Eksamensoppgaver etter tema

Det er ikke gjerde langs elven, så tauet går langs én lengde og to bredder. Med lengden 60 m finner vi bredden, og arealet er lengde ganger bredde.

1. Finn bredden Tauet er 80 m og går langs lengden \( 60 \) m og de to breddene \( \textcolor{blue}{b}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 60 + 2\textcolor{blue}{b} &= 80 \\ 2\textcolor{blue}{b} &= 20 \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{10} \end{aligned} \]

2. Regn ut arealet Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde, som i videoen Areal og Omkrets. Tallene og enhetene ganges hver for seg, og \( {\text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^2}\text{:} \) \[ A = 60\,\text{m} \cdot \textcolor{blue}{10}\,\text{m} = 600\,\text{m}^2 \]

For hver bredde gir tauet lengden. Vi regner ut arealet for bredder fra 5 m til 35 m og ser hvilken bredde som gir størst areal.

1. Sett opp lengden og arealet Med bredden \( \textcolor{blue}{b} \) og lengden \( \textcolor{red}{l} \) går tauet langs én lengde og to bredder: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{l} + 2\textcolor{blue}{b} &= 80 \\ \textcolor{red}{l} &= 80 - 2\textcolor{blue}{b} \end{aligned} \]Arealet er \( {A = \textcolor{red}{l} \cdot \textcolor{blue}{b}}\text{,} \) som i videoen Areal og Omkrets.

2. Lag oversikten Vi regner ut lengden og arealet for bredder med 5 m mellom: \[ \begin{array}{r|r|r} \textcolor{blue}{b}\ (\text{m}) & \textcolor{red}{l}\ (\text{m}) & A\ (\text{m}^2) \\ \hline 5 & 70 & 350 \\ 10 & 60 & 600 \\ 15 & 50 & 750 \\ 20 & 40 & 800 \\ 25 & 30 & 750 \\ 30 & 20 & 600 \\ 35 & 10 & 350 \end{array} \]Arealet øker fram til bredden 20 m og minker etterpå, og tabellen er symmetrisk om 20 m.

3. Sammenlign med påstanden Det største arealet i oversikten, \( 800\,\text{m}^2\text{,} \) har bredden \( \textcolor{blue}{20} \) m og lengden \( \textcolor{red}{40} \) m. Der er lengden dobbelt så lang som bredden, så Herman kan ha rett. Oversikten viser bare noen bredder, så den kan ikke bevise påstanden. Det gjør vi i c).

1. Lag oversikten i regnearket Vi skriver overskriftene i rad 1 og den første bredden, \( 5\text{,} \) i A2. Tauet går langs to bredder og én lengde, så lengden er \( 80 \) minus to bredder, og arealet er lengde ganger bredde: \[ \begin{aligned} \text{A3:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=A2+5}} \\ \text{B2:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=80-2*A2}} \\ \text{C2:}\quad & \texttt{=A2*B2} \end{aligned} \]Vi drar A3 ned til A8, og B2 og C2 ned til rad 8, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Arealet er størst, \( 800\,\text{m}^2\text{,} \) i rad 5, der bredden er \( \textcolor{blue}{20}\,\text{m} \) og lengden \( \textcolor{red}{40}\,\text{m}\text{,} \) dobbelt så lang som bredden. Arealet minker likt på begge sider av rad 5, så oversikten viser at Herman sin påstand kan være riktig.

Vi bruker oversikten fra b).

Vi uttrykker arealet med bredden \( x \) og finner toppunktet til arealfunksjonen. Der er arealet størst, og der sjekker vi forholdet mellom lengden og bredden.

1. Sett opp funksjonsuttrykket Med bredden \( \textcolor{blue}{x} \) er lengden \( {\textcolor{red}{80 - 2x}}\text{,} \) og arealet er lengde ganger bredde, slik arealet settes opp som et uttrykk i \( x \) i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ A(x) = \textcolor{blue}{x}(\textcolor{red}{80 - 2x}) = 80x - 2x^2 \]Bredden og lengden må være større enn \( 0\text{,} \) så \( {0 < x < 40}\text{.} \)

2. Finn toppunktet Toppunktet ligger der \( {A'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd og setter lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} A'(x) &= 80 - 4x = 0 \\ x &= 20 \end{aligned} \]Tallet foran \( x^2 \) er negativt, så grafen er en parabel som vender ned, og \( {x = 20} \) er et toppunkt. Der er \( {A(20) = 20 \cdot 40 = 800}\text{.} \)

3. Tegn grafen Vi regner ut \( A(x) \) for \( {x = 5, 10, \ldots, 35}\text{,} \) som i oversikten i b), og tegner grafen gjennom punktene:

Med bredden \( \textcolor{blue}{20} \) m er lengden \( {\textcolor{red}{80 - 2 \cdot 20 = 40}} \) m, dobbelt så lang som bredden. Hermans påstand er riktig.

