Eksamensoppgaver etter tema

Vi regner ut hva modellen gir i månedene i tabellen og sammenligner med tallene som er registrert. I GeoGebra lager vi en eksponentiell regresjon av punktene og ser at den gir \( K\text{.} \)

1. Finn månedsnumrene i tabellen \( x \) er antall måneder etter desember 2022, så januar 2024 er \( {x = 13}\text{.} \) Månedene i tabellen er da: \[ x = 1, \ 5, \ 10, \ 14, \ 20 \text{ og } 22 \]

2. Sammenlign modellen med tabellen Modellen er startverdien \( 27{,}8 \) ganget med vekstfaktoren \( 1{,}2 \) én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor. Vi regner ut \( \textcolor{blue}{K(x)} \) med kalkulator og setter den ved siden av de registrerte tallene: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Registrert} & \textcolor{blue}{K(x)} \\ \hline 1 & 29 & \textcolor{blue}{33{,}4} \\ 5 & 93 & \textcolor{blue}{69{,}2} \\ 10 & 164 & \textcolor{blue}{172{,}1} \\ 14 & 284 & \textcolor{blue}{356{,}9} \\ 20 & 1035 & \textcolor{blue}{1065{,}8} \\ 22 & 1657 & \textcolor{blue}{1534{,}7} \end{array} \]

Modellen følger den raske veksten fra omtrent 30 til omtrent 1600 tilfeller i måneden, og de registrerte tallene ligger dels over og dels under modellen. Avvikene er små sammenlignet med veksten, så \( K \) er en god modell for perioden.

1. Lag en eksponentiell regresjon Vi lager en liste med punktene og bruker eksponentiell regresjon med RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{,} \) på samme måte som den logistiske regresjonen i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 29), (5, 93), (10, 164), (14, 284), (20, 1035), (22, 1657)} f(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {f(x) \approx 27{,}809 \cdot 1{,}1987^x}\text{.} \) Avrundet er det \( {27{,}8 \cdot 1{,}2^x = K(x)}\text{,} \) og grafen går tett forbi punktene. \( K \) er altså en god modell.

Linjen går gjennom to punkter på grafen til \( K\text{.} \) Vi regner ut \( K(4) \) og \( K(21)\text{,} \) og finner stigningstallet mellom punktene.

1. Regn ut de to modellverdiene Vi setter inn i modellen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{K(4)} &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^4 \approx \textcolor{blue}{57{,}65} \\ \textcolor{red}{K(21)} &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{21} \approx \textcolor{red}{1278{,}94} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{K(21)} - \textcolor{blue}{K(4)}}{21 - 4} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ a \approx \dfrac{\textcolor{red}{1278{,}94} - \textcolor{blue}{57{,}65}}{17} \approx 71{,}8 \]

3. Tolk svaret \( {x = 4} \) er april 2023, og \( {x = 21} \) er september 2024. \( K(x) \) er antall tilfeller som registreres i måned \( x\text{.} \) Stigningstallet forteller at dette antallet økte med i gjennomsnitt omtrent 72 tilfeller per måned fra april 2023 til september 2024.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS med \( {:=} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 27.8*1.2^x (K(21) - K(4))/(21 - 4)

CAS gir stigningstallet \( {\approx 71{,}84}\text{.} \) Antall registrerte tilfeller i måneden økte altså med i gjennomsnitt omtrent 72 per måned fra april 2023 til september 2024.

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022. Vi setter derfor \( {x = 29} \) inn i modellen.

1. Finn månedsnummeret for mai 2025 Desember 2024 er 24 måneder etter desember 2022, og mai 2025 kommer 5 måneder senere: \[ x = 24 + 5 = \textcolor{blue}{29} \]

2. Regn ut modellverdien Modellen er startverdien ganget med vekstfaktoren én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor: \[ K(\textcolor{blue}{29}) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{29}} \approx 5499{,}2 \]Ifølge modellen blir det registrert omtrent 5499 tilfeller i mai 2025.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS og regner ut \( K(29) \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 27.8*1.2^x K(29)

CAS gir \( {K(29) \approx 5499{,}2}\text{,} \) altså omtrent 5499 tilfeller.

