Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

trigonometri

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

14 oppgaver i 1T om trigonometri · viser 11–14

Oppgavene

1T høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

4 poeng

Klassen til Isabel og Anniken skal vise at de kan bruke trigonometri for å bestemme arealet av figuren nedenfor.
Læreren har delt klassen i grupper og gitt hver gruppe noen opplysninger i tillegg til informasjonen som kan leses ut fra figuren.

Oppgave 6a)

Gruppen til Isabel har fått vite at AD=6,0, {AD = 6{,}0}\text{,} BC=10,0 {BC = 10{,}0} og at diagonalen AC=16,4 {AC = 16{,}4}
Vis hvordan gruppen til Isabel kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Med cosinussetningen og arealsetningen, avrundet til én desimal:
T≈58,5‾‾ \underline{\underline{T \approx 58{,}5}}
Diagonalen \( AC \) deler firkanten i trekantene \( ABC \) og \( ACD\text{.} \) I begge kjenner vi alle sidene, så vi finner en vinkel med cosinussetningen og arealet med arealsetningen.
Metode: Med kalkulator
1. Finn vinkel B med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at i trekant \( ABC \) står \( \textcolor{green}{AC} \) mot vinkel \( B\text{,} \) mellom \( \textcolor{blue}{AB} \) og \( \textcolor{red}{BC}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{AC}^2 &= \textcolor{blue}{AB}^2 + \textcolor{red}{BC}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot \textcolor{red}{BC} \cdot \cos B \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AB} &= \textcolor{blue}{8{,}0} & \textcolor{red}{BC} &= \textcolor{red}{10{,}0} \\ \textcolor{green}{AC} &= \textcolor{green}{16{,}4} \end{aligned} \]
Vi løser for \( \cos B\text{,} \) som i videoen Oppgave 12B + C (Cosinussetningen + Arealsetningen): \[ \begin{aligned} \cos B &= \dfrac{\textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{10}^2 - \textcolor{green}{16{,}4}^2}{2 \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{10}} \\ \cos B &= -0{,}656 \\ B &\approx 131{,}00^\circ \end{aligned} \]
2. Finn vinkel D på samme måte I trekant \( ACD \) står \( AC \) mot vinkel \( D\text{,} \) mellom \( {AD = 6{,}0} \) og \( {DC = 12{,}0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \cos D &= \dfrac{6^2 + 12^2 - 16{,}4^2}{2 \cdot 6 \cdot 12} \\ \cos D &\approx -0{,}6178 \\ D &\approx 128{,}15^\circ \end{aligned} \]
3. Legg sammen arealene Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( \theta \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.
Vinkel \( B \) ligger mellom sidene \( 8{,}0 \) og \( 10{,}0\text{,} \) og vinkel \( D \) mellom \( 6{,}0 \) og \( 12{,}0\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABC} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 131{,}00^\circ \\ T_{ABC} &\approx 30{,}19 \\ T_{ACD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot \sin 128{,}15^\circ \\ T_{ACD} &\approx 28{,}31 \end{aligned} \]
Til sammen: \[ T \approx 30{,}19 + 28{,}31 \approx 58{,}5 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi løser cosinussetningen for vinklene med \( \texttt{arccosd}\text{,} \) som gir vinkelen i grader, og legger sammen arealene med arealsetningen:
Skriv inn i GeoGebra: B := arccosd((8^2 + 10^2 - 16.4^2)/(2*8*10)) D := arccosd((6^2 + 12^2 - 16.4^2)/(2*6*12)) 1/2*8*10*sin(B) + 1/2*6*12*sin(D)
CAS gir \( {B \approx 130{,}9955^\circ}\text{,} \) \( {D \approx 128{,}154^\circ} \) og arealet \( {\approx 58{,}4991}\text{,} \) altså omtrent \( 58{,}5\text{.} \)

Oppgave 6b)

