Eksamensoppgaver etter tema

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og farten er lengden av fartsvektoren. Til slutt gjør vi kilometer per time om til knop.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( \vec{r}\,'(t)\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg, og konstantene \( 1 \) og \( 4 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \vec{r}\,'(t) = [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{8}] \]

2. Regn ut farten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Enhetene er kilometer og timer, så farten er: \[ \begin{aligned} |\vec{r}\,'(t)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + \textcolor{red}{8}^2} = \sqrt{89} \\ |\vec{r}\,'(t)| &\approx 9{,}434\,\text{km/h} \end{aligned} \]

3. Gjør om til knop 1 knop er 1852 meter per time, altså \( 1{,}852\,\text{km/h}\text{.} \) Vi deler farten på \( 1{,}852\text{:} \) \[ \dfrac{\sqrt{89}}{1{,}852} \approx 5{,}09 \]Fiskebåten holder omtrent \( 5{,}1 \) knop.

1. Regn ut i CAS Vi deriverer posisjonen i CAS og regner ut lengden av fartsvektoren. Den siste raden deler på 1,852 km/h med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (1 + 5t, 4 + 8t) v(t) := r'(t) Lengde(v(t)) Lengde(v(t))*1000/1852

CAS gir fartsvektoren \( (5, 8)\text{,} \) farten \( \sqrt{89} \) km/h og omtrent \( 5{,}0939 \) knop.

Vi skriver avstanden mellom båten og fyret som en funksjon av \( t \) og finner der den er minst. Det er enklest å finne bunnpunktet til kvadratet av avstanden.

1. Skriv opp avstanden Vektoren fra fyret til båten er \( {\vec{r}(t) - [4, 7]}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &[1 + 5t - 4,\ 4 + 8t - 7] \\ &= [\textcolor{blue}{5t - 3}, \textcolor{red}{8t - 3}] \end{aligned} \]

Avstanden \( d(t) \) er lengden av den, som vi finner med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) som i videoen Lengden til en Vektor. Vi ganger ut med andre kvadratsetning, \( {(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} d(t)^2 &= (\textcolor{blue}{5t - 3})^2 + (\textcolor{red}{8t - 3})^2 \\ d(t)^2 &= 89t^2 - 78t + 18 \end{aligned} \]

2. Finn når avstanden er minst Avstanden er minst når \( d(t)^2 \) er minst, fordi \( {d(t) \ge 0}\text{.} \) Vi deriverer og setter den deriverte lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \left(d(t)^2\right)' = 178t - 78 &= 0 \\ t &= \dfrac{39}{89} \end{aligned} \]Grafen til \( d(t)^2 \) er en parabel som vender opp, så det er et bunnpunkt.

3. Regn ut avstanden Vi setter \( {t = \dfrac{39}{89}} \) inn: \[ \begin{aligned} d^2 &= 89 \cdot \dfrac{39^2}{89^2} - 78 \cdot \dfrac{39}{89} + 18 = \dfrac{81}{89} \\ d &= \sqrt{\dfrac{81}{89}} = \dfrac{9}{\sqrt{89}} \approx 0{,}954 \end{aligned} \]Den minste avstanden er omtrent \( 0{,}954 \) km, altså omtrent 954 meter.

1. Finn bunnpunktet i CAS Vi skriver avstanden mellom båten og fyret som en funksjon i CAS, setter den deriverte lik \( 0 \) og regner ut avstanden. Rad 4 er rad 3 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: d(t) := Avstand((1 + 5t, 4 + 8t), (4, 7)) Løs(d'(t) = 0, t) d(39/89)

CAS gir \( {t = \dfrac{39}{89}} \) og den minste avstanden \( {\dfrac{9}{89}\sqrt{89} \approx 0{,}954} \) km.