Hver av de tolv trekantene har to sider lik radien \( r \) og vinkelen \( 30^\circ \) mellom dem. Vi skriver arealet med arealsetningen, setter det lik 120 og løser for \( r\text{.} \)

1. Sett opp arealet med arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem er: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I hver trekant er begge sidene radien, \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{.} \) Tolv slike trekanter har til sammen arealet \( 120\text{:} \) \[ 12 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} = 120 \]

2. Finn radien og diameteren Siden \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}} \) og \( {12 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 3}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 3r^2 &= 120 \\ r^2 &= 40 \\ r &= \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \end{aligned} \]Radien er positiv, så vi tar bare den positive roten, og \( {\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}}\text{.} \)

Diameteren er to ganger radien: \[ d = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10} \]

1. Løs i CAS Vi skriver arealet av tolvkanten som en funksjon av \( r \) og løser likningen med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: A(r) := 12*1/2*r*r*sin(30°) Løs(A(r) = 120, r)

CAS gir \( {r = \pm 2\sqrt{10}}\text{.} \) Radien er positiv, så \( {r = 2\sqrt{10}} \) og \( {d = 2r = 4\sqrt{10}}\text{.} \)

Vi bruker radien fra a), \( {r = 2\sqrt{10}}\text{,} \) altså \( {r^2 = 40}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Hver side i tolvkanten står mot vinkelen \( 30^\circ \) i en av trekantene. Vi finner siden med cosinussetningen og ganger med 12.

1. Finn siden med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden \( s \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) er gitt ved: \[ s^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{blue}{b} \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}} \) med \( {r^2 = 40}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{.} \) Med \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) får vi: \[ \begin{aligned} s^2 &= \textcolor{blue}{40} + \textcolor{blue}{40} - 2 \cdot \textcolor{blue}{40} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ s^2 &= 80 - 40\sqrt{3} \\ s &= \sqrt{80 - 40\sqrt{3}} \end{aligned} \]

2. Finn omkretsen Tolvkanten har tolv like sider: \[ O = 12s = 12\sqrt{80 - 40\sqrt{3}} \approx 39{,}29 \]

1. Regn ut i CAS Vi setter inn radien fra a), finner siden med cosinussetningen og ganger med 12:

Skriv inn i GeoGebra: r := 2*sqrt(10) s := sqrt(r^2 + r^2 - 2*r*r*cos(30°)) O := 12*s O

CAS skriver omkretsen som \( {24\sqrt{15} - 24\sqrt{5} \approx 39{,}29}\text{.} \) Det er det samme tallet som \( {12\sqrt{80 - 40\sqrt{3}}}\text{,} \) fordi \( {s = 2\sqrt{15} - 2\sqrt{5}} \) og \( {\sqrt{75} = 5\sqrt{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (2\sqrt{15} - 2\sqrt{5})^2 &= 60 - 8\sqrt{75} + 20 \\ &= 80 - 40\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi finner hvor mange kvadrater figur \( n \) har. Så kan algoritmen la \( n \) gå fra 1 til 20 og regne ut antallet for hver figur.

1. Finn antallet i hver figur Vi følger figurene og danner et mønster, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Figur \( n \) har et kvadrat med \( {\textcolor{blue}{n \cdot n}} \) ruter øverst, en trapp med \( {\textcolor{red}{n + 1}} \) ruter på skrå nedover og en søyle med \( \textcolor{green}{n} \) ruter til høyre: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{n^2} + \textcolor{red}{(n + 1)} + \textcolor{green}{n} &= n^2 + 2n + 1 \\ &= (n + 1)^2 \end{aligned} \]Det siste er første kvadratsetning baklengs, \( {a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2} \) med \( {a = n} \) og \( {b = 1}\text{,} \) som i videoen Kvadratsetningene.

Kontroll: Figur 1, 2 og 3 gir \( {2^2 = 4}\text{,} \) \( {3^2 = 9} \) og \( {4^2 = 16} \) kvadrater, som på figurene.

2. Skriv algoritmen Trinn 1: Start med figur nummer \( {n = 1}\text{.} \) Trinn 2: Regn ut antall kvadrater i figur \( n\text{,} \) \( {(n + 1)^2}\text{.} \) Trinn 3: Skriv ut \( n \) og antallet. Trinn 4: Øk \( n \) med 1, og gå tilbake til trinn 2 så lenge \( {n \le 20}\text{.} \)

Vi bruker algoritmen fra a): figur \( n \) har \( {(n + 1)^2} \) kvadrater.