Gruppen til Anniken har fått vite at ∠A=62,5∘, {\angle A = 62{,}5^\circ}\text{,} ∠C=38,3∘, {\angle C = 38{,}3^\circ}\text{,} ∠ABD=45,5∘ {\angle ABD = 45{,}5^\circ} og ∠CBD=85,5∘ {\angle CBD = 85{,}5^\circ}
Vis hvordan gruppen til Anniken kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Med vinkelsummen, sinussetningen og arealsetningen, avrundet til én desimal:
T≈58,5‾‾ \underline{\underline{T \approx 58{,}5}}
Diagonalen \( BD \) deler firkanten i trekantene \( ABD \) og \( BCD\text{.} \) I begge kjenner vi én side og to vinkler, så vi finner en side til med sinussetningen og arealet med arealsetningen.
Metode: Med kalkulator
1. Finn de manglende vinklene Vinkelsummen i en trekant er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle ADB &= 180^\circ - 62{,}5^\circ - 45{,}5^\circ \\ \angle ADB &= 72{,}0^\circ \\ \angle BDC &= 180^\circ - 38{,}3^\circ - 85{,}5^\circ \\ \angle BDC &= 56{,}2^\circ \end{aligned} \]
2. Finn AD og BC med sinussetningen Sinussetningen forteller oss at en side delt på sinus til vinkelen den står mot, er det samme for alle sidene i en trekant: \[ \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\sin \textcolor{red}{A}} = \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\sin \textcolor{blue}{B}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.
I trekant \( ABD \) står \( \textcolor{red}{AD} \) mot \( {\textcolor{red}{\angle ABD} = \textcolor{red}{45{,}5^\circ}}\text{,} \) og \( {\textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{8{,}0}} \) står mot \( {\textcolor{blue}{\angle ADB} = \textcolor{blue}{72{,}0^\circ}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{AD} = \dfrac{\textcolor{blue}{8{,}0} \cdot \sin \textcolor{red}{45{,}5^\circ}}{\sin \textcolor{blue}{72{,}0^\circ}} \approx 5{,}9996 \]
I trekant \( BCD \) står \( BC \) mot \( {\angle BDC = 56{,}2^\circ}\text{,} \) og \( {DC = 12{,}0} \) står mot \( {\angle CBD = 85{,}5^\circ}\text{:} \) \[ BC = \dfrac{12{,}0 \cdot \sin 56{,}2^\circ}{\sin 85{,}5^\circ} \approx 10{,}0026 \]
3. Legg sammen arealene Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( \theta \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Vi deler firkanten i to trekanter og legger sammen, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.
Vinkel \( A \) ligger mellom \( AB \) og \( AD\text{,} \) og vinkel \( C \) mellom \( DC \) og \( BC\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 8{,}0 \cdot 5{,}9996 \cdot \sin 62{,}5^\circ \\ T_{ABD} &\approx 21{,}29 \\ T_{BCD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 12{,}0 \cdot 10{,}0026 \cdot \sin 38{,}3^\circ \\ T_{BCD} &\approx 37{,}20 \end{aligned} \]
Til sammen: \[ T \approx 21{,}29 + 37{,}20 \approx 58{,}5 \]
Merk – Avrundede vinkler: Vinklene er gitt med én desimal, så trekantene passer ikke helt sammen: \( AD \) og \( BC \) blir ikke helt \( 6{,}0 \) og \( 10{,}0\text{,} \) og de to trekantene gir litt ulik lengde for diagonalen \( BD \) (\( 7{,}461 \) og \( 7{,}460 \)). Arealet blir likevel \( 58{,}5 \) med én desimal, det samme som gruppen til Isabel får.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vinkelsummen gir \( {\angle ADB = 72^\circ} \) og \( {\angle BDC = 56{,}2^\circ}\text{.} \) Vi regner ut \( AD \) og \( BC \) med sinussetningen og legger sammen arealene med arealsetningen, med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: AD := 8*sin(45.5°)/sin(72°) BC := 12*sin(56.2°)/sin(85.5°) 1/2*8*AD*sin(62.5°) + 1/2*12*BC*sin(38.3°)
CAS gir \( {AD \approx 5{,}9996}\text{,} \) \( {BC \approx 10{,}0026} \) og arealet \( {\approx 58{,}4836}\text{,} \) altså omtrent \( 58{,}5\text{.} \)

1T vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Tom har arbeidet med trekanten ovenfor og påstår at tan⁡u⋅tan⁡v=1 {\tan u \cdot \tan v = 1}

Oppgave 1a)

Vis at Tom har rett.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med tan⁡u=68 {\tan u = \dfrac{6}{8}} og tan⁡v=86 {\tan v = \dfrac{8}{6}} er
tan⁡u⋅tan⁡v=68⋅86=1‾‾ \underline{\underline{\tan u \cdot \tan v = \dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{8}{6} = 1}}
Tangens til en vinkel er motstående katet delt på hosliggende katet. Vi finner \( \tan u \) og \( \tan v \) i trekanten og ganger dem sammen.
1. Finn tangens til begge vinklene Definisjonen av tangens forteller oss at: \[ \tan \theta = \dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.
Kateten \( \textcolor{red}{6} \) står mot vinkelen \( u\text{,} \) og kateten \( \textcolor{blue}{8} \) ligger inntil den. For vinkelen \( v \) er det omvendt: \[ \begin{aligned} \tan u &= \dfrac{\textcolor{red}{6}}{\textcolor{blue}{8}} \\ \tan v &= \dfrac{\textcolor{blue}{8}}{\textcolor{red}{6}} \end{aligned} \]
2. Gang dem sammen Vi ganger brøkene, teller med teller og nevner med nevner: \[ \tan u \cdot \tan v = \dfrac{\textcolor{red}{6}}{\textcolor{blue}{8}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{8}}{\textcolor{red}{6}} = \dfrac{48}{48} = 1 \]Tom har altså rett.

