Eksamensoppgaver etter tema

Stigningstallet til tangenten i \( P \) er \( f'(1)\text{,} \) og det kan vi lese av på grafen til \( f'\text{.} \) Så finner vi likningen \( {y = ax + b} \) med punktet \( P\text{.} \)

1. Finn stigningstallet i punktet Den rette linjen er grafen til \( f'\text{.} \) Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Punktet \( P \) har \( {x = 1}\text{,} \) og i figuren går linjen gjennom \( {(1, -2)}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{a} = f'(1) = \textcolor{red}{-2} \]

Kontroll: Linjen går gjennom \( (2, 0) \) og \( (4, 4)\text{,} \) så \( {f'(x) = 2x - 4} \) og \( {f'(1) = 2 \cdot 1 - 4 = -2}\text{.} \)

2. Finn likningen til tangenten En rett linje har likningen \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]der \( \textcolor{red}{a} \) er stigningstallet og \( \textcolor{blue}{b} \) er der linjen skjærer \( y \)-aksen, som i videoen Oppgave 6A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Tangenten går gjennom \( P(1, 2)\text{.} \) Vi setter inn \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{-2}}\text{,} \) \( {x = 1} \) og \( {y = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2 &= \textcolor{red}{-2} \cdot 1 + \textcolor{blue}{b} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{4} \end{aligned} \]

Tangenten er altså \( {y = -2x + 4}\text{.} \) Den går gjennom \( P\text{,} \) og den har samme stigningstall som grafen til \( f \) i \( P\text{,} \) nemlig \( {f'(1) = -2}\text{.} \)

Vi velger en tredjegradsfunksjon og en andregradsfunksjon som begge har bunnpunkt på \( y \)-aksen, og en rett linje som lukker kurven. Så viser vi at kravene er oppfylt.

1. Velg en tredjegradsfunksjon Den øverste grafen i figuren har et toppunkt og så et bunnpunkt, som en tredjegradsfunksjon. Uten \( x \)-ledd blir \( {f'(0) = 0}\text{,} \) så vi velger: \[ \textcolor{green}{f(x) = x^3 + 3x^2 + 4} \]

Potensregelen forteller oss at \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer ledd for ledd: \[ f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) \]Den deriverte er 0 i \( {x = -2} \) og \( {x = 0}\text{.} \) Rundt \( {x = 0} \) skifter den fra minus til pluss, så grafen har et bunnpunkt på \( y \)-aksen, i \( {B = (0, f(0)) = (0, 4)}\text{.} \)

2. Finn punktet A \( A \) ligger på grafen til \( f \) og har samme \( y \)-koordinat som \( B\text{,} \) altså \( {f(x) = 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^3 + 3x^2 + 4 &= 4 \\ x^2(x + 3) &= 0 \end{aligned} \]Det gir \( {x = 0}\text{,} \) som er \( B\text{,} \) og \( {x = -3}\text{.} \) Altså er \( {A = (-3, 4)}\text{.} \)

3. Velg en andregradsfunksjon En parabel \( {x^2 + c} \) har bunnpunktet \( (0, c) \) på \( y \)-aksen, fordi \( {x^2 \ge 0}\text{.} \) Den skal gå gjennom \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} (-3)^2 + c &= 4 \\ c &= -5 \end{aligned} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{g(x) = x^2 - 5}} \) med bunnpunktet \( {C = (0, -5)}\text{.} \)

4. Lukk kurven med en linje Vi lar \( f \) gå fra \( A \) til \( {x = 1}\text{,} \) der \( {f(1) = 8}\text{,} \) og \( g \) fra \( A \) til \( {x = 3}\text{,} \) der \( {g(3) = 4}\text{.} \) Linjen gjennom \( (1, 8) \) og \( (3, 4) \) har stigningstallet \[ \dfrac{4 - 8}{3 - 1} = -2 \]Linjen \( {y = -2x + b} \) går gjennom \( (1, 8)\text{,} \) så \( {8 = -2 \cdot 1 + b} \) og \( {b = 10}\text{.} \) Det gir \( {\textcolor{red}{h(x) = -2x + 10}}\text{.} \)

5. Tegn figuren Vi tegner \( \textcolor{green}{f} \) for \( {-3 \le x \le 1}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{g} \) for \( {-3 \le x \le 3} \) og \( \textcolor{red}{h} \) for \( {1 \le x \le 3}\text{:} \)

Grafene henger sammen i \( A\text{,} \) i \( (1, 8) \) og i \( (3, 4)\text{,} \) så de danner en lukket kurve. Andre funksjoner er også riktige, for eksempel \( {f(x) = x^3 + 3x^2 + 1}\text{,} \) \( {g(x) = x^2 - 8} \) og \( {h(x) = -2x + 7}\text{.} \)

1. Tegn grafene i GeoGebra Vi skriver inn de tre funksjonene, hver med sitt intervall, og punktene \( A\text{,} \) \( B \) og \( C\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = x^3 + 3x^2 + 4, -3 <= x <= 1 g(x) = x^2 - 5, -3 <= x <= 3 h(x) = -2x + 10, 1 <= x <= 3 A = (-3, 4) B = (0, 4) C = (0, -5)

Grafene danner en lukket kurve. \( f \) har bunnpunktet \( B \) og \( g \) bunnpunktet \( C\text{,} \) begge på \( y \)-aksen, og \( A \) og \( B \) har samme \( y \)-koordinat, 4.