Eksamensoppgaver etter tema

\( C \) ligger på \( \ell \) når én og samme \( {t > 0} \) gir begge koordinatene til \( C\text{.} \)

1. Finn t fra koordinatene Hvert punkt på \( \ell \) hører til en verdi av \( t\text{,} \) som i kapittelet Parametrisering. Vi setter førstekoordinaten \( \textcolor{blue}{24} \) og andrekoordinaten \( \textcolor{red}{10} \) til \( C \) inn i parameterframstillingen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{12t} = \textcolor{blue}{24} \quad &\Rightarrow \quad t = 2 \\ \textcolor{red}{5t} = \textcolor{red}{10} \quad &\Rightarrow \quad t = 2 \end{aligned} \]Begge koordinatene gir den samme \( {t = 2}\text{,} \) og \( {2 > 0}\text{.} \) Altså ligger \( C \) på \( \ell\text{.} \)

\( \angle BAC \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{.} \) Skalarproduktet gir oss cosinus til den.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet av to vektorer er: \[ \vec{u} \cdot \vec{w} = |\vec{u}| \cdot |\vec{w}| \cdot \cos v \]der \( v \) er vinkelen mellom dem, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Løser vi for \( \cos v\text{,} \) får vi: \[ \cos v = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{w}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{w}|} \]

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen. Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] &= \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \\ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| &= \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet og lengdene Vektorene fra \( A(0, 0) \) er \( {\overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{9}, \textcolor{red}{1}]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [\textcolor{blue}{24}, \textcolor{red}{10}]}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= \textcolor{blue}{9 \cdot 24} + \textcolor{red}{1 \cdot 10} = 226 \\ |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{9}^2 + \textcolor{red}{1}^2} = \sqrt{82} \\ |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{24}^2 + \textcolor{red}{10}^2} = 26 \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos v &= \dfrac{226}{\sqrt{82} \cdot 26} = \dfrac{113}{13\sqrt{82}} \\ v &= \cos^{-1}\left(\dfrac{113}{13\sqrt{82}}\right) \approx 16{,}28^\circ \end{aligned} \]Altså er \( {\angle BAC \approx 16{,}28^\circ}\text{.} \)

1. Mål vinkelen mellom vektorene Vi legger inn punktene, lager vektorene \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) og finner vinkelen mellom dem med Vinkel:

Skriv inn i GeoGebra: A = (0, 0) B = (9, 1) C = (24, 10) u = Vektor(A, B) w = Vektor(A, C) α = Vinkel(u, w)

GeoGebra gir \( {\alpha \approx 16{,}2797^\circ}\text{,} \) altså \( {\angle BAC \approx 16{,}28^\circ}\text{.} \)

Vi skriver \( D \) med parameteren \( t \) og bruker skalarproduktet som i b), nå med vinkelen \( 120^\circ \) mellom \( \overrightarrow{DA} \) og \( \overrightarrow{DB}\text{.} \)

1. Skriv vektorene fra D Et punkt på \( \ell \) er \( {D = (12t, 5t)} \) med \( {t > 0}\text{.} \) Vektorene fra \( D \) til \( A \) og \( B \) er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{DA} &= [\textcolor{blue}{-12t}, \textcolor{red}{-5t}] \\ \overrightarrow{DB} &= [\textcolor{blue}{9 - 12t}, \textcolor{red}{1 - 5t}] \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet og lengdene Med koordinater og Pythagoras, som i b), får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} &= \textcolor{blue}{-12t(9 - 12t)} \\ &\quad \textcolor{red}{{}- 5t(1 - 5t)} \\ &= 169t^2 - 113t \end{aligned} \]

Lengdene er: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{DA}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{(-12t)}^2 + \textcolor{red}{(-5t)}^2} = 13t \\ |\overrightarrow{DB}| &= \sqrt{169t^2 - 226t + 82} \end{aligned} \]

3. Sett opp likningen Vinkelen mellom \( \overrightarrow{DA} \) og \( \overrightarrow{DB} \) skal være \( 120^\circ\text{,} \) og \( {\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}}\text{.} \) Som i b) bruker vi at: \[ \cos v = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{w}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{w}|} \]

Med \( {\vec{u} = \overrightarrow{DA}} \) og \( {\vec{w} = \overrightarrow{DB}} \) får vi: \[ \dfrac{169t^2 - 113t}{13t \cdot \sqrt{169t^2 - 226t + 82}} = -\dfrac{1}{2} \]

Vi forkorter med \( {t > 0}\text{,} \) og ganger med \( {-2} \) og med \( {13\sqrt{169t^2 - 226t + 82}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &-2(169t - 113) \\ &= 13\sqrt{169t^2 - 226t + 82} \end{aligned} \]Høyre side er positiv, så venstre side må også være det. Det betyr at \( {169t - 113 < 0}\text{.} \)

