Eksamensoppgaver etter tema

Vi leser programmet linje for linje: først hva funksjonen \( \texttt{df} \) regner ut, og så hva løkka gjør med den.

1. Les hva df regner ut Linje 1 og 2 definerer \( {f(x) = 2x^2 - 9x - 2}\text{,} \) og linje 4 og 5 definerer: \[ \textcolor{red}{\texttt{df}(x, h)} = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

Brøken er stigningstallet til linja gjennom punktene \( (x, f(x)) \) og \( {(x + h, f(x + h))} \) på grafen. Den deriverte er grenseverdien av den samme brøken når \( h \) går mot \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Linje 7 setter \( {h = 0{,}001}\text{,} \) en svært liten \( h\text{.} \) Da er \( \textcolor{red}{\texttt{df}(x, h)} \) nesten lik \( f'(x)\text{.} \)

2. Forklar løkka Linje 8 starter med \( {a = 0}\text{.} \) Løkka i linje 10 og 11 øker \( a \) med \( 1 \) så lenge \( {\textcolor{red}{\texttt{df}(a, h)} < 0}\text{,} \) altså så lenge den deriverte er negativ og grafen synker.

Når \( \textcolor{red}{\texttt{df}(a, h)} \) ikke lenger er negativ, har grafen sluttet å synke. Da stopper løkka, og linje 13 skriver ut \( (a, f(a)) \) som bunnpunktet. Det bygger på at bunnpunktet ligger der den deriverte går fra negativ til positiv, som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

Vi bruker forklaringen av programmet fra a).

Løkka tar steg på \( 1\text{,} \) så den kan bare stoppe i hele tall. Bunnpunktet ligger ikke i et helt tall, så vi gjør steget mindre.

1. Finn det riktige bunnpunktet Potensregelen \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}} \) gir \( {f'(x) = 4x - 9}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Bunnpunktet ligger der den deriverte er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 4x - 9 &= 0 \\ x &= \textcolor{green}{\dfrac{9}{4}} \end{aligned} \]

Vi setter \( {x = \textcolor{green}{\dfrac{9}{4}}} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{9}{4}\right) &= 2 \cdot \dfrac{81}{16} - 9 \cdot \dfrac{9}{4} - 2 \\ f\left(\dfrac{9}{4}\right) &= \dfrac{81}{8} - \dfrac{162}{8} - \dfrac{16}{8} = -\dfrac{97}{8} \end{aligned} \]Bunnpunktet er \( {\left(\textcolor{green}{\dfrac{9}{4}},\ -\dfrac{97}{8}\right)}\text{,} \) altså \( {(\textcolor{green}{2{,}25};\ -12{,}125)}\text{.} \)

2. Se hvorfor svaret blir feil Den deriverte er negativ i \( {\textcolor{blue}{a = 2}}\text{,} \) siden \( {\textcolor{blue}{4 \cdot 2 - 9 = -1}}\text{,} \) og positiv i \( {\textcolor{red}{a = 3}}\text{,} \) siden \( {\textcolor{red}{4 \cdot 3 - 9 = 3}}\text{.} \) Løkka hopper derfor over \( {\textcolor{green}{x = 2{,}25}} \) og stopper i \( {\textcolor{red}{a = 3}}\text{,} \) der \( {f(3) = -11}\text{.} \)

3. Gjør steget mindre Vi endrer linje 11 slik at \( a \) øker med \( {h = 0{,}001} \) i stedet for \( 1\text{:} \)

Nå stopper løkka høyst \( 0{,}001 \) fra \( {\textcolor{green}{x = 2{,}25}}\text{,} \) og programmet skriver ut omtrent \( {(2{,}25;\ -12{,}125)}\text{.} \) Et annet lite steg, for eksempel \( 0{,}01\text{,} \) gir også et riktigere svar.

Den nederste raden viser hvor langt konsentrasjonen er fra \( 2{,}5\text{.} \) Vi bytter fortegn, bruker eksponentiell regresjon og sammenligner med \( f\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen \( f \) fra oppgaven, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi kaller konsentrasjonen \( K\text{.} \) Tallene i den nederste raden er \( {K - 2{,}5}\text{,} \) og de er negative. Eksponentiell regresjon trenger positive tall, så vi bytter fortegn og bruker \( {\textcolor{blue}{2{,}5 - K}}\text{:} \) \( 2{,}5\text{,} \) \( 2{,}22\text{,} \) \( 1{,}97 \) og så videre.

