Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

83 oppgaver i 1P · viser 81–83

Oppgavene

1P høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

I denne oppgaven skal du arbeide med linjestykker som settes sammen til en figur.
Skissen nedenfor viser de 16 første linjestykkene i figuren. Lengden av et linjestykke er alltid 90 % 90\,\% av lengden av det forrige linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm 100\,\text{cm} langt.

Oppgave 6a)

Bestem summen av lengdene av de 8 første linjestykkene i figuren.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Avrundet til én desimal er summen av de 8 første lengdene:
569,5 cm‾‾ \underline{\underline{569{,}5\,\text{cm}}}
Hvert linjestykke er \( 90\,\% \) av det forrige, så vi ganger med \( 0{,}9 \) for å finne det neste. Så legger vi sammen de 8 første lengdene.
Metode: For hånd
1. Finn lengdene Når noe blir \( 90\,\% \) av det det var, minker det med \( 10\,\%\text{,} \) og vekstfaktoren er \( {1 - 0{,}10 = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor.
Vi starter med \( 100\,\text{cm} \) og ganger med \( \textcolor{red}{0{,}9} \) for hvert nye linjestykke: \[ \begin{array}{c|r} \text{Nr.} & \text{Lengde (cm)} \\ \hline 1 & 100 \\ 2 & 90 \\ 3 & 81 \\ 4 & 72{,}9 \\ 5 & 65{,}61 \\ 6 & 59{,}049 \\ 7 & 53{,}1441 \\ 8 & 47{,}82969 \end{array} \]
2. Legg sammen lengdene Med kalkulatoren får vi, i cm: \[ \begin{aligned} &100 + 90 + 81 + 72{,}9 + 65{,}61 \\ &{}+ 59{,}049 + 53{,}1441 + 47{,}82969 \\ &{}= 569{,}53279 \end{aligned} \]

Oppgave 6b)

Lag et program som du kan bruke til å bestemme summen av lengdene av linjestykkene dersom det er mange linjestykker i figuren.
Hvor mange linjestykker må vi ha med i figuren dersom summen av lengdene skal bli minst 9 meter?
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Programmet legger til ett linjestykke om gangen og ganger lengden med \( 0{,}9 \) før det neste. Løkka fortsetter til summen er minst \( {9\,\text{m} = 900\,\text{cm}}\text{,} \) og så skriver programmet ut antallet og summen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, linje for linje.
Metode: Med Python
1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 til 3 setter lengden av det første linjestykket til \( 100\,\text{cm}\text{,} \) og summen og antallet til \( 0\text{.} \)
Linje 5 gjentar løkka så lenge summen er under \( 900\,\text{cm}\text{,} \) og vi kan gå gjennom den linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. I hver runde legger linje 6 lengden til summen, linje 7 finner lengden av det neste linjestykket og linje 8 teller linjestykket: \[ \begin{aligned} \text{summen} &= \text{summen} + \text{lengde} \\ \text{lengde} &= \textcolor{red}{0{,}9} \cdot \text{lengde} \end{aligned} \]
Vil vi ha summen av et bestemt antall linjestykker, for eksempel 50, bytter vi betingelsen i linje 5 med \( {\texttt{antall < 50}}\text{.} \)
2. Les av utskriften Linje 10 og 11 skriver ut antallet og summen. Løkka stopper første gang summen er minst \( 900\,\text{cm}\text{,} \) og det skjer etter \( 22 \) linjestykker, med summen \( 901{,}5\,\text{cm}\text{.} \) Med \( 21 \) linjestykker var summen altså under \( 900\,\text{cm}\text{,} \) så vi må ha med \( 22 \) linjestykker.