Båten treffer stimen bare hvis de er på samme sted til samme tid. Da må begge koordinatene være like for den samme \( t\text{.} \)

1. Skriv opp posisjonen til stimen Stimen har den samme farten hele tiden, så for hver time flytter den seg \( 4 \) km bortover og \( 11 \) km oppover, som \( \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \) i videoen Parametrisering, eksempel oppgave 1. Den starter i \( {(1, -3)}\text{,} \) så etter \( t \) timer er den i: \[ [\textcolor{blue}{1 + 4t},\ \textcolor{red}{-3 + 11t}] \]

2. Sett koordinatene like Båten er i \( {[\textcolor{blue}{1 + 5t},\ \textcolor{red}{4 + 8t}]}\text{.} \) Førstekoordinatene er like når: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1 + 5t} &= \textcolor{blue}{1 + 4t} \\ t &= 0 \end{aligned} \]

Da er andrekoordinatene \( {\textcolor{red}{4 + 8 \cdot 0} = 4} \) og \( {\textcolor{red}{-3 + 11 \cdot 0} = -3}\text{,} \) som ikke er like. Førstekoordinatene er altså like bare når andrekoordinatene er ulike, så båten og stimen er aldri på samme sted til samme tid.

Vi bruker posisjonen til fiskestimen fra c), \( {[1 + 4t,\ -3 + 11t]}\text{.} \)

Båten går i retning langs \( {\vec{u} = [6, 4]} \) med en ukjent fart, så fartsvektoren er \( {k \cdot \vec{u}}\text{.} \) Vi finner \( k \) slik at båten og stimen er på samme sted til samme tid.

1. Skriv opp posisjonen til båten Fartsvektoren er \( {\textcolor{green}{k} \cdot [6, 4] = [6\textcolor{green}{k}, 4\textcolor{green}{k}]}\text{,} \) der \( {\textcolor{green}{k} > 0}\text{.} \) Båten starter i \( {(-2, 0)}\text{,} \) så etter \( t \) timer er den i: \[ [\textcolor{blue}{-2 + 6\textcolor{green}{k}t},\ \textcolor{red}{4\textcolor{green}{k}t}] \]

2. Sett koordinatene like Båten og stimen skal være på samme sted til samme tid. Førstekoordinatene er blå og andrekoordinatene røde: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-2 + 6\textcolor{green}{k}t} &= \textcolor{blue}{1 + 4t} \\ \textcolor{red}{4\textcolor{green}{k}t} &= \textcolor{red}{-3 + 11t} \end{aligned} \]

Den andre likningen gir \( {\textcolor{green}{k}t = \dfrac{11t - 3}{4}}\text{.} \) Vi setter det inn i den første og ganger med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2 + \dfrac{3(11t - 3)}{2} &= 1 + 4t \\ -4 + 33t - 9 &= 2 + 8t \\ 25t &= 15 \\ t &= \dfrac{3}{5} = 0{,}6 \end{aligned} \]

Da er \( {\textcolor{green}{k}t = \dfrac{11 \cdot 0{,}6 - 3}{4} = 0{,}9}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{k} = \dfrac{0{,}9}{0{,}6} = \textcolor{green}{\dfrac{3}{2}}}\text{.} \)

3. Regn ut farten Fartsvektoren er \( {\textcolor{green}{\dfrac{3}{2}} \cdot [6, 4] = [9, 6]}\text{.} \) Med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) som i videoen Lengden til en Vektor, er farten: \[ \begin{aligned} |[9, 6]| &= \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{117} \\ |[9, 6]| &= 3\sqrt{13} \approx 10{,}82 \end{aligned} \]Det er omtrent \( 10{,}8\,\text{km/h}\text{,} \) eller \( {\dfrac{10{,}82}{1{,}852} \approx 5{,}8} \) knop.

1. Løs likningssettet i CAS Vi løser de to likningene for \( k \) og \( t \) i CAS, som i videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Så regner vi ut lengden av fartsvektoren \( {\dfrac{3}{2} \cdot [6, 4]} \) og deler på 1,852 km/h. Rad 3 er rad 2 med knappen ≈, og rad 4 regner vi ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs({-2 + 6k*t = 1 + 4t, 4k*t = -3 + 11t}, {k, t}) Lengde(3/2*Vektor((6, 4))) Lengde(3/2*Vektor((6, 4)))*1000/1852

CAS gir \( {k = \dfrac{3}{2}} \) og \( {t = \dfrac{3}{5}}\text{,} \) og farten \( {3\sqrt{13} \approx 10{,}8167} \) km/h, altså omtrent \( 5{,}8405 \) knop.