Eksamensoppgaver etter tema

Trekanten er rettvinklet i \( B\text{,} \) så arealet er halvparten av \( AB \) ganget med \( BP\text{.} \) Vi skriver arealet som en funksjon av \( s \) og finner toppunktet med den deriverte.

1. Faktoriser g Vi prøver med tall som går opp i \( 15\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(1) &= 1 - 3 - 13 + 15 = 0 \\ g(5) &= 125 - 75 - 65 + 15 = 0 \\ g(-3) &= -27 - 27 + 39 + 15 = 0 \end{aligned} \]Nullpunktssetningen sier at \( {(x - r)} \) er en faktor når \( {g(r) = 0}\text{,} \) som i videoen Nullpunktssetningen. Tredjegradspolynomet har tre nullpunkter og \( 1 \) foran \( x^3\text{,} \) så: \[ g(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 3) \]

2. Uttrykk arealet ved s For \( {1 < s < 5} \) er \( {s - 1 > 0}\text{,} \) \( {s - 5 < 0} \) og \( {s + 3 > 0}\text{,} \) så \( {g(s) < 0}\text{,} \) og \( P \) ligger under \( x \)-aksen. Grunnlinjen er \( {\textcolor{blue}{AB = s - 1}}\text{,} \) og høyden er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{BP} &= -g(s) \\ &= \textcolor{red}{(s - 1)(5 - s)(s + 3)} \end{aligned} \]

Arealet er halvparten av grunnlinjen ganget med høyden: \[ \begin{aligned} T(s) &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot \textcolor{red}{BP} \\ T(s) &= \dfrac{1}{2}(s - 1)^2(5 - s)(s + 3) \\ T(s) &= \dfrac{1}{2}(s - 1)^2(-s^2 + 2s + 15) \end{aligned} \]I siste linje har vi ganget ut \( {(5 - s)(s + 3)}\text{.} \)

3. Deriver med produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Med kjerneregelen er \( {\left(\dfrac{1}{2}(s - 1)^2\right)' = s - 1}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}(s - 1)^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{s - 1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-s^2 + 2s + 15} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-2s + 2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, er \( {\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} = -(s - 1)^3}\text{.} \) Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{s - 1}} \) utenfor og trekker sammen: \[ \begin{aligned} T'(s) &= \textcolor{red}{(s - 1)}(\textcolor{blue}{-s^2 + 2s + 15}) \\ &\quad - (s - 1)^3 \\ &= (\textcolor{darkorange}{s - 1})(-2s^2 + 4s + 14) \\ &= -2(\textcolor{darkorange}{s - 1})(s^2 - 2s - 7) \end{aligned} \]

4. Sett den deriverte lik null For \( {1 < s < 5} \) er \( {\textcolor{darkorange}{s - 1} > 0}\text{,} \) så \( {T'(s) = 0} \) når \( {s^2 - 2s - 7 = 0}\text{.} \) Vi skriver likningen som \( {p s^2 + q s + r = 0}\text{.} \) Løsningene finner vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ s = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p} \]

Plugger vi inn \( {p = 1}\text{,} \) \( {q = -2} \) og \( {r = -7}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} s &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} \\ s &= \dfrac{2 \pm \sqrt{32}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2} \end{aligned} \]Bare \( {s = 1 + 2\sqrt{2} \approx 3{,}83} \) ligger i \( \langle 1, 5 \rangle\text{.} \)

For \( {1 < s < 1 + 2\sqrt{2}} \) er \( {s^2 - 2s - 7 < 0}\text{,} \) så \( {T'(s) > 0}\text{,} \) og etter er \( {T'(s) < 0}\text{.} \) Arealet vokser og så avtar, så \( {s = 1 + 2\sqrt{2}} \) gir det største arealet.

5. Regn ut arealet Med \( {s = 1 + 2\sqrt{2}} \) er \( {(s - 1)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8}\text{.} \) Siden \( {s^2 - 2s - 7 = 0}\text{,} \) er \( {-s^2 + 2s + 15 = 8}\text{:} \) \[ T(1 + 2\sqrt{2}) = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32 \]

1. Finn toppunktet i CAS Vi skriver arealet som en funksjon av \( s\text{,} \) med høyden \( {-g(s)}\text{,} \) og løser \( {T'(s) = 0} \) med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I CAS kaller vi arealet \( A(s)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := x^3 - 3x^2 - 13x + 15 A(s) := 1/2*(s - 1)*(-g(s)) Løs(A'(s) = 0, s) A(1 + 2sqrt(2))

Bare \( {s = 2\sqrt{2} + 1} \) ligger i \( \langle 1, 5 \rangle\text{,} \) og der er arealet \( 32\text{.} \) Arealet går mot \( 0 \) i begge endene av intervallet, så det er det største.