1. Finn toppunktet på grafen Vi tegner \( A \) for \( {0 < x < 40} \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = x*(80 - 2x), 0 < x < 40 T = Maks(A, 0, 40)

Toppunktet er \( {T = (20, 800)}\text{.} \) Arealet er størst, \( 800\,\text{m}^2\text{,} \) når bredden er 20 m og lengden \( {80 - 2 \cdot 20 = 40} \) m, dobbelt så lang som bredden. Hermans påstand er riktig.

Hvert rektangel i figur 2 har bredde 1 og er like høyt som grafen i sin venstre kant. Vi regner ut høydene med \( f \) og legger sammen arealene.

1. Finn høydene Rektanglene i figur 2 går fra \( {x = 0} \) til \( {x = 6} \) og har bredde \( \textcolor{blue}{1}\text{.} \) Det øvre venstre hjørnet ligger på grafen, så høyden er \( f \) i venstre kant, slik rektanglene lages i videoen Riemann sum: \[ \begin{aligned} f(0) &= \dfrac{1}{9} \cdot 1 \cdot 36 = \textcolor{red}{\dfrac{36}{9}} \\ f(1) &= \dfrac{1}{9} \cdot 2 \cdot 25 = \textcolor{red}{\dfrac{50}{9}} \\ f(2) &= \dfrac{1}{9} \cdot 3 \cdot 16 = \textcolor{red}{\dfrac{48}{9}} \\ f(3) &= \dfrac{1}{9} \cdot 4 \cdot 9 = \textcolor{red}{\dfrac{36}{9}} \\ f(4) &= \dfrac{1}{9} \cdot 5 \cdot 4 = \textcolor{red}{\dfrac{20}{9}} \\ f(5) &= \dfrac{1}{9} \cdot 6 \cdot 1 = \textcolor{red}{\dfrac{6}{9}} \end{aligned} \]

2. Legg sammen arealene Hvert rektangel har arealet bredde ganger høyde, \( {\textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{f(x)}}\text{.} \) Slår vi dem sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{\textcolor{red}{36} + \textcolor{red}{50} + \textcolor{red}{48} + \textcolor{red}{36} + \textcolor{red}{20} + \textcolor{red}{6}}{9} \\ A &= \dfrac{196}{9} \approx 21{,}78 \end{aligned} \]

Bredden er lengden av intervallet delt på antall rektangler. Programmet går gjennom rektanglene ett for ett og legger til bredde ganger høyden i venstre kant.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, linje for linje.

1. Skriv programmet Programmet står i svaret, og linje 1 til 7 er Theas start. Linje 9 regner ut bredden av hvert rektangel, som \( \Delta x \) i videoen Riemann sum: \[ \textcolor{blue}{\text{bredde}} = \dfrac{x_{\text{maks}} - x_{\text{min}}}{n} \]Med \( {n = 6000} \) er bredden \( {\dfrac{6 - 0}{6000} = 0{,}001}\text{.} \)

Linje 11 setter summen til \( 0\text{.} \) Løkka i linje 12 går gjennom de \( n \) rektanglene, slik løkka legger sammen arealer i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Rektangel nummer \( i \) har venstre kant i \( {x = x_{\text{min}} + i \cdot \textcolor{blue}{\text{bredde}}} \) (linje 13), og linje 14 legger til arealet \( {\textcolor{red}{f(x)} \cdot \textcolor{blue}{\text{bredde}}}\text{,} \) som i a). Linje 16 skriver ut summen. Thea øker antallet rektangler ved å endre \( n \) i linje 7.

Kontroll: Med \( {n = 6} \) i linje 7 skriver programmet ut \( 21{,}777\ldots\text{,} \) det samme som i a).

Vi bruker programmet fra b).

Programmet fra b) har \( {n = 6000} \) i linje 7. Vi kjører det og leser av utskriften.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Du kan likevel forklare at med 6000 rektangler, hvert bare \( 0{,}001 \) bredt, ligger summen svært nær arealet av det grønne området.

1. Kjør programmet Vi kjører programmet fra b), med \( {n = 6000} \) i linje 7. Det skriver ut:

Med \( \textcolor{green}{6000} \) rektangler er arealet altså omtrent \( \textcolor{green}{20{,}002}\text{.} \) Med \( \textcolor{blue}{6} \) rektangler fikk vi \( \textcolor{blue}{21{,}78} \) i a), og med de \( \textcolor{red}{12} \) i figur 3 blir det omtrent \( \textcolor{red}{20{,}94}\text{.} \)

Rektanglene gir et estimat av arealet under grafen, som i videoen Riemann sum. Jo smalere rektangler, desto bedre følger de grafen, og desto nærmere kommer summen arealet av det grønne området.