Eksamensoppgaver etter tema

Tabellen har fem måneder, og modellen skal ha formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) Vi gjør eksponentiell regresjon i GeoGebra, med februar som \( {x = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator. Du kan også se at \( b \) må være litt over 1,1: fra februar til mars ganges omsetningen med \( {\dfrac{1431}{1267} \approx 1{,}13}\text{.} \)

1. Gjør eksponentiell regresjon Februar er \( {x = 0}\text{,} \) mars \( {x = 1} \) og så videre til juni, \( {x = 4}\text{.} \) Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som i GeoGebra på bokmål gir formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{.} \) Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 1267), (1, 1431), (2, 1619), (3, 1788), (4, 2032)} f(x) = RegEksp(l1)

2. Les av a og b Med fire desimaler gir GeoGebra: \[ f(x) \approx \textcolor{blue}{1271{,}1197} \cdot \textcolor{red}{1{,}1238}^x \]Her er \( \textcolor{blue}{a} \) omsetningen i februar ifølge modellen, og \( \textcolor{red}{b} \) er vekstfaktoren per måned.

I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}12}\text{.} \) Regner vi videre med det, blir økningen i b) \( 12\,\% \) i stedet for \( 12{,}4\,\%\text{,} \) og i c) når modellen målet først i mars 2027 i stedet for februar 2027. Vis derfor flere desimaler i GeoGebra.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

I modellen ganges omsetningen med \( b \) for hver måned som går. Vi leser prosenten av vekstfaktoren \( b\text{.} \)

1. Les prosenten av vekstfaktoren Når noe øker med \( p\,\% \) per måned, er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

I a) fant vi \( {f(x) \approx 1271{,}12 \cdot \textcolor{red}{1{,}1238}^x}\text{,} \) så vekstfaktoren er: \[ \textcolor{red}{1{,}1238} = 1 + 0{,}1238 = 1 + \dfrac{12{,}38}{100} \]Omsetningen øker altså med omtrent \( 12{,}4\,\% \) hver måned.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner \( x \) der \( {f(x) = 20\,000}\text{.} \) Med kalkulator regner vi ut \( f(x) \) for noen måneder, og med GeoGebra finner vi skjæringspunktet med linja \( {y = 20\,000}\text{.} \)

1. Regn ut omsetningen for noen måneder I a) fant vi modellen: \[ f(x) \approx 1271{,}12 \cdot 1{,}1238^x \]

Med kalkulatoren prøver vi ett år, \( {x = 12}\text{,} \) to år, \( {x = \textcolor{red}{24}}\text{,} \) og så én måned tilbake. For eksempel er: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{red}{24}) &\approx 1271{,}12 \cdot 1{,}1238^{\textcolor{red}{24}} \\ f(\textcolor{red}{24}) &\approx \textcolor{red}{20\,928} \end{aligned} \]

Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & f(x) \\ \hline 12 & 5\,158 \\ \textcolor{blue}{23} & \textcolor{blue}{18\,622} \\ \textcolor{red}{24} & \textcolor{red}{20\,928} \end{array} \]

2. Finn måneden Siden \( {f(\textcolor{blue}{23}) < 20\,000 < f(\textcolor{red}{24})}\text{,} \) når modellen målet mellom \( {x = 23} \) og \( {x = 24}\text{.} \) Februar 2025 er \( {x = 0}\text{,} \) så \( {x = \textcolor{red}{24}} \) er februar 2027. Det er den første måneden der omsetningen er minst \( 20\,000 \) kroner.

1. Finn skjæringspunktet Med \( f \) fra a) i GeoGebra tegner vi linja \( {y = 20\,000} \) og finner skjæringspunktet med grafen til \( f\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = 20000 S = Skjæring(f, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (23{,}6054,\ 20\,000)}\text{,} \) så modellen passerer \( 20\,000 \) kroner etter omtrent \( 23{,}6 \) måneder. Måned \( {x = 23} \) er under målet, og måned \( {x = 24}\text{,} \) februar 2027, er over.

Fra juni til desember 2025 er det seks måneder. Omsetningen i juni, 2032 kroner, skal ganges med den samme vekstfaktoren seks ganger og bli \( 20\,000\text{.} \)

1. Sett opp likningen Vi kaller vekstfaktoren per måned \( \textcolor{red}{k}\text{.} \) Omsetningen ganges med \( \textcolor{red}{k} \) i juli, august, september, oktober, november og desember, altså seks ganger. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{2032} \cdot \textcolor{red}{k}^6 = 20\,000 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{2032} \) på begge sider og tar sjette rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^6 &= \dfrac{20\,000}{\textcolor{blue}{2032}} \approx 9{,}8425 \\ \textcolor{red}{k} &= \left(\dfrac{20\,000}{\textcolor{blue}{2032}}\right)^{1/6} \approx \textcolor{red}{1{,}4639} \end{aligned} \]Siden \( {\textcolor{red}{1{,}4639} = 1 + 0{,}4639}\text{,} \) må omsetningen øke med omtrent \( 46{,}4\,\% \) per måned.

Kontroll: \( {2032 \cdot 1{,}4639^6 \approx 19\,998}\text{,} \) altså nesten \( 20\,000\text{.} \) Det lille avviket kommer av at \( k \) er avrundet.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen inn i CAS og trykker på \( {\approx} \) for å få desimaltall, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(2032*k^6 = 20000, k)

En vekstfaktor kan ikke være negativ, så \( {k \approx 1{,}4639}\text{.} \) Omsetningen må øke med omtrent \( 46{,}4\,\% \) per måned.