Oppgave 6c)

Hvor mange prosent øker summen av lengdene dersom vi øker antall linjestykker i figuren fra 50 til 100?
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Summen øker fra omtrent 994,85 cm 994{,}85\,\text{cm} til omtrent 999,97 cm, 999{,}97\,\text{cm}\text{,} altså med omtrent:
0,52 %‾‾ \underline{\underline{0{,}52\,\%}}
Vi bruker programmet fra b).
Vi bruker programmet fra b) til å finne summen av 50 og av 100 linjestykker. Så finner vi hvor mange prosent den største summen er større enn den minste.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne hvor mange prosent noe øker med, som i steg 2.
Metode: Med Python
1. Finn de to summene Vi bytter betingelsen i linje 5 i programmet fra b) med \( {\texttt{antall < 50}}\text{:} \)
Med \( {\texttt{antall < 100}} \) i linje 5 skriver programmet ut summen \( 999{,}9734386011127\text{.} \) Summene er altså, i cm: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{S_{50}} &\approx \textcolor{blue}{994{,}846} \\ \textcolor{red}{S_{100}} &\approx \textcolor{red}{999{,}973} \end{aligned} \]
2. Finn økningen i prosent Hvor mange prosent noe øker med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
Endringen er \( {\textcolor{red}{999{,}973} - \textcolor{blue}{994{,}846} = 5{,}127}\text{,} \) og den gamle summen er \( \textcolor{blue}{994{,}846}\text{:} \) \[ \dfrac{5{,}127}{\textcolor{blue}{994{,}846}} \cdot 100\,\% \approx 0{,}52\,\% \]Summen øker bare litt, fordi linjestykke nummer 51 til 100 er svært korte.

1P høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 7

Nedenfor ser du en ellipse med sentrum i S. S\text{.} Linjestykket SA=a {SA = a} kalles den store halvaksen, og linjestykket SB=b {SB = b} kalles den lille halvaksen.
Den indiske matematikeren Ramanujan kom fram til en formel for omkretsen av en ellipse.
Ifølge formelen er omkretsen O O tilnærmet gitt ved
O≈π(a+b)(1+3h10+4−3h) O \approx \pi(a + b)\left(1 + \dfrac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right)
der h=(a−ba+b)2 {h = \left(\dfrac{a - b}{a + b}\right)^2} og a a og b b er store og lille halvakse.
Mari har tegnet en ellipse der a=3 cm {a = 3\,\text{cm}} og b=2 cm, {b = 2\,\text{cm}}\text{,} ved hjelp av et digitalt verktøy. Hun har funnet at ellipsen har en omkrets på 15,865 cm. 15{,}865\,\text{cm}\text{.}

Oppgave 7a)

Bruk Ramanujans formel, og bestem O O når a=3 {a = 3} og b=2. {b = 2}\text{.} Sammenlikn med svaret Mari har funnet.
Vis løsning på oppgave 7a
Svar
Avrundet til tre desimaler, det samme som Mari fant:
O≈15,865 cm‾‾ \underline{\underline{O \approx 15{,}865\,\text{cm}}}
Vi finner først \( h \) med \( {a = 3} \) og \( {b = 2}\text{,} \) og setter så alt inn i Ramanujans formel.
Metode: For hånd
1. Finn h Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}}\text{:} \) \[ h = \left(\dfrac{\textcolor{blue}{3} - \textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3} + \textcolor{red}{2}}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 = \textcolor{green}{0{,}04} \]
2. Sett inn i formelen Ramanujans formel forteller oss at: \[ O \approx \pi(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})\left(1 + \dfrac{3\textcolor{green}{h}}{10 + \sqrt{4 - 3\textcolor{green}{h}}}\right) \]
Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}} \) og \( {\textcolor{green}{h} = \textcolor{green}{0{,}04}}\text{,} \) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} O &\approx \pi \cdot 5 \cdot \left(1 + \dfrac{0{,}12}{10 + \sqrt{3{,}88}}\right) \\ O &\approx 15{,}865 \end{aligned} \]Her er \( {3 \cdot \textcolor{green}{0{,}04} = 0{,}12} \) og \( {4 - 0{,}12 = 3{,}88}\text{.} \)
3. Sammenlign med Mari Med tre desimaler er \( {O \approx 15{,}865\,\text{cm}}\text{,} \) det samme som Mari fant med det digitale verktøyet. Formelen er altså svært nøyaktig her.

