Eksamensoppgaver etter tema

Parabelen skjærer hver av linjene to ganger. Vi velger likningen \( {g(x) = f(x)} \) og leser av førstekoordinatene der grafene skjærer hverandre.

1. Velg likningen Grafen til \( \textcolor{green}{f} \) er den grønne linja, fordi den går gjennom \( (0, 1)\text{,} \) og grafen til \( g \) er parabelen. Vi velger likningen: \[ g(x) = \textcolor{green}{f(x)} \]Der grafene skjærer hverandre, har \( g \) og \( f \) samme verdi. Løsningene er derfor førstekoordinatene til skjæringspunktene.

2. Les av skjæringspunktene Grafene skjærer hverandre i \( (\textcolor{red}{1}, 2) \) og \( (\textcolor{red}{4}, 5)\text{,} \) så løsningene er \( {x = \textcolor{red}{1}} \) og \( {x = \textcolor{red}{4}}\text{:} \)

3. Sjekk løsningene Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {x = 4} \) på begge sider, som når en løsning sjekkes i videoen Oppgave 4 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} g(\textcolor{red}{1}) &= 1 - 4 + 5 = 2 = \textcolor{green}{f(}\textcolor{red}{1}\textcolor{green}{)} \\ g(\textcolor{red}{4}) &= 16 - 16 + 5 = 5 = \textcolor{green}{f(}\textcolor{red}{4}\textcolor{green}{)} \end{aligned} \]Begge stemmer. Likningen er en andregradslikning, så den har ikke flere enn to løsninger. Andre likninger er også riktige, for eksempel \( {g(x) = h(x)} \) med \( {x = 0} \) eller \( {x = 3}\text{.} \)

Vi velger ulikheten \( {f(x) > h(x)} \) og leser av hvor den grønne linja ligger over den blå.

1. Velg ulikheten Grafen til \( \textcolor{green}{f} \) er den grønne linja, og grafen til \( \textcolor{blue}{h} \) er den blå, fordi den går gjennom \( (0, 5)\text{.} \) Vi velger ulikheten: \[ \textcolor{green}{f(x)} > \textcolor{blue}{h(x)} \]Løsningene er førstekoordinatene der den grønne linja ligger over den blå.

2. Les av grafen Linjene skjærer hverandre i \( (2, 3)\text{.} \) Til høyre for \( {x = 2} \) ligger den grønne linja over den blå, og til venstre ligger den under:

For eksempel er \( {\textcolor{green}{f(3) = 4} > \textcolor{blue}{h(3) = 2}}\text{,} \) mens \( {\textcolor{green}{f(1) = 2} < \textcolor{blue}{h(1) = 4}}\text{.} \) Løsningen er altså alle tall større enn 2, \( {\textcolor{red}{x > 2}}\text{,} \) den røde streken, som på tallinja i videoen Introduksjon til Ulikheter. De er alle positive.

3. Sjekk løsningen Vi setter inn \( {x = 2} \) i begge funksjonene: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f(2)} &= 2 + 1 = 3 \\ \textcolor{blue}{h(2)} &= -2 + 5 = 3 \end{aligned} \]Linjene skjærer hverandre altså nøyaktig i \( {x = 2}\text{.} \) Regnet ut gir ulikheten det samme: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x + 1} &> \textcolor{blue}{-x + 5} \\ 2x &> 4 \\ x &> 2 \end{aligned} \]Andre ulikheter er også riktige, for eksempel \( {g(x) < f(x)} \) med \( {1 < x < 4}\text{.} \)