Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Tema

omkrets

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i 2P om omkrets

2P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Et område har form som en halvsirkel med radius

{r = 1{,}0\,\text{m}}\text{.}

Et annet område har form som en likebeint trekant

ABC\text{,}

der

{AB = 3{,}0\,\text{m}}

og høyden

{h = 1{,}0\,\text{m}}\text{.}

Se figurene ovenfor.

Gjør beregninger og avgjør • hvilket av de to områdene som har størst areal • hvilket av de to områdene som har størst omkrets

Vis løsning

Svar

Arealene er omtrent

1{,}57

1{,}5\,\text{m}^2\text{,}

og omkretsene omtrent

5{,}14

6{,}6\,\text{m}\text{:}

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Størst areal: }\text{halvsirkelen}}} \\ &\underline{\underline{\text{Størst omkrets: }\text{trekanten}}} \end{aligned}

Vi regner ut arealet og omkretsen av begge områdene. Uten kalkulator regner vi med \( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \)

1. Sammenlign arealene En sirkel har arealet \( \pi r^2 \) og omkretsen \( 2\pi r\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. En halvsirkel har halvparten av arealet: \[ \begin{aligned} A_{\text{halvsirkel}} &= \dfrac{\pi \cdot (1\,\text{m})^2}{2} = \dfrac{\textcolor{blue}{\pi}}{2}\,\text{m}^2 \\ &\approx \dfrac{\textcolor{blue}{3{,}14}}{2}\,\text{m}^2 = 1{,}57\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Arealet av en trekant er grunnlinje ganger høyde delt på \( 2\text{,} \) som i videoen Areal og Omkrets: \[ \begin{aligned} A_{\text{trekant}} &= \dfrac{3\,\text{m} \cdot 1\,\text{m}}{2} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{3}}{2}\,\text{m}^2 = 1{,}5\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Vi sammenligner: \[ 1{,}57\,\text{m}^2 > 1{,}5\,\text{m}^2 \]Halvsirkelen har størst areal, fordi \( \textcolor{blue}{\pi} \) er litt større enn \( \textcolor{red}{3}\text{.} \)

2. Finn den skrå siden i trekanten Høyden deler trekanten i to rettvinklede trekanter. Hver av dem har katetene \( \textcolor{blue}{1{,}5} \) m, halve grunnlinjen, og \( \textcolor{red}{1} \) m, høyden. Den skrå siden \( \textcolor{green}{s} \) er hypotenusen. Pytagoras' setning forteller oss at: \[ \textcolor{green}{c}^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Pytagoras setning.

Plugger vi inn katetene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{s}^2 &= \textcolor{blue}{1{,}5}^2 + \textcolor{red}{1}^2 = 2{,}25 + 1 = 3{,}25 \\ \textcolor{green}{s} &= \sqrt{3{,}25} \end{aligned} \]Siden \( {1{,}8^2 = 3{,}24}\text{,} \) er \( {\textcolor{green}{s} \approx 1{,}8} \) m.

3. Sammenlign omkretsene Omkretsen er summen av alle sidene, som i videoen Areal og Omkrets. Halvsirkelen har halve sirkelomkretsen \( 2\pi r \) og diameteren \( 2r\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_{\text{halvsirkel}} &= \dfrac{2\pi \cdot 1\,\text{m}}{2} + 2 \cdot 1\,\text{m} \\ &= (\pi + 2)\,\text{m} \approx 5{,}14\,\text{m} \end{aligned} \]

Trekanten har grunnlinjen og to skrå sider: \[ \begin{aligned} O_{\text{trekant}} &= (3 + 2\textcolor{green}{s})\,\text{m} \\ &\approx (3 + 2 \cdot 1{,}8)\,\text{m} = 6{,}6\,\text{m} \end{aligned} \]

Vi sammenligner: \[ 6{,}6\,\text{m} > 5{,}14\,\text{m} \]Trekanten har størst omkrets.

Oppgavene

Oppgave 4

Svar