Oppgave 7b)

Undersøk om Ramanujans formel gjelder i det spesialtilfellet at ellipsen er en sirkel.
Vis løsning på oppgave 7b
Svar
Med a=b=r {a = b = r} blir h=0, {h = 0}\text{,} og formelen gir omkretsen av en sirkel:
O=2πr, formelen gjelder‾‾ \underline{\underline{O = 2\pi r\text{, formelen gjelder}}}
En sirkel er en ellipse der de to halvaksene er like lange, \( {a = b = r}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen og ser om vi får omkretsen av en sirkel, \( 2\pi r\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn h for en sirkel Med \( {a = b = r} \) blir telleren i brøken \( 0\text{:} \) \[ h = \left(\dfrac{r - r}{r + r}\right)^2 = \left(\dfrac{0}{2r}\right)^2 = \textcolor{green}{0} \]
2. Sett inn i formelen Med \( {\textcolor{green}{h} = \textcolor{green}{0}} \) blir brøken i parentesen \( {\dfrac{3 \cdot \textcolor{green}{0}}{10 + \sqrt{4}} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &\approx \pi(r + r)(1 + 0) \\ O &\approx \pi \cdot 2r = 2\pi r \end{aligned} \]Det er nettopp omkretsen av en sirkel med radius \( r\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Formelen gjelder altså også for en sirkel, og der gir den det eksakte svaret.

1P høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 8

Grafen nedenfor viser hvordan farten til en racerbil har variert gjennom en runde av et billøp.
Bilen har kjørt på en av banene nedenfor, og runden har startet ved den røde markeringen.
Hvilken bane har bilen kjørt på? Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
Vis løsning på oppgave 8

Svar

Tre svinger, der den andre er skarpest og den tredje slakest, passer bare med:
Bane B‾‾ \underline{\underline{\text{Bane B}}}
Bilen må bremse foran hver sving, og jo skarpere svingen er, desto lavere blir farten. Vi ser derfor på hvor mange svinger banen har, hvor skarpe de er og i hvilken rekkefølge de kommer.
Metode: For hånd
1. Les av grafen Grafen har tre daler, så banen har tre svinger, som vi kaller sving \( \textcolor{blue}{1}\text{,} \) \( \textcolor{red}{2} \) og \( \textcolor{green}{3}\text{.} \) Den andre dalen er dypest, så sving \( \textcolor{red}{2} \) er skarpest. Den tredje dalen er grunnest, så sving \( \textcolor{green}{3} \) er slakest.
Mellom dalene er farten høy over to lange strekninger. Før den første dalen og etter den siste er det korte strekninger.
2. Utelukk de andre banene A og D har mange flere svinger enn tre, og C har fire. E er en likesidet trekant med tre like skarpe svinger, som ville gitt tre like dype daler.
F har tre svinger, men regnet fra startmarkeringen er den andre svingen den slakeste, med en vinkel på omtrent \( 90^\circ\text{.} \) Da skulle den andre dalen vært grunnest.
3. Sjekk bane B B har tre svinger. Fra startmarkeringen kjører bilen et kort stykke opp til det øvre venstre hjørnet, sving \( \textcolor{blue}{1}\text{,} \) som er ganske skarp. Så kommer en lang strekning fram til den spisse vinkelen til høyre, sving \( \textcolor{red}{2}\text{,} \) som er den skarpeste. Etter en ny lang strekning kommer det runde hjørnet nede til venstre, sving \( \textcolor{green}{3}\text{,} \) som er den slakeste, og så er det et kort stykke tilbake til start. Det passer med grafen.