Oppgave 1b)

Avgjør om påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler u u og v. v\text{.}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
I enhver rettvinklet trekant er tan⁡v \tan v den omvendte brøken av tan⁡u, \tan u\text{,} så produktet er alltid 1:
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Vi gjør det samme som i a), men med bokstaver for katetene. Da gjelder svaret for alle rettvinklede trekanter.
1. Skriv katetene med bokstaver Vi kaller kateten mot vinkelen \( u \) for \( \textcolor{red}{a}\text{,} \) og kateten mot vinkelen \( v \) for \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) Tangens er motstående katet delt på hosliggende katet, som i videoen Introduksjon til Trigonometri. Kateten som står mot den ene vinkelen, ligger inntil den andre: \[ \begin{aligned} \tan u &= \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}} \\ \tan v &= \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{a}} \end{aligned} \]
2. Gang dem sammen Vi ganger brøkene: \[ \tan u \cdot \tan v = \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{a}} = \dfrac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1 \]Det gjelder uansett hvor lange katetene er. Påstanden stemmer derfor for alle rettvinklede trekanter.

1T vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

3 poeng

Når en lysstråle går fra luft til vann, skifter den retning.
På figuren står linjen m m vinkelrett på vannoverflaten og lysstrålen går fra å danne en vinkel u u med m m til å danne en vinkel v v med m. m\text{.}
Når lysstrålen går fra luft til vann, vil
sin⁡u=1,33⋅sin⁡v \sin u = 1{,}33 \cdot \sin v

Oppgave 2a)

Hvor stor må vinkelen u u være for at vinkelen v v skal bli 39∘? 39^\circ\text{?}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Avrundet til én desimal må vinkelen være
u≈56,8∘‾‾ \underline{\underline{u \approx 56{,}8^\circ}}
Vi setter \( {v = 39^\circ} \) inn i sammenhengen og regner ut \( \sin u\text{.} \) Så finner vi vinkelen ved å gå baklengs med \( {\sin^{-1}}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut sinusverdien Sammenhengen fra oppgaven er: \[ \sin \textcolor{blue}{u} = 1{,}33 \cdot \sin \textcolor{red}{v} \]
Med \( {\textcolor{red}{v} = \textcolor{red}{39^\circ}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \sin \textcolor{blue}{u} &= 1{,}33 \cdot \sin \textcolor{red}{39^\circ} \\ \sin \textcolor{blue}{u} &\approx 1{,}33 \cdot 0{,}6293 \approx 0{,}8370 \end{aligned} \]
2. Finn vinkelen Vi går baklengs med \( {\sin^{-1}} \) på kalkulatoren, som i videoen Introduksjon til Trigonometri. Kalkulatoren må stå på grader: \[ \textcolor{blue}{u} = \sin^{-1}(0{,}8370) \approx 56{,}8^\circ \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen inn i CAS med gradtegn og løser den med NLøs, med 50 som startverdi:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs(sin(u°) = 1.33*sin(39°), u = 50)
CAS gir \( {u \approx 56{,}8243}\text{,} \) altså \( {u \approx 56{,}8^\circ}\text{.} \)

Oppgave 2b)

Hva vil skje med vinkelen v v dersom vinkelen u u nærmer seg 90∘? 90^\circ\text{?}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Når u u nærmer seg 90∘, 90^\circ\text{,} blir v v større og nærmer seg, avrundet til én desimal,
v≈48,8∘‾‾ \underline{\underline{v \approx 48{,}8^\circ}}
Vi skriver sammenhengen med \( \sin v \) alene. Når \( u \) nærmer seg \( 90^\circ\text{,} \) nærmer \( \sin u \) seg 1, og det avgjør hva \( v \) nærmer seg.
Metode: Med kalkulator
1. Snu om sammenhengen Vi deler sammenhengen fra oppgaven på \( 1{,}33\text{:} \) \[ \sin \textcolor{red}{v} = \dfrac{\sin \textcolor{blue}{u}}{1{,}33} \]
2. La vinkelen nærme seg 90 grader Når \( \textcolor{blue}{u} \) nærmer seg \( 90^\circ\text{,} \) nærmer \( \sin \textcolor{blue}{u} \) seg \( {\sin 90^\circ = 1}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{red}{v} \to \dfrac{1}{1{,}33} \approx 0{,}7519 \]
Vi går baklengs med \( {\sin^{-1}}\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \textcolor{red}{v} \to \sin^{-1}(0{,}7519) \approx 48{,}8^\circ \]
Når \( u \) blir større, blir \( \sin u \) og dermed \( v \) større. Men \( \sin u \) kan aldri bli større enn 1, så \( v \) nærmer seg omtrent \( 48{,}8^\circ \) og blir aldri større.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi setter \( {u = 90^\circ} \) inn i sammenhengen og løser for \( v \) med NLøs:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs(sin(90°) = 1.33*sin(v°), v = 45)
CAS gir \( {v \approx 48{,}7535}\text{.} \) Når \( u \) nærmer seg \( 90^\circ\text{,} \) nærmer \( v \) seg altså omtrent \( 48{,}8^\circ\text{.} \)