Vi skriver tiden i kolonne A og \( {\textcolor{blue}{2{,}5 - K}} \) i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \( {\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{green}{b}^t} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Kommandoen heter RegEksp, og GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: g(x) = RegEksp(l1)

Regresjonen gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{2{,}5006}} \) og \( {\textcolor{green}{b} \approx \textcolor{green}{0{,}9881}}\text{.} \) Med to desimaler er det: \[ \textcolor{blue}{2{,}5 - K} \approx \textcolor{red}{2{,}50} \cdot \textcolor{green}{0{,}99}^t \]

3. Sammenlign med modellen Vi løser for \( K \) og får modellen fra oppgaven: \[ K \approx 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t = f(t) \]

Modellen stemmer også med teksten. Siden \( {0{,}99^0 = 1}\text{,} \) er \( {f(0) = 2{,}5 - 2{,}5 = 0}\text{,} \) som i tabellen. Når \( t \) vokser, går \( 0{,}99^t \) mot \( 0\text{,} \) fordi \( {0{,}99 < 1}\text{.} \) Da går \( f(t) \) mot \( 2{,}5\text{,} \) der konsentrasjonen stabiliserer seg.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen \( f \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f(t) = 2{,}0}\text{,} \) får potensen \( 0{,}99^t \) alene og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Få potensen alene Modellen fra oppgaveteksten er: \[ f(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t \]

Vi setter \( {f(t) = 2{,}0}\text{:} \) \[ 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t = 2{,}0 \]

Vi trekker fra \( 2{,}5 \) på begge sider og deler på \( {-2{,}5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2{,}5 \cdot 0{,}99^t &= -0{,}5 \\ 0{,}99^t &= 0{,}2 \end{aligned} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{t} \) ned fra eksponenten, som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{t} \cdot \ln 0{,}99 &= \ln 0{,}2 \\ t &= \dfrac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}99} \approx 160{,}14 \end{aligned} \]Konsentrasjonen er \( 2{,}0\,\text{mmol/L} \) etter omtrent \( 160 \) sekunder.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver modellen inn i CAS og løser \( {f(t) = 2} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 2.5 - 2.5*0.99^t Løs(f(t) = 2, t)

CAS gir \( {t \approx 160{,}1377}\text{.} \) Konsentrasjonen er \( 2{,}0\,\text{mmol/L} \) etter omtrent \( 160 \) sekunder.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen \( f \) står i oppgaveteksten.

Hvor fort konsentrasjonen øker, er den deriverte \( f'(t)\text{.} \) Vi finner når \( {f'(t) = 0{,}001}\text{,} \) og ser at \( f'(t) \) avtar.

1. Deriver modellen Modellen fra oppgaveteksten er: \[ f(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot \textcolor{green}{0{,}99^t} \]

Vi skriver \( {\textcolor{green}{0{,}99^t} = e^{t \cdot \ln 0{,}99}}\text{.} \) Da gir kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(\textcolor{green}{0{,}99^t}\right)' = \textcolor{green}{0{,}99^t} \cdot \ln 0{,}99 \]

Konstanten \( 2{,}5 \) har derivert \( 0\text{,} \) så: \[ f'(t) = -2{,}5 \cdot \ln 0{,}99 \cdot \textcolor{green}{0{,}99^t} \]Siden \( {\ln 0{,}99 < 0}\text{,} \) er \( {f'(t) > 0}\text{,} \) og den avtar når \( t \) øker, fordi \( \textcolor{green}{0{,}99^t} \) avtar.

2. Finn når økningen blir så liten Vi setter \( {f'(t) = 0{,}001} \) og deler på \( {-2{,}5 \cdot \ln 0{,}99}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{0{,}99^t} = \dfrac{0{,}001}{-2{,}5 \cdot \ln 0{,}99} \approx 0{,}0398 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i b), og regner med alle desimalene på kalkulatoren: \[ t = \dfrac{\ln 0{,}0398\ldots}{\ln 0{,}99} \approx 320{,}8 \]Etter det er \( {f'(t) < 0{,}001}\text{,} \) fordi \( f'(t) \) avtar. Det tar altså omtrent \( 321 \) sekunder.

1. Løs likningen i CAS Vi lar CAS derivere modellen og løser \( {f'(t) = 0{,}001} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 2.5 - 2.5*0.99^t f'(t) Løs(f'(t) = 0.001, t)

CAS gir \( {t \approx 320{,}775}\text{.} \) Siden \( f'(t) \) avtar, øker konsentrasjonen med mindre enn \( 0{,}001\,\text{mmol/L} \) per sekund etter omtrent \( 321 \) sekunder.

