Eksamensoppgaver etter tema

Vi setter \( {L = 130} \) inn i formelen, får \( \lg I \) alene og bruker definisjonen av \( \lg\text{.} \)

1. Få lg I alene Vi setter \( {L = 130} \) inn i formelen: \[ \begin{aligned} 120 + 10 \cdot \lg I &= 130 \\ 10 \cdot \lg I &= 10 \\ \textcolor{green}{\lg I} &= \textcolor{green}{1} \end{aligned} \]

2. Bruk definisjonen av lg \( \lg I \) er tallet vi må opphøye \( 10 \) i for å få \( I\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?: \[ \textcolor{green}{\lg I = 1} \quad \Leftrightarrow \quad I = 10^{\textcolor{green}{1}} = 10 \]

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen i CAS, med \( x \) for \( I\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(120 + 10*lg(x) = 130, x)

CAS gir \( {I = 10}\text{,} \) altså \( 10\,\text{W}/\text{m}^2\text{.} \)

Vi sammenligner intensiteten \( I_1 \) ved lydstyrken \( L \) med \( I_2 \) ved \( {L + 2}\text{.} \) Forskjellen mellom logaritmene gir forholdet \( \dfrac{I_2}{I_1}\text{,} \) og det er vekstfaktoren.

1. Sett opp de to lydstyrkene Vi kaller intensiteten \( \textcolor{blue}{I_1} \) ved lydstyrken \( L\text{,} \) og \( \textcolor{red}{I_2} \) ved \( {L + 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} L &= 120 + 10 \cdot \lg \textcolor{blue}{I_1} \\ L + 2 &= 120 + 10 \cdot \lg \textcolor{red}{I_2} \end{aligned} \]

Trekker vi den første likningen fra den andre og deler på \( 10\text{,} \) får vi: \[ 0{,}2 = \lg \textcolor{red}{I_2} - \lg \textcolor{blue}{I_1} \]

2. Bruk logaritmeregelen Logaritmeregelen for brøk forteller oss at: \[ \lg \textcolor{red}{a} - \lg \textcolor{blue}{b} = \lg \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir \( {\lg \dfrac{\textcolor{red}{I_2}}{\textcolor{blue}{I_1}} = 0{,}2}\text{,} \) og med definisjonen av \( \lg\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{I_2}}{\textcolor{blue}{I_1}} = 10^{0{,}2} \approx 1{,}585 \]

Intensiteten blir altså ganget med \( 1{,}585\text{,} \) uansett hva \( L \) er. Det er vekstfaktoren \( {1 + \dfrac{p}{100}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor, så intensiteten øker med omtrent \( 58{,}5\,\%\text{.} \)

1. Regn ut forholdet i CAS Vi løser formelen for \( I\text{:} \) først er \( {\lg I = \dfrac{L - 120}{10}}\text{,} \) og med definisjonen av \( \lg \) blir det \[ I = 10^{\tfrac{L - 120}{10}} \]Så lar vi CAS regne ut forholdet mellom intensitetene ved \( {L + 2} \) og \( L\text{.} \) Den siste raden er med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: I(L) := 10^((L - 120)/10) Forenkle(I(L + 2)/I(L)) I(L + 2)/I(L)

Forholdet er \( {\sqrt[5]{10} = 10^{0{,}2} \approx 1{,}5849}\text{,} \) uansett \( L\text{.} \) Intensiteten øker med omtrent \( 58{,}5\,\%\text{.} \)

Vi bruker at 130 dB gir \( {I = 10\,\text{W}/\text{m}^2}\text{,} \) som vi fant i a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner effekten \( E \) fra opplysningene om 140 dB i 50 m. Så finner vi avstanden der intensiteten er \( 10\,\text{W}/\text{m}^2\text{,} \) som svarer til 130 dB.

1. Finn effekten til flyet Med \( {L = 140} \) får vi som i a), med definisjonen av \( \lg \) som i videoen Hva er en Logaritme?: \[ \begin{aligned} 10 \cdot \lg I &= 20 \\ \lg I &= 2 \\ I &= 10^2 = 100 \end{aligned} \]

I avstanden \( {r = 50} \) er altså \( {I = 100}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen og løser for \( \textcolor{blue}{E}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 100 &= \dfrac{\textcolor{blue}{E}}{4\pi \cdot 50^2} \\ \textcolor{blue}{E} &= 100 \cdot 4\pi \cdot 2500 = \textcolor{blue}{1\,000\,000\pi} \end{aligned} \]

2. Finn avstanden for 130 dB I a) fant vi at 130 dB svarer til \( {I = 10}\text{.} \) Vi finner avstanden der flyet gir akkurat det: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000\pi}}{4\pi r^2} = 10 \]

Vi forkorter \( \pi\text{,} \) ganger begge sider med \( 4r^2 \) og deler på \( 40\text{:} \) \[ \begin{aligned} r^2 &= \dfrac{1\,000\,000}{40} = 25\,000 \\ r &= \sqrt{25\,000} = 50\sqrt{10} \end{aligned} \]Det er omtrent \( 158{,}1 \) m. Intensiteten, og dermed lydstyrken, avtar når \( r \) øker. Lydstyrken er derfor under 130 dB når avstanden er mer enn \( {50\sqrt{10} \approx 158{,}1} \) m.

1. Løs likningene i CAS Vi finner intensiteten ved 140 dB, regner ut \( E \) og løser \( {L = 130} \) for \( r\text{.} \) Den siste raden er med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(120 + 10*lg(x) = 140, x) E := 100*4*pi*50^2 Løs(120 + 10*lg(E/(4*pi*r^2)) = 130, r) 50*sqrt(10)

Avstanden er positiv, så \( {r = 50\sqrt{10} \approx 158{,}1139}\text{.} \) Lydstyrken er under 130 dB når flyet er mer enn omtrent 158,1 m unna.