I_1}} = 10^{0{,}2} \approx 1{,}585 \]

Intensiteten blir altså ganget med \( 1{,}585\text{,} \) uansett hva \( L \) er. Det er vekstfaktoren \( {1 + \dfrac{p}{100}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor, så intensiteten øker med omtrent \( 58{,}5\,\%\text{.} \)

1. Regn ut forholdet i CAS Vi løser formelen for \( I\text{:} \) først er \( {\lg I = \dfrac{L - 120}{10}}\text{,} \) og med definisjonen av \( \lg \) blir det \[ I = 10^{\tfrac{L - 120}{10}} \]Så lar vi CAS regne ut forholdet mellom intensitetene ved \( {L + 2} \) og \( L\text{.} \) Den siste raden er med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: I(L) := 10^((L - 120)/10) Forenkle(I(L + 2)/I(L)) I(L + 2)/I(L)

Forholdet er \( {\sqrt[5]{10} = 10^{0{,}2} \approx 1{,}5849}\text{,} \) uansett \( L\text{.} \) Intensiteten øker med omtrent \( 58{,}5\,\%\text{.} \)

Vi bruker at 130 dB gir \( {I = 10\,\text{W}/\text{m}^2}\text{,} \) som vi fant i a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner effekten \( E \) fra opplysningene om 140 dB i 50 m. Så finner vi avstanden der intensiteten er \( 10\,\text{W}/\text{m}^2\text{,} \) som svarer til 130 dB.

1. Finn effekten til flyet Med \( {L = 140} \) får vi som i a), med definisjonen av \( \lg \) som i videoen Hva er en Logaritme?: \[ \begin{aligned} 10 \cdot \lg I &= 20 \\ \lg I &= 2 \\ I &= 10^2 = 100 \end{aligned} \]

I avstanden \( {r = 50} \) er altså \( {I = 100}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen og løser for \( \textcolor{blue}{E}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 100 &= \dfrac{\textcolor{blue}{E}}{4\pi \cdot 50^2} \\ \textcolor{blue}{E} &= 100 \cdot 4\pi \cdot 2500 = \textcolor{blue}{1\,000\,000\pi} \end{aligned} \]

2. Finn avstanden for 130 dB I a) fant vi at 130 dB svarer til \( {I = 10}\text{.} \) Vi finner avstanden der flyet gir akkurat det: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000\pi}}{4\pi r^2} = 10 \]

Vi forkorter \( \pi\text{,} \) ganger begge sider med \( 4r^2 \) og deler på \( 40\text{:} \) \[ \begin{aligned} r^2 &= \dfrac{1\,000\,000}{40} = 25\,000 \\ r &= \sqrt{25\,000} = 50\sqrt{10} \end{aligned} \]Det er omtrent \( 158{,}1 \) m. Intensiteten, og dermed lydstyrken, avtar når \( r \) øker. Lydstyrken er derfor under 130 dB når avstanden er mer enn \( {50\sqrt{10} \approx 158{,}1} \) m.

1. Løs likningene i CAS Vi finner intensiteten ved 140 dB, regner ut \( E \) og løser \( {L = 130} \) for \( r\text{.} \) Den siste raden er med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(120 + 10*lg(x) = 140, x) E := 100*4*pi*50^2 Løs(120 + 10*lg(E/(4*pi*r^2)) = 130, r) 50*sqrt(10)

Avstanden er positiv, så \( {r = 50\sqrt{10} \approx 158{,}1139}\text{.} \) Lydstyrken er under 130 dB når flyet er mer enn omtrent 158,1 m unna.