Eksamensoppgaver etter tema

\( {\tan \angle B = \dfrac{3}{4}} \) sier bare hvor lange katetene er i forhold til hverandre. Vi finner sidene med en ukjent størrelse \( k \) og Pytagoras, og svarer på hvert spørsmål for seg.

1. Finn sidene i trekanten Definisjonene forteller oss at for en spiss vinkel \( B \) i en rettvinklet trekant er: \[ \begin{aligned} \tan B &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hosliggende katet}}} \\ \sin B &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{green}{\text{hypotenus}}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

\( {\tan \angle B = \dfrac{3}{4}} \) betyr at kateten mot \( B \) er \( \dfrac{3}{4} \) av kateten inntil \( B\text{.} \) Vi kaller dem \( \textcolor{red}{3k} \) og \( \textcolor{blue}{4k}\text{,} \) der \( {k > 0}\text{.} \) Pytagoras gir hypotenusen, som i videoen Oppgave 3B (Pytagoras): \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{h}^2 &= (\textcolor{red}{3k})^2 + (\textcolor{blue}{4k})^2 = 25k^2 \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{5k} \end{aligned} \]

2. Svar på spørsmålene ett for ett \( \sin \angle B\text{:} \) Plugger vi sidene inn i definisjonen, får vi: \[ \sin \angle B = \dfrac{\textcolor{red}{3k}}{\textcolor{green}{5k}} = \dfrac{3}{5} \]Det er ikke \( \dfrac{3}{10}\text{,} \) så det kan ikke være riktig.

Katetene 6 og 8: Med \( {k = 2} \) er \( {\textcolor{red}{3k} = 6} \) og \( {\textcolor{blue}{4k} = 8}\text{.} \) Står kateten 6 mot \( B\text{,} \) er: \[ \tan \angle B = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} \]Så det kan være riktig.

Hypotenusen: \( \tan \angle B \) bestemmer bare formen på trekanten, ikke størrelsen. Med \( {k = \dfrac{1}{2}} \) er katetene \( 1{,}5 \) og \( 2\text{,} \) og hypotenusen er: \[ \textcolor{green}{5k} = 5 \cdot \dfrac{1}{2} = 2{,}5 < 4 \]Hypotenusen kan altså være kortere enn 4.