Eksamensoppgaver etter tema

Rektangelet har hjørnene \( (0, 0) \) og \( (5, 0) \) på \( x \)-aksen og \( (5, f(5)) \) på grafen. Bredden er derfor \( 5\text{,} \) og høyden er \( f(5)\text{.} \)

1. Finn bredden og høyden Bredden er avstanden fra \( (0, 0) \) til \( (5, 0)\text{,} \) altså \( \textcolor{blue}{5}\text{.} \) Hjørnet \( (5, f(5)) \) ligger på grafen rett over \( (5, 0)\text{,} \) som punktet \( C \) i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, så høyden er: \[ \textcolor{red}{f(5)} = \dfrac{8}{5^2 + 20} = \textcolor{red}{\dfrac{8}{45}} \]

2. Regn ut arealet Arealet av et rektangel er bredde ganger høyde, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ A = \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{8}{45}} = \dfrac{40}{45} = \dfrac{8}{9} \approx 0{,}89 \]

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( f \) i CAS med \( {:=} \) og regner ut høyden \( {h = f(5)} \) og arealet \( 5h\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 8/(x^2 + 20) h := f(5) A := 5*h

CAS gir høyden \( {h = \dfrac{8}{45}} \) og arealet \( {\dfrac{8}{9} \approx 0{,}89}\text{.} \)

Rektangelet med hjørne i \( (n, f(n)) \) har bredden \( n \) og høyden \( f(n)\text{.} \) Vi regner ut arealet for \( {n = 1, 2, \dots, 10} \) og setter det opp i en tabell.

1. Sett opp arealet Som i a) er bredden \( \textcolor{blue}{n} \) og høyden \( \textcolor{red}{f(n)}\text{,} \) og arealet er bredde ganger høyde, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ A(n) = \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{8}{n^2 + 20}} = \dfrac{8n}{n^2 + 20} \]

2. Lag tabellen Vi regner ut \( A(n) \) med kalkulatoren for hver \( n\text{,} \) avrundet til tre desimaler. For eksempel er \( {A(1) = \dfrac{8}{21} \approx 0{,}381}\text{:} \) \[ \begin{array}{r|c} n & A(n) \\ \hline 1 & 0{,}381 \\ 2 & 0{,}667 \\ 3 & 0{,}828 \\ 4 & 0{,}889 \\ 5 & 0{,}889 \\ 6 & 0{,}857 \\ 7 & 0{,}812 \\ 8 & 0{,}762 \\ 9 & 0{,}713 \\ 10 & 0{,}667 \end{array} \]Arealet øker fram til \( {n = 4} \) og \( {n = 5}\text{,} \) der det er \( {\dfrac{32}{36} = \dfrac{40}{45} = \dfrac{8}{9}} \) for begge, og minker etterpå.

1. Regn ut arealene i CAS Vi definerer \( f \) i CAS og lar Følge regne ut \( {n \cdot f(n)} \) for \( {n = 1} \) til \( 5 \) og \( 6 \) til \( 10\text{,} \) med knappen ≈ og tre desimaler:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 8/(x^2 + 20) Følge(n*f(n), n, 1, 5) Følge(n*f(n), n, 6, 10)

Arealene står i samme rekkefølge som \( n\text{,} \) fra \( 0{,}381 \) for \( {n = 1} \) til \( 0{,}667 \) for \( {n = 10}\text{.} \) De øker til \( 0{,}889 \) for \( {n = 4} \) og \( {n = 5} \) og minker etterpå.

Med hjørnet i \( (k, f(k)) \) er bredden \( k \) og høyden \( f(k)\text{.} \) Vi lager en funksjon for arealet og finner toppunktet med den deriverte.

1. Sett opp arealfunksjonen Arealet er bredde ganger høyde, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A(k) &= k \cdot f(k) \\ A(k) &= k \cdot \dfrac{8}{k^2 + 20} = \dfrac{8k}{k^2 + 20} \end{aligned} \]Her er \( {k > 0}\text{.} \)

2. Deriver med kvotientregelen Arealet er størst der \( {A'(k) = 0}\text{.} \) Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{8k} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{k^2 + 20} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2k} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} A'(k) &= \dfrac{\textcolor{red}{8} \cdot (\textcolor{blue}{k^2 + 20}) - \textcolor{red}{8k} \cdot \textcolor{blue}{2k}}{(\textcolor{blue}{k^2 + 20})^2} \\ A'(k) &= \dfrac{160 - 8k^2}{(k^2 + 20)^2} \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Nevneren er alltid positiv, så \( {A'(k) = 0} \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 160 - 8k^2 &= 0 \\ k^2 &= 20 \\ k &= \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{aligned} \]Vi tar bare den positive løsningen, fordi \( {k > 0}\text{,} \) og \( {\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}}\text{.} \)

For \( {k < 2\sqrt{5}} \) er telleren positiv, og for \( {k > 2\sqrt{5}} \) er den negativ. Arealet øker altså fram til \( {k = 2\sqrt{5}} \) og minker etterpå, så det er størst der.

Kontroll: \( {2\sqrt{5} \approx 4{,}47} \) ligger mellom \( 4 \) og \( 5\text{,} \) der arealet var størst i tabellen i b).

1. Finn toppunktet til arealet Vi skriver inn \( f\text{,} \) arealet \( {A(x) = x \cdot f(x)} \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Siden \( {k > 0}\text{,} \) starter vi like over 0 og slutter på et stort tall:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = 8/(x^2 + 20) A(x) = x*f(x) T = Maks(A, 0.01, 10000)

Toppunktet er \( {T \approx (4{,}4721,\ 0{,}8944)}\text{,} \) så arealet er størst når \( {k \approx 4{,}47}\text{.} \)