Eksamensoppgaver etter tema

To trekanter er formlike når vinklene er parvis like store. Vi viser at to av vinklene er like, for da er også den tredje lik.

1. Finn de like vinklene Formlike figurer har like store vinkler, som i videoen Formlikhet. Vi sammenligner vinklene i \( \triangle ABC \) og \( \triangle ADE\text{.} \) Begge har en rett vinkel, og de har vinkel \( A \) felles, fordi \( D \) ligger på \( AB \) og \( E \) ligger på \( AC\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\angle B} &= \textcolor{blue}{\angle D} = 90^\circ \\ \textcolor{red}{\angle A} &= \textcolor{red}{\angle A} \end{aligned} \]

Vinkelsummen i en trekant er \( 180^\circ\text{,} \) så den tredje vinkelen er også lik: \[ \angle C = 180^\circ - \textcolor{blue}{90^\circ} - \textcolor{red}{\angle A} = \angle E \]Alle vinklene er parvis like store, så trekantene er formlike.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at trekantene er formlike, står i oppgaveteksten til a).

I formlike trekanter er forholdet mellom samsvarende sider det samme. Vi finner \( AB \) fra forholdet og trekker fra \( AD\text{.} \)

1. Sett opp forholdet Samsvarende sider står overfor like store vinkler: \( \textcolor{red}{AB} \) svarer til \( \textcolor{red}{AD}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{BC} \) svarer til \( \textcolor{blue}{DE}\text{.} \) I formlike figurer er forholdet det samme for alle sider: \[ \dfrac{\textcolor{red}{AB}}{\textcolor{red}{AD}} = \dfrac{\textcolor{blue}{BC}}{\textcolor{blue}{DE}} \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{AD} = \textcolor{red}{5}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{40}} \) og \( {\textcolor{blue}{DE} = \textcolor{blue}{10}}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{AB}}{\textcolor{red}{5}} = \dfrac{\textcolor{blue}{40}}{\textcolor{blue}{10}} = 4 \]

Vi ganger med \( \textcolor{red}{5} \) på begge sider: \[ \textcolor{red}{AB} = 4 \cdot \textcolor{red}{5}\,\text{m} = 20\,\text{m} \]Det er det samme som å gange \( AD \) med målestokken \( {k = 4}\text{,} \) som i videoen Formlikhet.

2. Finn avstanden fra B til D \( D \) ligger mellom \( A \) og \( B\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} BD &= AB - AD \\ &= 20\,\text{m} - 5\,\text{m} = 15\,\text{m} \end{aligned} \]

Bestanden er \( 12\,000 \) i dag og halveres hvert femte år. Vi finner vekstfaktoren per år som halverer bestanden på fem år, og sammenligner med \( 0{,}87\text{.} \)

1. Sett opp likningen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor: \[ F(x) = \textcolor{blue}{12\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^x \]

Etter \( 5 \) år skal bestanden være halvert, altså \( 6000\text{.} \) Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{12\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^5 = 6000 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{12\,000} \) på begge sider og tar femte rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^5 &= 0{,}5 \\ \textcolor{red}{k} &= 0{,}5^{1/5} \approx \textcolor{red}{0{,}8706} \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler er \( {\textcolor{red}{k} \approx \textcolor{red}{0{,}87}}\text{,} \) og startverdien er \( \textcolor{blue}{12\,000}\text{.} \) Da er \( {F(x) = 12\,000 \cdot 0{,}87^x} \) en god modell.

Kontroll: \( {0{,}87^5 \approx 0{,}498}\text{,} \) så modellen gir \( {F(5) \approx 5981}\text{,} \) nesten nøyaktig halvparten av \( 12\,000\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen står i oppgaveteksten til a).

Vi setter inn \( {x = 7} \) i modellen.

1. Sett inn sju år Vi ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som i videoen Vekstfaktor: \[ F(\textcolor{blue}{7}) = 12\,000 \cdot 0{,}87^{\textcolor{blue}{7}} \approx 4527{,}06 \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen står i oppgaveteksten til a).

Er bestanden redusert med \( 35\,\%\text{,} \) er \( 65\,\% \) igjen. Vi finner når \( F(x) \) er \( 65\,\% \) av \( 12\,000\text{,} \) med en verditabell og med GeoGebra.

1. Finn antall fugler som er igjen Redusert med \( 35\,\% \) betyr at \( {100\,\% - 35\,\% = 65\,\%} \) er igjen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ 0{,}65 \cdot 12\,000 = \textcolor{red}{7800} \]

2. Lag en verditabell Vi regner ut \( F(x) \) for hele år med kalkulatoren, for eksempel: \[ F(\textcolor{blue}{3}) = 12\,000 \cdot 0{,}87^{\textcolor{blue}{3}} \approx 7902{,}0 \]

Med én desimal gir det tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & F(x) \\ \hline 2 & 9082{,}8 \\ \textcolor{blue}{3} & 7902{,}0 \\ \textcolor{blue}{4} & 6874{,}8 \end{array} \]Bestanden går under \( \textcolor{red}{7800} \) mellom \( {x = 3} \) og \( {x = 4}\text{.} \)

3. Finn tiendedelen Vi regner ut \( F(x) \) rundt overgangen: \[ \begin{array}{r|r} x & F(x) \\ \hline 3{,}0 & 7902{,}0 \\ 3{,}1 & 7792{,}8 \end{array} \]Bestanden kommer ned til \( \textcolor{red}{7800} \) mellom \( {x = 3{,}0} \) og \( {x = 3{,}1}\text{,} \) nærmest \( 3{,}1\text{.} \) Den er altså redusert med \( 35\,\% \) etter omtrent \( 3{,}1 \) år.