4. Kvadrer begge sider Vi kvadrerer begge sider: \[ \begin{aligned} &4(169t - 113)^2 \\ &= 169(169t^2 - 226t + 82) \end{aligned} \]

Tallene blir mindre med \( {u = 169t}\text{.} \) Da er \( {169 \cdot 169t^2 = u^2} \) og \( {169 \cdot 226t = 226u}\text{,} \) og \( {169 \cdot 82 = 13\,858}\text{:} \) \[ 4(u - 113)^2 = u^2 - 226u + 13\,858 \]

Vi ganger ut, samler alt på venstre side og deler på \( 3\text{:} \) \[ u^2 - 226u + 12\,406 = 0 \]

5. Løs med abc-formelen Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}u^2 + \textcolor{red}{b}u + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-226}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{12\,406}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{226 \pm \sqrt{226^2 - 4 \cdot 12\,406}}{2} \\ u &= \dfrac{226 \pm \sqrt{1452}}{2} \\ u &\approx 132{,}05 \quad \text{eller} \quad u \approx 93{,}95 \end{aligned} \]

6. Velg løsningen og finn D Kravet \( {169t - 113 < 0} \) betyr \( {u < 113}\text{,} \) så \( {u \approx 93{,}95}\text{.} \) Den andre løsningen gir \( 60^\circ\text{,} \) fordi kvadreringen også tar med \( {\cos v = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Med alle desimalene fra kalkulatoren er: \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{u}{169} \approx 0{,}5559 \\ D &\approx (12 \cdot 0{,}5559;\ 5 \cdot 0{,}5559) \\ D &\approx (6{,}67;\ 2{,}78) \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi skriver punktene inn i CAS, med \( {D = (12t, 5t)}\text{,} \) og løser likningen for skalarproduktet med Løs. Rad 5 setter løsningen inn i \( D\text{,} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: A := (0, 0) B := (9, 1) D := (12t, 5t) Løs((A - D)*(B - D) = Lengde(A - D)*Lengde(B - D)*cos(120°), t) ByttUt(D, t = (113 - 11*sqrt(3))/169)

\( {t = 0} \) gir \( {D = A}\text{,} \) og den er ikke med, siden \( {t > 0}\text{.} \) Den andre løsningen er \( {t = \dfrac{113 - 11\sqrt{3}}{169} \approx 0{,}5559}\text{,} \) og \( {D \approx (6{,}6708;\ 2{,}7795)}\text{.} \)

Vi bruker \( {\cos v = \dfrac{113}{13\sqrt{82}}} \) og \( {|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{82}} \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( E \) ligger på strålen fra \( A \) gjennom \( C\text{,} \) så vinkelen i \( A \) er vinkelen \( v \) fra b). Vi bruker arealsetningen og løser for \( t\text{.} \)

1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant er halvparten av to sider ganget med sinus til vinkelen mellom dem: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{|\overrightarrow{AB}|} \cdot \textcolor{red}{|\overrightarrow{AE}|} \cdot \textcolor{green}{\sin v} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

2. Finn sin v eksakt I b) fant vi \( {\cos v = \dfrac{113}{13\sqrt{82}}}\text{.} \) I en rettvinklet trekant med hypotenus \( 1 \) er katetene \( \sin v \) og \( \cos v\text{,} \) så Pythagoras gir \( {\sin^2 v + \cos^2 v = 1}\text{.} \)

Her er \( {(13\sqrt{82})^2 = 13\,858} \) og \( {113^2 = 12\,769}\text{,} \) og forskjellen er \( {1089 = 33^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin^2 v &= 1 - \dfrac{12\,769}{13\,858} = \dfrac{1089}{13\,858} \\ \textcolor{green}{\sin v} &= \textcolor{green}{\dfrac{33}{13\sqrt{82}}} \end{aligned} \]

3. Sett arealet lik 11 \( {E = (12t, 5t)} \) med \( {t > 0}\text{,} \) så \( {\textcolor{red}{|\overrightarrow{AE}|} = \textcolor{red}{13t}}\text{,} \) siden \( {(12t)^2 + (5t)^2 = 169t^2}\text{.} \) Med \( {\textcolor{blue}{|\overrightarrow{AB}|} = \textcolor{blue}{\sqrt{82}}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{82}} \cdot \textcolor{red}{13t} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{33}{13\sqrt{82}}} &= 11 \\ \dfrac{33t}{2} &= 11 \\ t &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Det gir: \[ E = \left(12 \cdot \dfrac{2}{3},\ 5 \cdot \dfrac{2}{3}\right) = \left(8,\ \dfrac{10}{3}\right) \]