Eksamensoppgaver etter tema

Temperaturen er over \( 0\,^\circ\text{C} \) der grafen til \( T \) ligger over x-aksen. Vi finner nullpunktene til \( T \) og gjør tiden mellom dem om til døgn.

1. Finn hvor fortegnet skifter Vi regner ut \( T(x) \) for hver måned med kalkulatoren: \[ \begin{array}{c|r} x & T(x) \\ \hline 2 & -13{,}392 \\ 3 & -15{,}872 \\ 4 & -11{,}552 \\ 5 & \textcolor{blue}{-4{,}800} \\ 6 & \textcolor{blue}{1{,}168} \\ 7 & 4{,}288 \\ 8 & \textcolor{red}{3{,}648} \\ 9 & \textcolor{red}{-0{,}512} \\ 10 & -6{,}800 \end{array} \]\( T(x) \) skifter fortegn mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 6}\text{,} \) og mellom \( {x = 8} \) og \( {x = 9}\text{.} \) Der går grafen gjennom x-aksen, som i videoen Halveringsmetoden/​Midtpunktsmetoden.

2. Finn nullpunktene mer nøyaktig Vi regner ut \( T(x) \) tettere rundt de to stedene, først for hver tidel og så for hver hundredel, med tre desimaler: \[ \begin{array}{c|r} x & T(x) \\ \hline 5{,}7 & -0{,}395 \\ \textcolor{blue}{5{,}77} & \textcolor{blue}{-0{,}009} \\ 5{,}78 & 0{,}045 \\ 5{,}8 & 0{,}153 \\ \hline 8{,}9 & 0{,}032 \\ \textcolor{red}{8{,}91} & \textcolor{red}{-0{,}022} \\ 9{,}0 & -0{,}512 \end{array} \]\( T(x) \) skifter fortegn mellom \( 5{,}77 \) og \( 5{,}78\text{,} \) og mellom \( 8{,}90 \) og \( 8{,}91\text{.} \) Nullpunktene er altså \( {\textcolor{blue}{x_1 \approx 5{,}77}} \) og \( {\textcolor{red}{x_2 \approx 8{,}91}}\text{,} \) der \( T(x) \) er nærmest \( 0\text{,} \) og \( {T(x) > 0} \) mellom dem.

3. Gjør om til døgn \( {x = 5} \) er 1. mai og \( {x = 6} \) er 1. juni, og mai har 31 døgn. \( \textcolor{blue}{x_1} \) er derfor omtrent \( {0{,}77 \cdot 31 \approx 24} \) døgn etter 1. mai, rundt 25. mai. På samme måte er \( \textcolor{red}{x_2} \) omtrent \( {0{,}91 \cdot 31 \approx 28} \) døgn etter 1. august, rundt 29. august.

Vi legger sammen resten av mai, juni, juli og den delen av august som er med: \[ \begin{aligned} &(6 - \textcolor{blue}{5{,}77}) \cdot 31 + 30 + 31 \\ &{}+ (\textcolor{red}{8{,}91} - 8) \cdot 31 \\ &\approx 7{,}1 + 30 + 31 + 28{,}2 \\ &\approx 96 \end{aligned} \]Regner vi med 30 døgn i hver måned, blir det \( {(8{,}91 - 5{,}77) \cdot 30 \approx 94} \) døgn, som også er et godt svar på «omtrent».

1. Finn nullpunktene på grafen Vi skriver inn \( T \) med definisjonsmengden og finner skjæringspunktene med x-aksen, som med «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: T(x) = 0.048x^4 - 1.4x^3 + 13.36x^2 - 45.8x + 35.2, 2 <= x <= 10 Skjæring(T, xAkse)

GeoGebra gir \( {\textcolor{blue}{x_1 \approx 5{,}7716}} \) og \( {\textcolor{red}{x_2 \approx 8{,}906}}\text{,} \) og grafen ligger over x-aksen mellom dem. Gjort om til døgn som med kalkulator blir det: \[ \begin{aligned} &(6 - \textcolor{blue}{5{,}7716}) \cdot 31 + 30 + 31 \\ &{}+ (\textcolor{red}{8{,}906} - 8) \cdot 31 \approx 96 \end{aligned} \]

Linja går gjennom to punkter på grafen til \( T\text{.} \) Vi regner ut punktene med modellen og finner stigningstallet mellom dem.

1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Punktene er \( (\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{T(3)}) \) og \( (\textcolor{blue}{7}, \textcolor{red}{T(7)})\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} T(\textcolor{blue}{3}) &= \textcolor{red}{-15{,}872} \\ T(\textcolor{blue}{7}) &= \textcolor{red}{4{,}288} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{\textcolor{red}{4{,}288} - (\textcolor{red}{-15{,}872})}{\textcolor{blue}{7} - \textcolor{blue}{3}} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{20{,}16}{4} = 5{,}04 \end{aligned} \]

2. Tolk stigningstallet \( {x = 3} \) er 1. mars, og \( {x = 7} \) er 1. juli. Stigningstallet er den gjennomsnittlige endringen per måned mellom de to datoene, så fra 1. mars til 1. juli øker gjennomsnittstemperaturen i gjennomsnitt med omtrent \( 5\,^\circ\text{C} \) per måned, ifølge modellen.