Eksamensoppgaver etter tema

Funksjonen er et tall ganget med en vekstfaktor opphøyd i antall år. Vi ser hva hvert av tallene betyr for pengene i banken.

1. Tolk startbeløpet Vi setter inn \( {x = 0}\text{,} \) altså nå. Et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= \textcolor{blue}{20\,000} \cdot 1{,}0485^0 \\ &= \textcolor{blue}{20\,000} \cdot 1 = \textcolor{blue}{20\,000} \end{aligned} \]Ada har altså \( \textcolor{blue}{20\,000} \) kroner i banken nå. Det er beløpet hun starter med.

2. Tolk vekstfaktoren Hvert år ganges beløpet med \( \textcolor{red}{1{,}0485}\text{,} \) så det er vekstfaktoren. For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er: \[ \textcolor{red}{1{,}0485} = 1 + 0{,}0485 = 1 + \dfrac{4{,}85}{100} \]Beløpet øker altså med \( 4{,}85\,\% \) hvert år. Det er renten banken gir.

Programmet regner ut hvor mye \( f \) endrer seg fra start til slutt, og deler på antall år. Vi går gjennom det linje for linje.

1. Les programmet linje for linje Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 og 2 lager funksjonen \( {f(x) = 20\,000 \cdot 1{,}0485^x} \) fra oppgaven, og linje 4 og 5 setter \( {\texttt{start} = \textcolor{blue}{0}} \) og \( {\texttt{slutt} = \textcolor{red}{10}}\text{.} \)

Linje 7 regner da ut: \[ v = \dfrac{f(\textcolor{red}{10}) - f(\textcolor{blue}{0})}{\textcolor{red}{10} - \textcolor{blue}{0}} \]Linje 9 skriver ut \( v\text{.} \)

2. Tolk tallet I telleren står hvor mange kroner beløpet øker med fra i dag til om \( 10 \) år. I nevneren står antall år, \( 10\text{.} \) Tallet \( v \) er altså økningen per år i gjennomsnitt de ti første årene.

Det er det samme som stigningstallet til linja gjennom punktene \( (0, f(0)) \) og \( (10, f(10))\text{:} \) endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Vi sammenligner modellen med tallene i tabellen. Med kalkulator regner vi ut \( O(x) \) for antallene i tabellen, og med GeoGebra bruker vi andregradsregresjon på punktene.

1. Regn ut modellverdiene For \( 100 \) bagetter er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]

Slik regner vi ut \( \textcolor{blue}{O(x)} \) for alle sju antallene, avrundet til hele kroner, og setter dem ved siden av overskuddet i tabellen: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Overskudd} & \textcolor{blue}{O(x)} \\ \hline 100 & 1450 & \textcolor{blue}{1427} \\ 130 & 2300 & \textcolor{blue}{2337} \\ 160 & 3050 & \textcolor{blue}{3085} \\ 175 & 3365 & \textcolor{blue}{3399} \\ 190 & 3720 & \textcolor{blue}{3672} \\ 220 & 4140 & \textcolor{blue}{4096} \\ 235 & 4175 & \textcolor{blue}{4247} \end{array} \]

2. Vurder modellen Modellverdiene bommer med høyst \( 72 \) kroner, ved \( 235 \) bagetter, og det er under \( 2\,\% \) av overskuddet. Modellen følger tabellen godt for alle de sju ukene, så \( O \) er en god modell.

