Eksamensoppgaver etter tema

Sammenhengen er lineær, så punktene ligger på en rett linje. Vi finner konstantleddet der linja skjærer y-aksen, og stigningstallet fra to av punktene.

1. Skriv opp formen En lineær sammenheng har formen: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) stigningstallet og \( \textcolor{blue}{b} \) verdien når \( {x = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp.

Punktet \( (0, \textcolor{blue}{32}) \) ligger på y-aksen, så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{32}}\text{.} \)

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Fra \( (0, 32) \) til \( (100, 212) \) får vi: \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{212 - 32}{100 - 0} = \dfrac{180}{100} = \textcolor{red}{1{,}8} \]

Med \( C \) grader celsius og \( F \) grader fahrenheit gir det formelen: \[ F = \textcolor{red}{1{,}8}C + \textcolor{blue}{32} \]

Kontroll: Det tredje punktet: \( {1{,}8 \cdot (-40) = -72}\text{,} \) og \( {-72 + 32 = -40}\text{,} \) som i figuren.

Vi bruker formelen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter \( {F = 68} \) inn i formelen og løser likningen for \( C\text{.} \)

1. Løs likningen I a) fant vi formelen: \[ F = \textcolor{red}{1{,}8}C + \textcolor{blue}{32} \]

Vi setter \( {F = 68}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{1{,}8}C + \textcolor{blue}{32} = 68 \]

Vi trekker fra \( \textcolor{blue}{32} \) på begge sider og deler med \( \textcolor{red}{1{,}8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{1{,}8}C &= 36 \\ C &= \dfrac{36}{1{,}8} = \dfrac{360}{18} = 20 \end{aligned} \]

I 2010 er \( {x = 0}\text{.} \) Vi kan regne ut \( P(0)\text{,} \) eller lese startverdien av modellen og av grafen.

1. Regn ut P(0) Den første måten er å regne ut \( P(0)\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 0}\text{.} \) Et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ a^0 = 1 \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{0{,}85^0} + 600 \\ P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{1} + 600 = 4200 \end{aligned} \]

2. Les av startverdien Den andre måten er å lese av modellen. Den er et eksponentielt ledd \( {\textcolor{blue}{3600} \cdot \textcolor{red}{0{,}85}^x} \) pluss et fast antall \( \textcolor{green}{600}\text{.} \) Det eksponentielle leddet starter på \( \textcolor{blue}{3600} \) og ganges med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{0{,}85} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I 2010 har det ikke gått noe år ennå, så antallet er: \[ \textcolor{blue}{3600} + \textcolor{green}{600} = 4200 \]

1. Regn ut og les av grafen Vi skriver inn modellen, regner ut \( P(0) \) og finner punktet der grafen skjærer y-aksen med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) = 3600*0.85^x + 600 s = P(0) A = Skjæring(P, yAkse)

Regningen gir \( {s = 4200}\text{,} \) og grafen skjærer y-aksen i \( {A = (0, 4200)}\text{.} \) GeoGebra skriver selv punktet den fant, inn i kommandoen.

Stigningstallet er endringen i \( P \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( P(4) \) og \( P(14)\text{,} \) og deler forskjellen på de \( 10 \) årene mellom dem.

1. Regn ut de to verdiene Vi setter inn \( {x = 4} \) og \( {x = 14} \) med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{4}) &= 3600 \cdot 0{,}85^{\textcolor{blue}{4}} + 600 \\ &\approx \textcolor{red}{2479{,}22} \\ P(\textcolor{blue}{14}) &= 3600 \cdot 0{,}85^{\textcolor{blue}{14}} + 600 \\ &\approx \textcolor{red}{969{,}97} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet til linja gjennom to punkter er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ a = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]

Med punktene \( (\textcolor{blue}{4}, \textcolor{red}{P(4)}) \) og \( (\textcolor{blue}{14}, \textcolor{red}{P(14)}) \) får vi: \[ a \approx \dfrac{\textcolor{red}{969{,}97} - \textcolor{red}{2479{,}22}}{\textcolor{blue}{14} - \textcolor{blue}{4}} \approx -150{,}9 \]

3. Tolk stigningstallet \( {x = 4} \) er 2014, og \( {x = 14} \) er 2024. Antallet som abonnerte på papirutgaven, gikk altså ned med i gjennomsnitt omtrent \( 151 \) personer per år fra 2014 til 2024.

1. Legg linja gjennom punktene Vi lager de to punktene og legger en rett linje gjennom dem med RegLin, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) = 3600*0.85^x + 600 A = (4, P(4)) B = (14, P(14)) f(x) = RegLin({A, B})

Linja gjennom punktene er: \[ y \approx -150{,}9252x + 3082{,}9232 \]Stigningstallet er altså omtrent \( {-150{,}9}\text{:} \) antallet gikk ned med omtrent \( 151 \) personer per år fra 2014 til 2024.

Begge modellene gir antallet abonnenter år for år. Vi lager en modell for den digitale utgaven og sammenligner de to antallene for hvert år fra 2019.

1. Modeller den digitale utgaven Antallet øker med \( 5{,}5\,\% \) hvert år, så vekstfaktoren er \( {1 + 0{,}055 = \textcolor{red}{1{,}055}}\text{.} \) Etter noen år er antallet startverdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i antall år: \[ \text{verdi} = \textcolor{blue}{\text{startverdi}} \cdot \textcolor{red}{V}^{\text{antall år}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Vekstfaktor.

