Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

gjennomsnitt

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i R1 om gjennomsnitt

Oppgavene

R1 vår 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 7

I denne oppgaven skal du bruke algoritmen nedenfor til å finne en tilnærmet verdi for gjennomsnittet til en funksjon f f i et intervall [a,b]. [a, b]\text{.}
Algoritme Velg N+1 {N + 1} tall jevnt fordelt i intervallet [a,b]. [a, b]\text{.} La a=x0<x1<⋯<xN=b {a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b} være disse tallene. Avstanden mellom et av tallene og det neste er da b−aN. {\dfrac{b - a}{N}}\text{.} Regn ut gjennomsnittet g g av tallene f(x0),f(x1),⋯ ,f(xN). {f(x_0), f(x_1), \cdots, f(x_N)}\text{.} Da er g g en god tilnærmet verdi for gjennomsnittet til f f i [a,b]. [a, b]\text{.} Denne tilnærmingen blir bedre dess større N N er.
Lag et program som du kan bruke til å bestemme gjennomsnittet til funksjonen g g gitt ved
f(x)=x f(x) = \sqrt{x}
i intervallet [0,1]. [0, 1]\text{.} Hva blir dette gjennomsnittet?
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Programmet følger algoritmen: det deler \( [0, 1] \) i \( N \) like store deler, legger sammen \( f(x_0), \ldots, f(x_N) \) i en løkke og deler summen på \( {N + 1}\text{,} \) antall tall.
Merk – Skrivefeil i oppgaven: Oppgaveteksten sier «funksjonen \( g \) gitt ved \( {f(x) = \sqrt{x}} \)». I algoritmen er \( g \) gjennomsnittet, og på nynorsk står det «funksjonen \( f \)», så funksjonen er \( {f(x) = \sqrt{x}}\text{.} \)
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir: en funksjon, en løkke som legger sammen, og et gjennomsnitt.
Metode: Med Python
1. Finn tallene i algoritmen Avstanden mellom tallene er \( {\textcolor{blue}{\Delta x} = \dfrac{b - a}{N}}\text{,} \) så tall nummer \( i \) er: \[ x_i = a + i \cdot \textcolor{blue}{\Delta x}, \quad i = 0, 1, \ldots, N \]Med \( {a = 0} \) og \( {b = 1} \) er \( {\textcolor{blue}{\Delta x} = \dfrac{1}{N}}\text{.} \)
2. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 henter kvadratroten, og linje 3 og 4 definerer \( {f(x) = \sqrt{x}}\text{.} \) Linje 6 til 8 gir \( {a = 0}\text{,} \) \( {b = 1} \) og \( {N = 100\,000}\text{,} \) og linje 10 regner ut \( \textcolor{blue}{\Delta x}\text{,} \) som heter \( \texttt{dx} \) i koden.
Løkka i linje 13 til 15 går gjennom \( {i = 0, 1, \ldots, N}\text{,} \) fordi \( {\texttt{range(N + 1)}} \) stopper før \( {N + 1}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. For hver \( i \) regner den ut \( x_i \) og legger \( f(x_i) \) til \( \textcolor{red}{\texttt{summen}}\text{.} \)
Linje 17 deler \( \textcolor{red}{\texttt{summen}} \) på \( {N + 1}\text{,} \) fordi det er \( {N + 1} \) tall, ikke \( N\text{.} \) Linje 18 skriver ut gjennomsnittet \( g\text{.} \)
3. Kjør programmet Programmet skriver ut \( 0{,}66666499\ldots\text{.} \) Tilnærmingen blir bedre jo større \( N \) er: \( {N = 10} \) gir \( 0{,}6459\text{,} \) og \( {N = 1000} \) gir \( 0{,}6665\text{.} \) Med store \( N \) stabiliserer gjennomsnittet seg på omtrent \( 0{,}667\text{.} \)