Eksamensoppgaver etter tema

Stigningstallet til tangenten i \( P \) er \( f'(1)\text{,} \) og det kan vi lese av på grafen til \( f'\text{.} \) Så finner vi likningen \( {y = ax + b} \) med punktet \( P\text{.} \)

1. Finn stigningstallet i punktet Den rette linjen er grafen til \( f'\text{.} \) Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Punktet \( P \) har \( {x = 1}\text{,} \) og i figuren går linjen gjennom \( {(1, -2)}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{a} = f'(1) = \textcolor{red}{-2} \]

Kontroll: Linjen går gjennom \( (2, 0) \) og \( (4, 4)\text{,} \) så \( {f'(x) = 2x - 4} \) og \( {f'(1) = 2 \cdot 1 - 4 = -2}\text{.} \)

2. Finn likningen til tangenten En rett linje har likningen \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]der \( \textcolor{red}{a} \) er stigningstallet og \( \textcolor{blue}{b} \) er der linjen skjærer \( y \)-aksen, som i videoen Oppgave 6A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Tangenten går gjennom \( P(1, 2)\text{.} \) Vi setter inn \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{-2}}\text{,} \) \( {x = 1} \) og \( {y = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2 &= \textcolor{red}{-2} \cdot 1 + \textcolor{blue}{b} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{4} \end{aligned} \]

Tangenten er altså \( {y = -2x + 4}\text{.} \) Den går gjennom \( P\text{,} \) og den har samme stigningstall som grafen til \( f \) i \( P\text{,} \) nemlig \( {f'(1) = -2}\text{.} \)