Eksamensoppgaver etter tema

Folketallet er høyest i toppunktet til \( F\text{.} \) Vi finner det med den deriverte, og med en verditabell eller grafen.

1. Deriver modellen Den første måten er den deriverte. Toppunktet ligger der \( {F'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer leddene i parentesen ett for ett, og konstanten \( 7900 \) blir \( 0\text{:} \) \[ F'(x) = \dfrac{0{,}081x^2 - 11{,}6x + 220}{1000} \]

2. Sett den deriverte lik null \( {F'(x) = 0} \) når telleren er \( 0\text{.} \) Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0{,}081}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-11{,}6}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{220}}\text{.} \) Under rottegnet får vi: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{red}{-11{,}6})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{0{,}081} \cdot \textcolor{green}{220} \\ &= 134{,}56 - 71{,}28 = 63{,}28 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i abc-formelen, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-11{,}6}) \pm \sqrt{63{,}28}}{2 \cdot \textcolor{blue}{0{,}081}} \\ x &= \dfrac{11{,}6 \pm \sqrt{63{,}28}}{0{,}162} \end{aligned} \]Det gir \( {x \approx 22{,}50} \) eller \( {x \approx 120{,}71}\text{.} \) Bare \( {x \approx 22{,}50} \) ligger i \( [0, 80]\text{.} \)

Vi sjekker fortegnet til \( F'(x) \) på hver side: \[ \begin{aligned} F'(0) &= \dfrac{220}{1000} = 0{,}22 > 0 \\ F'(50) &= \dfrac{202{,}5 - 580 + 220}{1000} \\ &= -0{,}1575 < 0 \end{aligned} \]Folketallet stiger før \( {x \approx 22{,}50} \) og synker etter, så det er høyest der.

3. Lag en verditabell Den andre måten er en verditabell. Først regner vi ut \( F(x) \) for hvert tiende år: \[ \begin{array}{r|l} x & F(x) \\ \hline 0 & 7{,}900 \\ 10 & 9{,}547 \\ 20 & 10{,}196 \\ 30 & 10{,}009 \end{array} \]

Folketallet er størst rundt \( {x = 20}\text{,} \) så vi regner ut \( F(x) \) for hvert år derfra, med fire desimaler: \[ \begin{array}{r|l} x & F(x) \\ \hline 20 & 10{,}1960 \\ 21 & 10{,}2122 \\ 22 & 10{,}2203 \\ 23 & 10{,}2203 \\ 24 & 10{,}2124 \end{array} \]Folketallet stiger fram til \( {x = 22}\text{,} \) er like stort i \( {x = 23} \) og synker etterpå. Toppunktet ligger altså mellom \( {x = 22} \) og \( {x = 23}\text{,} \) i 1982.

1. Finn toppunktet på grafen Den første måten er grafen. Vi tegner \( F \) for \( {0 \le x \le 80} \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = 1/1000*(0.027x^3 - 5.8x^2 + 220x + 7900), 0 <= x <= 80 T = Maks(F, 0, 80)

Toppunktet er \( {T \approx (22{,}5008,\ 10{,}2213)}\text{.} \)

2. Løs likningen i CAS Den andre måten er den deriverte. Vi definerer \( F \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og løser \( {F'(x) = 0} \) med Løs og knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) := 1/1000*(0.027x^3 - 5.8x^2 + 220x + 7900) Løs(F'(x) = 0, x)

CAS gir \( {x \approx 22{,}5008} \) og \( {x \approx 120{,}7091}\text{,} \) og bare den første ligger i \( [0, 80]\text{.} \) Begge måtene gir toppunktet i \( {x \approx 22{,}5}\text{,} \) altså i 1982.

Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( F(30) \) og \( F(70)\text{,} \) og \( F(x) \) er tusen innbyggere.

1. Regn ut funksjonsverdiene Vi setter inn \( {x = 30}\text{,} \) regner ut leddene i parentesen og deler på 1000: \[ \begin{aligned} &F(30) \\ &= \dfrac{729 - 5220 + 6600 + 7900}{1000} \\ &= \textcolor{blue}{10{,}009} \end{aligned} \]

På samme måte med \( {x = 70}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &F(70) \\ &= \dfrac{9261 - 28\,420 + 15\,400 + 7900}{1000} \\ &= \textcolor{red}{4{,}141} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{\textcolor{red}{F(70)} - \textcolor{blue}{F(30)}}{70 - 30} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{\textcolor{red}{4{,}141} - \textcolor{blue}{10{,}009}}{40} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{-5{,}868}{40} = -0{,}1467 \end{aligned} \]

3. Tolk stigningstallet \( F(x) \) er tusen innbyggere, så \( {-0{,}1467} \) tusen er \( {-146{,}7} \) innbyggere per år. \( {x = 30} \) er 1990, og \( {x = 70} \) er 2030. Fra 1990 til 2030 går folketallet altså ned med omtrent 147 innbyggere per år i gjennomsnitt.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( F \) i CAS og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) := 1/1000*(0.027x^3 - 5.8x^2 + 220x + 7900) (F(70) - F(30))/(70 - 30)

CAS gir \( {-0{,}1467}\text{.} \) Fra 1990 til 2030 går folketallet ned med omtrent 147 innbyggere per år i gjennomsnitt.

Folketallet avtar raskest der den deriverte er minst. Vi finner bunnpunktet til \( F'\text{.} \)

1. Deriver modellen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer leddene i parentesen ett for ett: \[ F'(x) = \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}081x^2} \textcolor{red}{{}- 11{,}6x} + 220}{1000} \]\( F'(x) \) er vekstfarten. Den er negativ når folketallet avtar, og folketallet avtar raskest der \( F'(x) \) er minst.

2. Finn bunnpunktet til den deriverte \( F' \) er en andregradsfunksjon med positivt tall foran \( x^2\text{,} \) så grafen har et bunnpunkt. Der er den deriverte av \( F'\text{,} \) som vi skriver \( F''\text{,} \) lik \( 0\text{.} \) \( \textcolor{blue}{0{,}081x^2} \) derivert blir \( \textcolor{blue}{0{,}162x}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{-11{,}6x}} \) blir \( {\textcolor{red}{-11{,}6}}\text{,} \) og konstanten \( 220 \) blir \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} F''(x) &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}162x} \textcolor{red}{{}- 11{,}6}}{1000} = 0 \\ x &= \dfrac{\textcolor{red}{11{,}6}}{\textcolor{blue}{0{,}162}} \approx 71{,}60 \end{aligned} \]

Vekstfarten der er: \[ \begin{aligned} F'(71{,}60) &\approx \dfrac{415{,}25 - 830{,}56 + 220}{1000} \\ F'(71{,}60) &\approx -0{,}1953 \end{aligned} \]Folketallet avtar raskest omtrent 71,6 år etter 1960, altså i 2031, med omtrent 195 innbyggere per år. Punktet på grafen til \( F \) der vekstfarten er minst, kalles et vendepunkt.

1. Finn bunnpunktet til den deriverte Vi lager \( F' \) av \( F \) med Derivert og finner bunnpunktet med Min, slik du finner et toppunkt med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = 1/1000*(0.027x^3 - 5.8x^2 + 220x + 7900), 0 <= x <= 80 F'(x) = Derivert(F) M = Min(F', 0, 80)

Bunnpunktet er \( {M \approx (71{,}6049,\ -0{,}1953)}\text{.} \) Folketallet avtar raskest omtrent 71,6 år etter 1960, altså i 2031, med omtrent 195 innbyggere per år.