Vi lar en for-løkke gå gjennom figur 1 til 20 og skriver ut \( {(n + 1)^2} \) for hver figur.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne antallet i figur \( n\text{,} \) som i a), og på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Løkka i linje 1 går gjennom figur 1 til 20, fordi \( \texttt{range(1, 21)} \) stopper før 21, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 2 regner ut antall kvadrater i figur \( n\text{,} \) \( {\textcolor{red}{(n + 1)^2}}\text{,} \) og linje 3 skriver det ut. Utskriften går fra 4 kvadrater i figur 1 til 441 i figur 20.

Vi trekker fra kvadratene til figur 1, figur 2 og så videre, så lenge det er nok kvadrater igjen til neste figur. Det gjør en while-løkke.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese en while-løkke på papir, og på å følge den noen runder for hånd.

1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 starter med \( 1\,000\,000 \) kvadrater, og i linje 2 er \( \texttt{n} \) nummeret på figuren vi skal lage. Løkka i linje 4 går så lenge vi har minst \( {\textcolor{red}{(n + 1)^2}} \) kvadrater igjen, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 5 trekker fra kvadratene til figur \( n\text{,} \) og linje 6 går videre til neste figur. Når løkka stopper, er \( \texttt{n} \) den første figuren vi ikke har nok kvadrater til, så vi har laget \( {n - 1} \) figurer.

2. Les av utskriften Linje 8 og 9 skriver ut at vi kan lage 142 figurer og har \( 15\,017 \) kvadrater igjen. Figur 143 trenger \( {144^2 = 20\,736} \) kvadrater, og det er flere enn vi har igjen.

Vi løser volumformelen for \( h \) og finner høyden for hver radius. Så setter vi \( r \) og \( h \) inn i formelen for overflaten.

Merk – Boksen har ikke lokk: Tegningen ser ut som en lukket sylinder, men formelen for overflaten har bare én \( \pi r^2\text{,} \) altså bare bunnen. En lukket sylinder har \( {2\pi r^2 + 2\pi r h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Her er det formelen i oppgaven som gjelder.

1. Finn høyden Vi deler begge sider av volumformelen på \( \pi r^2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi r^2 h &= 450 \\ h &= \dfrac{450}{\pi r^2} \end{aligned} \]

Vi setter inn radiusene med kalkulator: \[ \begin{aligned} r = \textcolor{blue}{4}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2} \approx \textcolor{red}{8{,}952} \\ r = \textcolor{blue}{6}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{6}^2} \approx \textcolor{red}{3{,}979} \\ r = \textcolor{blue}{8}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{8}^2} \approx \textcolor{red}{2{,}238} \end{aligned} \]

2. Finn overflaten Vi setter \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{red}{h} \) inn i \( {O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{8{,}952} \approx 275{,}3 \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{6}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{3{,}979} \approx 263{,}1 \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{8}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{2{,}238} \approx 313{,}6 \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: Bruk alle desimalene til \( h \) fra kalkulatoren. Med \( {h = 9{,}0} \) blir overflaten for \( {r = 4} \) omtrent \( 276{,}5\text{,} \) ikke \( 275{,}3\text{.} \) Tallet \( 462{,}6 \) i oppgaven er også regnet med alle desimalene.

1. Regn ut i CAS Vi definerer høyden og overflaten som funksjoner av \( r \) og setter inn alle radiusene på en gang med en liste:

Skriv inn i GeoGebra: h(r) := 450/(pi*r^2) O(r) := pi*r^2 + 2*pi*r*h(r) h({2, 4, 6, 8}) O({2, 4, 6, 8})

CAS gir de samme høydene og overflatene som med kalkulator, og også de to tallene i oppgaven for \( {r = 2}\text{.} \)

Vi setter uttrykket for \( h \) fra volumformelen inn i formelen for overflaten. Da får vi \( O \) som en funksjon av \( r \) alene.