Hver del er et andregradsuttrykk, så grafen kan bare gjøre et sprang i skjøten \( {x = k}\text{.} \) Vi viser at begge uttrykkene gir samme verdi der.

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = k} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to k^-} f(x) = \lim_{x \to k^+} f(x) = f(k) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi i skjøten, som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn skjøten i begge uttrykkene Fra venstre gjelder det øverste uttrykket: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-k^2 + (2 + k)k} &= -k^2 + 2k + k^2 \\ &= \textcolor{blue}{2k} \end{aligned} \]

Det nederste uttrykket gjelder for \( {x \ge k}\text{,} \) så det gir både \( f(k) \) og grensen fra høyre: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k^2 + (2 - k)k} &= k^2 + 2k - k^2 \\ &= \textcolor{red}{2k} \end{aligned} \]

Begge uttrykkene gir \( 2k\text{,} \) uansett hva \( k \) er. Delene møtes altså i punktet \( (k, 2k)\text{,} \) og \( f \) er kontinuerlig for alle verdier av \( k\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at \( f \) er kontinuerlig, står i oppgaveteksten til a).

Delene møtes i \( {x = k}\text{.} \) Da er \( f \) deriverbar der når de to uttrykkene også har samme derivert i \( {x = k}\text{.} \)

1. Deriver begge uttrykkene En delt forskrift er deriverbar i skjøten når den er kontinuerlig der og uttrykkene på hver side har samme derivert, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) deriverer vi hvert uttrykk: \[ \begin{aligned} \left(-x^2 + (2 + k)x\right)' &= \textcolor{blue}{-2x + 2 + k} \\ \left(x^2 + (2 - k)x\right)' &= \textcolor{red}{2x + 2 - k} \end{aligned} \]

I \( {x = k} \) gir de den deriverte fra venstre og fra høyre: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-2k + 2 + k} &= \textcolor{blue}{2 - k} \\ \textcolor{red}{2k + 2 - k} &= \textcolor{red}{k + 2} \end{aligned} \]

2. Sett de deriverte like De deriverte fra hver side må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2 - k} &= \textcolor{red}{k + 2} \\ -2k &= 0 \\ k &= 0 \end{aligned} \]Da er den deriverte \( 2 \) fra begge sider.

Vi bruker de deriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( f \) har en omvendt funksjon når hver \( y \)-verdi kommer fra bare én \( x \)-verdi. \( f \) er kontinuerlig, så da må grafen vokse hele tiden.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike \( x \) gir ulike \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]For en kontinuerlig funksjon betyr det at den hele tiden vokser eller hele tiden avtar. Langt til venstre vokser \( {-x^2 + (2 + k)x}\text{,} \) så \( f \) må vokse hele tiden.

2. Finn når begge delene vokser I b) fant vi de deriverte på hver side: \[ \begin{aligned} x < k\text{:} \quad & \textcolor{blue}{-2x + 2 + k} \\ x > k\text{:} \quad & \textcolor{red}{2x + 2 - k} \end{aligned} \]

\( {\textcolor{blue}{-2x + 2 + k}} \) blir mindre når \( x \) øker. For \( {x < k} \) er den derfor større enn verdien i \( {x = k}\text{,} \) som er \( {\textcolor{blue}{2 - k}}\text{.} \) Den venstre delen vokser hele tiden når: \[ \textcolor{blue}{2 - k} \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad k \le 2 \]

\( {\textcolor{red}{2x + 2 - k}} \) blir større når \( x \) øker, så for \( {x > k} \) er den større enn \( {\textcolor{red}{k + 2}}\text{.} \) Den høyre delen vokser hele tiden når: \[ \textcolor{red}{k + 2} \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad k \ge -2 \]

3. Sjekk verdiene utenfor Delene møtes i \( {x = k}\text{,} \) så når begge vokser, vokser \( f \) hele tiden. Det gjelder når \( {-2 \le k \le 2}\text{.} \)

Er \( {k > 2}\text{,} \) er den deriverte \( {\textcolor{blue}{-2x + 2 + k}} \) negativ like til venstre for \( {x = k}\text{,} \) så grafen snur. For eksempel gir \( {k = 3} \) at \( {f(2) = f(3) = 6}\text{.} \) På samme måte snur grafen like til høyre for \( {x = k} \) når \( {k < -2}\text{.} \) Da har \( f \) ingen omvendt funksjon.

Påstanden gjelder alle tredjegradsfunksjoner. Ekstremalpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så vi ser etter en tredjegradsfunksjon der den deriverte aldri er null.

