Eksamensoppgaver etter tema

Utslippet skal ganges med det samme tallet hvert år og være halvert etter \( 6 \) år. Vi setter opp en likning for vekstfaktoren og løser den.

1. Sett opp likningen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{a} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I dag er utslippet \( \textcolor{blue}{16\,000} \) tonn: \[ U(x) = \textcolor{blue}{16\,000} \cdot \textcolor{red}{a}^x \]

Om \( 6 \) år skal utslippet være halvert, \( 8000 \) tonn. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{16\,000} \cdot \textcolor{red}{a}^6 = 8000 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{16\,000} \) på begge sider og tar sjette rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a}^6 &= \dfrac{8000}{16\,000} = 0{,}5 \\ \textcolor{red}{a} &= 0{,}5^{1/6} \approx \textcolor{red}{0{,}8909} \end{aligned} \]

Avrundet til to desimaler er \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{0{,}89}}\text{,} \) og det gir ledelsens modell: \[ U(x) = \textcolor{blue}{16\,000} \cdot \textcolor{red}{0{,}89}^x \]

Kontroll: \( {16\,000 \cdot 0{,}89^6 \approx 7952} \) og \( {16\,000 \cdot 0{,}89^{12} \approx 3952}\text{,} \) nær \( 8000 \) og \( 4000\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen \( {16\,000 \cdot a^6 = 8000} \) inn i CAS og løser den med Løs og ≈-knappen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(16000 a^6 = 8000, a)

CAS gir \( {a \approx -0{,}8909} \) og \( {a \approx 0{,}8909}\text{.} \) En vekstfaktor kan ikke være negativ, så vi bruker \( {a \approx 0{,}8909 \approx 0{,}89}\text{,} \) og det gir \( {U(x) = 16\,000 \cdot 0{,}89^x}\text{.} \)

Vekstfaktoren i modellen er \( 0{,}89\text{.} \) Den er mindre enn \( 1\text{,} \) så utslippet minker, og prosenten finner vi fra vekstfaktoren.

1. Les av prosenten Når noe minker med \( \textcolor{red}{p}\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{\textcolor{red}{p}}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

I modellen er \( {V = 0{,}89}\text{:} \) \[ 0{,}89 = 1 - 0{,}11 = 1 - \dfrac{\textcolor{red}{11}}{100} \]Utslippet reduseres altså med \( \textcolor{red}{11}\,\% \) hvert år.

Den gjennomsnittlige endringen per år er endringen i utslippet de fem første årene delt på \( 5\text{.} \) Det er stigningstallet mellom \( {x = 0} \) og \( {x = 5}\text{.} \)

1. Regn ut utslippet om 5 år Med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} U(0) &= 16\,000 \cdot 0{,}89^0 = \textcolor{blue}{16\,000} \\ U(5) &= 16\,000 \cdot 0{,}89^5 \approx \textcolor{red}{8934{,}5} \end{aligned} \]

2. Finn den gjennomsnittlige endringen Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{U(5)} - \textcolor{blue}{U(0)}}{5 - 0} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8934{,}5} - \textcolor{blue}{16\,000}}{5} \\ &= \dfrac{-7065{,}5}{5} \approx -1413 \end{aligned} \]Utslippet går altså i gjennomsnitt ned med omtrent \( 1413 \) tonn per år de fem første årene.