Oppgave 2c)

Kan vinklene u u og v v bli like store?
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Ja, men bare når strålen går rett ned langs m: m\text{:}
u=v=0∘‾‾ \underline{\underline{u = v = 0^\circ}}
Vi setter \( u \) og \( v \) like i sammenhengen og ser hvilke vinkler som passer.
Metode: For hånd
1. Sett vinklene like Hvis \( {\textcolor{red}{v} = \textcolor{blue}{u}}\text{,} \) blir sammenhengen fra oppgaven: \[ \begin{aligned} \sin \textcolor{blue}{u} &= 1{,}33 \cdot \sin \textcolor{blue}{u} \\ 0 &= 0{,}33 \cdot \sin \textcolor{blue}{u} \\ \sin \textcolor{blue}{u} &= 0 \end{aligned} \]
2. Tolk svaret Vinklene ligger mellom \( 0^\circ \) og \( 90^\circ\text{,} \) og der er \( {\sin u = 0} \) bare når \( {u = 0^\circ}\text{,} \) som i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Da går lysstrålen rett ned langs \( m\text{,} \) og \( {v = 0^\circ} \) også.
For alle andre vinkler er \[ \sin \textcolor{red}{v} = \dfrac{\sin \textcolor{blue}{u}}{1{,}33} < \sin \textcolor{blue}{u} \]så \( {\textcolor{red}{v} < \textcolor{blue}{u}}\text{,} \) og strålen knekker inn mot \( m\text{.} \)
Husk å begrunne svarene dine.

1T vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

4 poeng

Du får vite følgende om en trekant ABC ABC • AB AB er 8 • ∠A=120∘ {\angle A = 120^\circ} • Arealet av trekanten er 43 4\sqrt{3}
Bestem lengdene av sidene AC AC og BC BC eksakt.
Vis løsning på oppgave 3

Svar

AC=2ogBC=221‾‾ \underline{\underline{AC = 2 \quad \text{og} \quad BC = 2\sqrt{21}}}
Vi kjenner \( AB\text{,} \) vinkel \( A \) og arealet. Arealsetningen gir da \( AC\text{,} \) og når vi har to sider og vinkelen mellom dem, gir cosinussetningen \( BC\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn AC med arealsetningen Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{AB} \) og \( \textcolor{red}{AC} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{A} \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot \textcolor{red}{AC} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.
Her er \( {\textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{8}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{120^\circ}} \) og \( {T = 4\sqrt{3}}\text{.} \) Sinus er symmetrisk om \( 90^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 5C - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, så den eksakte verdien er \( {\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{AC} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= 4\sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} \cdot \textcolor{red}{AC} &= 4\sqrt{3} \\ \textcolor{red}{AC} &= \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]
2. Finn BC med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden \( BC\text{,} \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{A}\text{,} \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} BC^2 &= \textcolor{blue}{AB}^2 + \textcolor{red}{AC}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot \textcolor{red}{AC} \cdot \cos \textcolor{green}{A} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Den eksakte verdien er \( {\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}}\text{.} \) Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{8}} \) og \( {\textcolor{red}{AC} = \textcolor{red}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} BC^2 &= \textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{2}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ BC^2 &= 64 + 4 + 16 = 84 \\ BC &= \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21} \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi løser arealsetningen for \( AC \) med Løs, og regner ut \( BC \) med cosinussetningen, med gradtegn på vinkelen:
Skriv inn i GeoGebra: Løs(1/2*8*AC*sin(120°) = 4*sqrt(3), AC) BC := sqrt(8^2 + 2^2 - 2*8*2*cos(120°))
CAS gir \( {AC = 2} \) og \( {BC = 2\sqrt{21}}\text{.} \)