1. Finn skjæringspunktet med linja Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, tegner linja \( {y = 7800} \) og finner skjæringspunktet med verktøyet «Skjæring mellom to objekter», som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = 12000*0.87^x h: y = 7800 S = Skjæring(F, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (3{,}0933,\ 7800)}\text{.} \) Bestanden er redusert med \( 35\,\% \) etter omtrent \( 3{,}1 \) år.

Leien kan høyst øke like mye som KPI. Vi sammenligner den prosentvise økningen i KPI fra oktober 2023 til oktober 2024 med økningen i leien.

1. Finn økningen i KPI Vi tenker på indekstallene som priser, slik det gjøres med prisindeksen i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Hvor mange prosent noe har økt, er: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{ny} - \textcolor{blue}{\text{gammel}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]

Fra oktober 2023 til oktober 2024 gikk KPI fra \( \textcolor{blue}{131{,}1} \) til \( 134{,}5\text{:} \) \[ \dfrac{134{,}5 - \textcolor{blue}{131{,}1}}{\textcolor{blue}{131{,}1}} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{red}{2{,}6}\,\% \]

2. Finn økningen i leien Leien skulle gå fra \( \textcolor{blue}{8500} \) til \( 9000 \) kroner: \[ \dfrac{9000 - \textcolor{blue}{8500}}{\textcolor{blue}{8500}} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{green}{5{,}9}\,\% \]

Det har gått ett år siden forrige fastsetting, så tidspunktet er lovlig. Men leien skulle øke med \( \textcolor{green}{5{,}9}\,\%\text{,} \) og KPI økte bare med \( \textcolor{red}{2{,}6}\,\%\text{.} \) Leien kunne høyst øke like mye som KPI: \[ 8500 \cdot \dfrac{134{,}5}{131{,}1} \approx 8720 \]

Vi regner ut den prosentvise økningen i KPI fra hvert år til det neste, og setter tallene opp i en tabell.

1. Regn ut økningen hvert år Hvor mange prosent KPI økte, er endringen delt på KPI året før, som for prisindeksen i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{ny} - \textcolor{blue}{\text{gammel}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]

Fra 2021 til 2022: \[ \dfrac{126{,}0 - \textcolor{blue}{117{,}2}}{\textcolor{blue}{117{,}2}} \cdot 100\,\% \approx \underline{7{,}5\,\%} \]

Fra 2022 til 2023: \[ \dfrac{131{,}1 - \textcolor{blue}{126{,}0}}{\textcolor{blue}{126{,}0}} \cdot 100\,\% \approx \underline{4{,}0\,\%} \]

Fra 2023 til 2024: \[ \dfrac{134{,}5 - \textcolor{blue}{131{,}1}}{\textcolor{blue}{131{,}1}} \cdot 100\,\% \approx \underline{2{,}6\,\%} \]Økningen ble mindre for hvert år.

1. Regn ut økningen i regnearket Vi skriver årene i A2 til A5 og KPI i B2 til B5. Økningen er endringen delt på KPI året før, så i C3 skriver vi \( {\texttt{=(B3-B2)/B2}}\text{.} \) Vi drar C3 ned til rad 5 og gir kolonne C prosentformat med %-knappen, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Én desimal får vi ved å trykke én gang på «Øk desimaler»:

Regnearket gir \( 7{,}5\,\% \) fra 2021 til 2022, \( 4{,}0\,\% \) fra 2022 til 2023 og \( 2{,}6\,\% \) fra 2023 til 2024, det samme som for hånd.

Vi bruker den høyeste lovlige leien fra a) og økningen i KPI fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Oppgaven er åpen, så vi må anta noe om hva huseieren gjør og om hvordan KPI utvikler seg. Så regner vi oss fram til leien i oktober 2026.

1. Gjør antakelser Vi antar at huseieren setter opp leien hver oktober så mye som loven tillater, altså like mye som KPI øker. I a) fant vi at leien da ble \( \textcolor{blue}{8720} \) kroner i oktober 2024.

Vi antar også at KPI fortsetter å øke med \( \textcolor{red}{2{,}6}\,\% \) per år, like mye som det siste året i b). Økningen har blitt mindre hvert år, så det siste året sier mest om årene framover.

2. Regn ut leien i oktober 2026 Når noe øker med \( \textcolor{red}{2{,}6}\,\% \) per år, er vekstfaktoren \( {1 + \dfrac{\textcolor{red}{2{,}6}}{100} = \textcolor{red}{1{,}026}}\text{.} \) Fra oktober 2024 til oktober 2026 øker leien to ganger, så vi ganger med vekstfaktoren opphøyd i \( 2\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor: \[ \textcolor{blue}{8720} \cdot \textcolor{red}{1{,}026}^2 \approx 9179 \]Felix må altså regne med omtrent \( 9180 \) kroner per måned.

Andre rimelige antakelser gir andre svar, som også er riktige. Øker KPI med \( 4{,}7\,\% \) per år, som i gjennomsnitt fra 2021 til 2024, blir leien \( {8720 \cdot 1{,}047^2 \approx 9560} \) kroner.