1. Deriver tredjegradsfunksjonen Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 6A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

En tredjegradsfunksjon kan skrives \( {f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {a \neq 0}\text{.} \) Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]Den deriverte er et andregradsuttrykk.

2. Se når den deriverte er null Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene i \( f'(x) \) for \( {\textcolor{blue}{p} = 3a}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = 2b} \) og \( {\textcolor{green}{r} = c}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {f'(x) = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Er tallet under rottegnet negativt, finnes det ingen løsning, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Da er \( f'(x) \) aldri null, og grafen har ingen ekstremalpunkter.

3. Finn et moteksempel Vi velger \( {f(x) = x^3 + x}\text{.} \) Da er: \[ f'(x) = 3x^2 + 1 \]Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{0}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) så tallet under rottegnet er \( {\textcolor{red}{0}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{green}{1} = -12 < 0}\text{.} \)

Siden \( {x^2 \ge 0}\text{,} \) er \( {f'(x) \ge 1} \) for alle \( x\text{.} \) Grafen stiger hele tiden og har ingen ekstremalpunkter. Det er et moteksempel, så påstanden er usann.

Linja skjærer grafen der \( f(x) \) er lik linja. Samler vi alt på én side, får vi en tredjegradslikning, og en tredjegradsfunksjon har alltid minst ett nullpunkt.

1. Se hvor grafen kommer fra Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 6B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Vi skriver \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Når \( x \) blir stor i tallverdi, bestemmer leddet \( \textcolor{blue}{a}x^3 \) hvor grafen går. Er \( {\textcolor{blue}{a} > 0}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) &= -\infty \\ \lim_{x \to \infty} f(x) &= \infty \end{aligned} \]Er \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) er det omvendt.

Grafen henger sammen, så på veien fra \( {-\infty} \) til \( \infty \) må den krysse \( x \)-aksen minst én gang. En tredjegradsfunksjon har altså alltid minst ett nullpunkt.

2. Sett funksjonen lik linja Bokstavene \( a \) og \( b \) er brukt i \( f\text{,} \) så vi skriver linja \( {y = kx + m}\text{.} \) Den skjærer grafen der \( {f(x) = kx + m}\text{,} \) altså der \( {g(x) = 0} \) med: \[ \begin{aligned} g(x) &= f(x) - kx - m \\ &= \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 \\ &\quad + (c - k)x + (d - m) \end{aligned} \]

\( g \) er en tredjegradsfunksjon, fordi \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Den har minst ett nullpunkt, så linja skjærer grafen minst én gang, uansett hva \( k \) og \( m \) er. Påstanden er derfor sann.

Et vendepunkt ligger der \( {f''(x) = 0}\text{.} \) Vi deriverer \( f \) to ganger, bruker at \( {f''(3) = 0}\text{,} \) og regner ut \( f'(1) \) og \( f'(5)\text{.} \)

1. Deriver to ganger Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Med \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + cx + d} \) og potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + c \\ f''(x) &= 6\textcolor{blue}{a}x + 2\textcolor{red}{b} \end{aligned} \]

2. Bruk vendepunktet Vendepunktet i \( {x = 3} \) gir \( {f''(3) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 6\textcolor{blue}{a} \cdot 3 + 2\textcolor{red}{b} &= 0 \\ \textcolor{red}{b} &= -9\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

3. Regn ut de to deriverte Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {\textcolor{red}{b} = -9\textcolor{blue}{a}} \) i \( f'(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} + 2\textcolor{red}{b} + c \\ f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} - 18\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

Og så \( {x = 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} + 10\textcolor{red}{b} + c \\ f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} - 90\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

Begge er \( {c - 15\textcolor{blue}{a}}\text{,} \) så \( {f'(1) = f'(5)}\text{,} \) og påstanden er sann. Det passer med at grafen til \( f' \) er en parabel med toppunkt eller bunnpunkt i \( {x = 3}\text{,} \) og 1 og 5 ligger like langt fra 3.

Vi regner ut brøken på høyre side med \( {a = 1} \) og \( {b = 3}\text{,} \) og finner \( c \) der den deriverte er lik brøken.