1. Sett opp funksjonsuttrykket Fra volumformelen er \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{\dfrac{450}{\pi r^2}}}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen for overflaten, slik arealet settes opp som en funksjon i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} O(r) &= \pi r^2 + 2\pi r \cdot \textcolor{red}{\dfrac{450}{\pi r^2}} \\ O(r) &= \pi r^2 + \dfrac{900}{r} \end{aligned} \]Vi forkorter \( \pi \) og én \( r\text{,} \) og \( {2 \cdot 450 = 900}\text{.} \) Radien må være positiv, så \( {r > 0}\text{.} \)

2. Lag en verditabell og tegn grafen Vi regner ut \( O(r) \) for noen verdier av \( r\text{,} \) avrundet til hele tall: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 1 & 903 \\ 2 & 463 \\ 3 & 328 \\ 4 & 275 \\ 5 & 259 \\ 6 & 263 \\ 8 & 314 \\ 10 & 404 \end{array} \]

Vi tegner punktene og trekker en glatt kurve gjennom dem:

Overflaten er stor for små \( r\text{,} \) blir minst rundt \( {r = 5} \) og vokser igjen for store \( r\text{.} \)

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen med \( x \) for radien og en definisjonsmengde:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = pi*x^2 + 900/x, 0 < x < 12

Grafen viser at overflaten er minst når radien er litt over 5 cm.

Vi bruker funksjonen fra b), \( {O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Minst overflate er bunnpunktet til \( O\text{.} \) Med kalkulator finner vi det der den deriverte er \( 0\text{,} \) og i GeoGebra med Min.

1. Deriver funksjonen Vi skriver \( {\dfrac{900}{r} = 900 \cdot r^{-1}}\text{,} \) som i videoen Regneregler med Potenser. Potensregelen forteller oss at: \[ (r^n)' = n \cdot r^{n - 1} \]Den gjelder for alle tall \( n\text{,} \) også \( {n = -1}\text{.} \) Hvis du er usikker på potensregelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd. \( \textcolor{blue}{\pi r^2} \) derivert blir \( \textcolor{blue}{\underline{2\pi r}}\text{,} \) og \( {\textcolor{red}{900r^{-1}}} \) derivert blir: \[ 900 \cdot (-1) \cdot r^{-2} = \textcolor{red}{\underline{-\dfrac{900}{r^2}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O'(r) = \textcolor{blue}{2\pi r} - \textcolor{red}{\dfrac{900}{r^2}} \]Du kan også derivere brøken med kvotientregelen, som i videoen Tangentlinje.

2. Sett den deriverte lik null I bunnpunktet er \( {O'(r) = 0}\text{:} \) \[ 2\pi r - \dfrac{900}{r^2} = 0 \]

Vi flytter brøken over, ganger begge sider med \( r^2 \) og deler på \( 2\pi\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\pi r^3 &= 900 \\ r^3 &= \dfrac{450}{\pi} \\ r &= \sqrt[3]{\dfrac{450}{\pi}} \approx 5{,}2322 \end{aligned} \]

3. Vis at det er et bunnpunkt Vi sjekker fortegnet til \( O'(r) \) på hver side: \[ \begin{aligned} O'(5) &= 10\pi - 36 \approx -4{,}6 \\ O'(6) &= 12\pi - 25 \approx 12{,}7 \end{aligned} \]Overflaten minker før \( {r \approx 5{,}2322} \) og øker etter, så den er minst der.

4. Regn ut overflaten Vi setter \( r \) inn i \( O(r) \) med alle desimalene fra kalkulatoren, ledd for ledd: \[ \begin{aligned} \pi \cdot 5{,}2322^2 &\approx 86{,}00 \\ \dfrac{900}{5{,}2322} &\approx 172{,}01 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O \approx 86{,}00 + 172{,}01 \approx 258{,}0 \]Minst overflate får boksen med radius omtrent \( 5{,}2 \) cm, og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi tegner grafen fra b) og finner bunnpunktet med Min, slik du finner et toppunkt med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = pi*x^2 + 900/x, 0 < x < 12 A = Min(O, 1, 12)

Bunnpunktet er \( {A \approx (5{,}2322,\ 258{,}0158)}\text{.} \) Minst overflate får boksen med radius omtrent \( 5{,}2 \) cm, og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)