1. Bruk andregradsregresjon Andregradsregresjon finner den andregradsfunksjonen som går så nær punktene som mulig. Vi legger punktene i en liste og bruker RegPoly med grad \( 2\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(100, 1450), (130, 2300), (160, 3050), (175, 3365), (190, 3720), (220, 4140), (235, 4175)} f(x) = RegPoly(l1, 2)

GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} f(x) &\approx \textcolor{blue}{-0{,}0903}x^2 + \textcolor{red}{51{,}0367}x \\ &\quad \textcolor{green}{{}- 2776{,}9766} \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler blir \( {\textcolor{blue}{-0{,}0903}} \) til \( {\textcolor{blue}{-0{,}09}}\text{,} \) \( \textcolor{red}{51{,}0367} \) til \( \textcolor{red}{51{,}04} \) og \( {\textcolor{green}{-2776{,}9766}} \) til \( {\textcolor{green}{-2776{,}98}}\text{.} \) Det er akkurat \( O(x)\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Derfor er \( O \) en god modell.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Vi leter etter antallet bagetter der \( O(x) \) er størst. Med kalkulator lager vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi toppunktet på grafen.

1. Lag en grov verditabell Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= -0{,}09x^2 + 51{,}04x \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]

Tabellen i oppgaven viser at overskuddet fortsatt øker ved \( 235 \) bagetter. Vi regner derfor ut \( O(x) \) med kalkulatoren for hver tiende bagett fra \( 250\text{.} \) For eksempel er \( {-0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{280}^2 = -7056} \) og \( {51{,}04 \cdot \textcolor{blue}{280} = 14\,291{,}2}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{280}) &= -7056 + 14\,291{,}2 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= 4458{,}22 \end{aligned} \]

Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 250 & 4358{,}02 \\ 260 & 4409{,}42 \\ 270 & 4442{,}82 \\ \textcolor{red}{280} & \textcolor{red}{4458{,}22} \\ 290 & 4455{,}62 \\ 300 & 4435{,}02 \\ 310 & 4396{,}42 \end{array} \]Overskuddet øker fram til \( \textcolor{red}{280} \) bagetter og synker etterpå. \( O(290) \) er nesten like stor som \( O(280)\text{,} \) mens \( O(270) \) er tydelig mindre, så toppen ligger mellom \( 280 \) og \( 290\text{.} \)

2. Lag en finere tabell Vi regner ut \( O(x) \) for hver bagett mellom \( 280 \) og \( 290\text{,} \) med to desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 281 & 4458{,}77 \\ 282 & 4459{,}14 \\ 283 & 4459{,}33 \\ \textcolor{red}{284} & \textcolor{red}{4459{,}34} \\ 285 & 4459{,}17 \\ 286 & 4458{,}82 \\ 287 & 4458{,}29 \\ 288 & 4457{,}58 \\ 289 & 4456{,}69 \end{array} \]Det største overskuddet er ved \( \textcolor{red}{284} \) bagetter, og da er det omtrent \( \textcolor{red}{4459} \) kroner.

1. Finn toppunktet på grafen Vi skriver inn \( O \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 T = Maks(O, 0, 500)

Toppunktet er \( {T \approx (283{,}56,\ 4459{,}36)}\text{.} \) Kantinen selger hele bagetter, og nærmest \( 283{,}56 \) er \( 284 \) bagetter. Overskuddet er da omtrent \( 4459 \) kroner.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Stigningstallet er endringen i \( O \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( O(100) \) og \( O(200)\text{,} \) og deler forskjellen på de 100 bagettene mellom dem.

1. Regn ut de to verdiene Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= -0{,}09x^2 + 51{,}04x \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]

For \( {x = 100} \) er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]

For \( {x = 200} \) er \( {-0{,}09 \cdot 200^2 = -3600} \) og \( {51{,}04 \cdot 200 = 10\,208}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{O(200)} &= -3600 + 10\,208 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{red}{3831{,}02} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{O(200)} - \textcolor{blue}{O(100)}}{200 - 100} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\textcolor{red}{3831{,}02} - \textcolor{blue}{1427{,}02}}{200 - 100} \\ &= \dfrac{2404}{100} = 24{,}04 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( O(x) \) er overskuddet i kroner og \( x \) antall bagetter, så stigningstallet er kroner per bagett. Når salget øker fra 100 til 200 bagetter i uka, øker overskuddet i gjennomsnitt med \( 24{,}04 \) kroner for hver ekstra bagett.