Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser hvordan tallene endrer seg fra år til år, og velger modell etter det. Så lager vi modellene med regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon, men vi kan lage modellene selv: bensin med tallet i 2010 og den gjennomsnittlige endringen per år, og El. med tallet i 2015 og vekstfaktoren \( k \) der \( {557 \cdot k^7 = 5363}\text{,} \) altså \( {k \approx 1{,}38}\text{.} \) Øv på det, og på å bruke modellene i svaret.

1. Velg modeller ut fra tabellen Bensin minker hvert år, med mellom omtrent 200 og 900 biler, og nedgangen blir verken tydelig større eller mindre. I snitt er endringen per år: \[ \dfrac{8705 - 14\,185}{12} \approx -457 \]Når noe endrer seg med omtrent like mye hvert år, passer en lineær modell.

Elbilene ganges med omtrent det samme tallet, vekstfaktoren, hvert år fra 2015. For eksempel er: \[ \dfrac{754}{557} \approx 1{,}35 \qquad \dfrac{5363}{4031} \approx 1{,}33 \]Fra 2015 til 2022 ligger vekstfaktoren mellom 1,33 og 1,43. Da passer en eksponentiell modell, verdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i tiden, som i videoen Vekstfaktor. Før 2015 var tallene små og vokste med ujevne faktorer, fra 1,8 til 7, så vi lager den modellen av årene fra 2015.

2. Lag modellene med regresjon Vi skriver \( t \) i kolonne A og tallene i kolonne B i regnearket, markerer dem og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista for bensin får navnet \( l_1\text{,} \) og lista for El. fra 2015, \( {t = 5} \) til \( {t = 12}\text{,} \) navnet \( l_2\text{.} \)

Regresjonen finner tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. RegLin gir en rett linje, og RegEksp en eksponentiell modell. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B = RegLin(l1) E(x) = RegEksp(l2)

3. Skriv opp modellene Med \( t \) for \( x \) gir det: \[ \begin{aligned} B(t) &\approx \textcolor{blue}{-451{,}8}t + 14\,243 \\ E(t) &\approx 107{,}8 \cdot \textcolor{red}{1{,}387}^t \end{aligned} \]Ifølge modellene blir det omtrent \( \textcolor{blue}{452} \) færre bensinbiler hvert år, og omtrent \( \textcolor{red}{39\,\%} \) flere elbiler hvert år. Begge grafene går nær punktene. Andre modeller kan også være riktige når de er begrunnet, for eksempel en eksponentiell modell for bensin.

Vi bruker modellene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hva modellene sier om årene etter 2022, og om svarene er mulige. Antall bensinbiler kan ikke bli negativt, og det kan ikke bli flere elbiler enn det er biler i Moss.

1. Se på bensinmodellen Vi ser hvordan modellene oppfører seg etter det siste året i tabellen, som når vi vurderer gyldighetsområdet i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I a) fant vi modellen: \[ B(t) \approx \textcolor{blue}{-451{,}8}t + 14\,243 \]Ifølge den blir det omtrent \( \textcolor{blue}{452} \) færre bensinbiler hvert år. Den når \( 0 \) når: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-451{,}8}t + 14\,243 &= 0 \\ t &= \dfrac{14\,243}{\textcolor{blue}{451{,}8}} \approx 31{,}5 \end{aligned} \]Det er mellom 2041 og 2042. Etter det gir modellen et negativt antall, så den kan gjelde høyst til 2041. Trolig endrer nedgangen seg også når det blir færre bensinbiler igjen.

2. Se på elbilmodellen I a) fant vi modellen: \[ E(t) \approx 107{,}8 \cdot \textcolor{red}{1{,}387}^t \]Ifølge den blir det omtrent \( \textcolor{red}{39\,\%} \) flere elbiler hvert år. Til sammen var det \( 26\,017 \) personbiler i Moss i 2022, summen av tallene for 2022 i tabellen. Modellen passerer det tallet når: \[ \begin{aligned} 107{,}8 \cdot \textcolor{red}{1{,}387}^t &= 26\,017 \\ \textcolor{red}{1{,}387}^t &= \dfrac{26\,017}{107{,}8} \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og flytter \( t \) ned fra eksponenten med logaritmeregelen \( {\ln(a^t) = t \cdot \ln a}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} t \cdot \ln \textcolor{red}{1{,}387} &= \ln\left(\dfrac{26\,017}{107{,}8}\right) \\ t &= \dfrac{\ln\left(\dfrac{26\,017}{107{,}8}\right)}{\ln \textcolor{red}{1{,}387}} \approx 16{,}8 \end{aligned} \]Det er mellom 2026 og 2027. Så mange elbiler kan det ikke bli, så veksten må flate ut før det. Modellen gjelder bare noen få år fram. På lengre sikt passer en logistisk modell bedre, fordi den flater ut.

1. Finn når modellene blir urimelige I a) lagret vi modellene som \( B \) og \( E \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ \begin{aligned} B(t) &\approx \textcolor{blue}{-451{,}7857}t + 14\,243{,}2527 \\ E(t) &\approx 107{,}7611 \cdot \textcolor{red}{1{,}3868}^t \end{aligned} \]

Vi finner der \( B \) skjærer \( x \)-aksen, og der \( E \) når 26 017, alle personbilene i Moss i 2022, med verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: N = Skjæring(B, xAkse) h: y = 26017 P = Skjæring(E, h, (17, 26017))

GeoGebra gir \( {N \approx (31{,}5266,\ 0)} \) og \( {P \approx (16{,}7794,\ 26\,017)}\text{.} \) Bensinmodellen når \( 0 \) mellom 2041 og 2042, og elbilmodellen passerer alle personbilene i Moss mellom 2026 og 2027. Bensinmodellen kan derfor gjelde høyst til 2041, og elbilmodellen bare noen få år fram.