1. Regn ut brøken Brøken \( {\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}} \) er stigningstallet til linja gjennom \( (a, f(a)) \) og \( (b, f(b))\text{,} \) endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Vi regner ut funksjonsverdiene: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{1}) &= 1 + 3 + 1 = \textcolor{blue}{5} \\ f(\textcolor{red}{3}) &= 9 + 9 + 1 = \textcolor{red}{19} \end{aligned} \]

Det gir: \[ \dfrac{f(\textcolor{red}{3}) - f(\textcolor{blue}{1})}{\textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{\textcolor{red}{19} - \textcolor{blue}{5}}{2} = 7 \]

2. Finn c Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er \( {f'(x) = 2x + 3}\text{.} \) Vi setter \( {f'(c) = 7}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2c + 3 &= 7 \\ 2c &= 4 \\ c &= 2 \end{aligned} \]Det ligger i \( \langle 1, 3 \rangle\text{,} \) som setningen sier.

Vi gjør det samme som i a), men med \( a \) og \( b \) som bokstaver.

Programmet regner ut brøken på høyre side og løser \( {f'(c) =} \) brøken, slik vi gjorde for hånd i a).

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir: en funksjon og noen regnelinjer.

1. Løs likningen for c Vi kaller brøken \( \textcolor{blue}{m}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{m} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

I a) fant vi \( {f'(x) = 2x + 3}\text{.} \) Da gir \( {f'(c) = \textcolor{blue}{m}} \) at: \[ \begin{aligned} 2c + 3 &= \textcolor{blue}{m} \\ c &= \dfrac{\textcolor{blue}{m} - 3}{2} \end{aligned} \]

2. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 og 2 definerer funksjonen \( f\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. I linje 4 og 5 gir vi verdier til \( a \) og \( b\text{.} \)

Linje 7 regner ut \( \textcolor{blue}{m}\text{,} \) linje 9 regner ut \( {c = \dfrac{\textcolor{blue}{m} - 3}{2}}\text{,} \) og linje 11 skriver ut \( c\text{.} \) Med \( {a = 1} \) og \( {b = 3} \) skriver programmet ut \( {c = 2}\text{,} \) som i a). Andre programmer er også riktige, for eksempel et som prøver seg fram med en løkke.

Vi bygger videre på programmet fra b).

Vi lar programmet regne ut \( c \) for flere par \( a \) og \( b\text{,} \) og ser etter et mønster.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir, særlig løkker som går gjennom flere verdier.

1. Kjør programmet for flere verdier Vi bytter ut linje 4 og 5 i programmet fra b) med en liste med fire par \( a \) og \( b\text{,} \) og en løkke som går gjennom dem, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

2. Se etter et mønster I hver linje ligger \( \textcolor{green}{c} \) midt mellom \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{,} \) for eksempel er \( {\dfrac{\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{8}}{2} = \textcolor{green}{5}} \) og \( {\dfrac{\textcolor{blue}{0{,}5} + \textcolor{red}{2}}{2} = \textcolor{green}{1{,}25}}\text{.} \) Sammenhengen er: \[ \textcolor{green}{c} = \dfrac{\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}}{2} \]

Påstanden gjelder alle andregradsfunksjoner, så vi regner med en generell andregradsfunksjon og ser om vi alltid får \( {c = 5}\text{.} \)

1. Skriv en generell andregradsfunksjon Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} \quad \text{der } \textcolor{blue}{p} \neq 0 \]Med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er \( {g'(x) = 2\textcolor{blue}{p}x + \textcolor{red}{q}}\text{.} \)

2. Regn ut brøken Med \( {a = 2} \) og \( {b = 8} \) er: \[ \begin{aligned} g(8) &= 64\textcolor{blue}{p} + 8\textcolor{red}{q} + \textcolor{green}{r} \\ g(2) &= 4\textcolor{blue}{p} + 2\textcolor{red}{q} + \textcolor{green}{r} \end{aligned} \]

Konstantleddet \( \textcolor{green}{r} \) forsvinner når vi trekker fra, så brøken blir: \[ \dfrac{g(8) - g(2)}{8 - 2} = \dfrac{60\textcolor{blue}{p} + 6\textcolor{red}{q}}{6} = 10\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q} \]

3. Løs for c Vi setter \( g'(c) \) lik brøken: \[ \begin{aligned} 2\textcolor{blue}{p}c + \textcolor{red}{q} &= 10\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q} \\ 2\textcolor{blue}{p}c &= 10\textcolor{blue}{p} \\ c &= 5 \end{aligned} \]Vi kan dele på \( 2\textcolor{blue}{p}\text{,} \) fordi \( {\textcolor{blue}{p} \neq 0}\text{.} \) Vi får \( {c = 5} \) uansett hva \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r} \) er, så påstanden er riktig. Det passer med mønsteret i c), siden \( 5 \) er midt mellom \( 2 \) og \( 8\text{.} \)