Eksamensoppgaver etter tema

Radiene deler trekant \( ABC \) i tre trekanter med to sider \( r\text{.} \) Vi finner vinklene ved \( S\text{,} \) uttrykker arealet med arealsetningen og løser for \( r\text{.} \)

1. Finn vinklene ved S \( SA \) og \( SB \) er begge radier, så trekant \( SAB \) er likebeint, og vinklene ved \( A \) og \( B \) er like store, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Vinkelsummen gir: \[ \angle ASB = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = \textcolor{blue}{120^\circ} \]

Vinklene rundt \( S \) er til sammen \( 360^\circ\text{,} \) og \( {\angle BSC = \textcolor{red}{90^\circ}}\text{:} \) \[ \angle CSA = 360^\circ - \textcolor{blue}{120^\circ} - \textcolor{red}{90^\circ} = \textcolor{green}{150^\circ} \]Alle tre vinklene er mindre enn \( 180^\circ\text{,} \) så \( S \) ligger inne i trekanten, og trekantene \( SAB\text{,} \) \( SBC \) og \( SCA \) fyller trekant \( ABC\text{.} \)

2. Sett opp arealet Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( v \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin v \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I alle tre trekantene er sidene \( r \) og \( r\text{.} \) Sinusgrafen er symmetrisk om \( 90^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 5C - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, så \( {\sin \textcolor{blue}{120^\circ} = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) og \( {\sin \textcolor{green}{150^\circ} = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Verdien av \( \sin 60^\circ \) vises i videoen Oppgave 13B (Enkel trigonometri). Vi regner ut de tre arealene hver for seg: \[ \begin{aligned} T_{SBC} &= \dfrac{1}{2} r^2 \sin \textcolor{red}{90^\circ} = \dfrac{2}{4} r^2 \\ T_{SAB} &= \dfrac{1}{2} r^2 \sin \textcolor{blue}{120^\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} r^2 \\ T_{SCA} &= \dfrac{1}{2} r^2 \sin \textcolor{green}{150^\circ} = \dfrac{1}{4} r^2 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= \dfrac{2 + \sqrt{3} + 1}{4}\, r^2 \\ T_{ABC} &= \dfrac{3 + \sqrt{3}}{4}\, r^2 \end{aligned} \]

3. Løs for r Arealet skal være \( {2\sqrt{3} + 6 = 2(3 + \sqrt{3})}\text{:} \) \[ \dfrac{3 + \sqrt{3}}{4}\, r^2 = 2(3 + \sqrt{3}) \]Vi ganger med \( 4 \) og deler på \( {3 + \sqrt{3}} \) på begge sider. Radien er positiv, så: \[ \begin{aligned} r^2 &= 8 \\ r &= \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vinklene ved \( S \) er \( 120^\circ\text{,} \) \( 90^\circ \) og \( 150^\circ\text{,} \) som i ruten for hånd. Vi setter summen av de tre arealene lik \( {2\sqrt{3} + 6} \) og løser for \( r \) med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(1/2*r^2*sin(90°) + 1/2*r^2*sin(120°) + 1/2*r^2*sin(150°) = 2*sqrt(3) + 6, r)

CAS gir \( {r = -2\sqrt{2}} \) og \( {r = 2\sqrt{2}}\text{.} \) En radius er positiv, så \( {r = 2\sqrt{2}}\text{.} \)