Startverdien er \( \textcolor{blue}{1000} \) i 2019. Med \( x \) år etter 2010 er 2019 \( {x = 9}\text{,} \) og antall år etter 2019 er \( {x - 9}\text{:} \) \[ D(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{1{,}055}^{x - 9} \]

2. Sammenlign år for år Vi regner ut \( P(x) \) og \( D(x) \) for hvert år fra 2019 med kalkulatoren, med én desimal: \[ \begin{array}{r|r|r|r} \text{År} & x & P(x) & D(x) \\ \hline 2019 & 9 & 1433{,}8 & 1000{,}0 \\ 2020 & 10 & 1308{,}7 & 1055{,}0 \\ 2021 & 11 & 1202{,}4 & 1113{,}0 \\ \textcolor{green}{2022} & 12 & 1112{,}1 & \textcolor{green}{1174{,}2} \end{array} \]Til og med 2021 abonnerte flest på papirutgaven. I \( \textcolor{green}{2022} \) abonnerte for første gang flere på den digitale utgaven.

1. Regn ut verdiene i CAS Vi definerer \( P \) og \( D \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut verdiene for 2021 (\( {x = 11} \)) og 2022 (\( {x = 12} \)) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) := 3600*0.85^x + 600 D(x) := 1000*1.055^(x - 9) P(11) D(11) P(12) D(12)

I 2021 abonnerte omtrent 1202 på papir og 1113 digitalt, og i 2022 omtrent 1112 på papir og 1174 digitalt. Papirutgaven går ned og den digitale opp hvert år, så papirutgaven hadde flest også før 2021, og 2022 er det første året med flere digitale abonnenter.

Vi setter inn strekningen og de to gjennomsnittsfartene i formelen for tidsforskjellen, med mandagen som første gang.

1. Sett inn i formelen Formelen er: \[ t = \left( \dfrac{1}{\textcolor{blue}{v_1}} - \dfrac{1}{\textcolor{red}{v_2}} \right) \cdot \textcolor{green}{s} \cdot 60 \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_1} &= \textcolor{blue}{58} & \textcolor{red}{v_2} &= \textcolor{red}{65} & \textcolor{green}{s} &= \textcolor{green}{18} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} t &= \left( \dfrac{1}{\textcolor{blue}{58}} - \dfrac{1}{\textcolor{red}{65}} \right) \cdot \textcolor{green}{18} \cdot 60 \\ t &= \dfrac{65 - 58}{58 \cdot 65} \cdot 1080 \\ t &= \dfrac{7}{3770} \cdot 1080 \approx 2{,}005 \end{aligned} \]Det er omtrent \( 2 \) minutter.

Vi kaller den laveste farten \( v\text{.} \) Da er den andre farten \( 2v\text{,} \) og formelen gir en likning for \( v\text{.} \) Så finner vi tidene ved å dele strekningen på farten.

1. Sett opp likningen Strekningen er fortsatt \( \textcolor{green}{18} \) km, og tidsforskjellen er \( 20 \) minutter. Med \( {\textcolor{blue}{v_1} = \textcolor{blue}{v}} \) og \( {\textcolor{red}{v_2} = \textcolor{red}{2v}} \) gir formelen: \[ \left( \dfrac{1}{\textcolor{blue}{v}} - \dfrac{1}{\textcolor{red}{2v}} \right) \cdot \textcolor{green}{18} \cdot 60 = 20 \]

2. Løs likningen Siden \( {\dfrac{1}{v} = \dfrac{2}{2v}}\text{,} \) er parentesen \( {\dfrac{2}{2v} - \dfrac{1}{2v} = \dfrac{1}{2v}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2v} \cdot 1080 &= 20 \\ \dfrac{540}{v} &= 20 \\ v &= \dfrac{540}{20} = 27 \end{aligned} \]Den ene dagen kjørte hun altså \( 27\,\text{km/h}\text{,} \) og den andre \( 54\,\text{km/h}\text{.} \)

3. Finn tidene Tid er strekning delt på fart, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT): \[ \begin{aligned} \dfrac{18\,\text{km}}{27\,\text{km/h}} &= \dfrac{2}{3}\,\text{h} = 40\,\text{min} \\ \dfrac{18\,\text{km}}{54\,\text{km/h}} &= \dfrac{1}{3}\,\text{h} = 20\,\text{min} \end{aligned} \]

Kontroll: \( {40 - 20 = 20} \) minutter, som i oppgaven.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen inn i CAS og løser den med Løs, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Så regner vi ut tidene i minutter:

Skriv inn i GeoGebra: Løs((1/v - 1/(2v))*18*60 = 20, v) 18/27*60 18/54*60

CAS gir \( {v = 27}\text{,} \) og kjøreturene tok \( 40 \) og \( 20 \) minutter.

Når antallet øker med like mange hver måned, er utviklingen lineær. Vi finner økningen per måned og startverdien fra de to tellingene.

1. Velg funksjon Når antallet øker med det samme hver måned, er endringen per måned fast, og da er funksjonen lineær: \[ f(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) økningen per måned og \( \textcolor{blue}{b} \) antallet når \( {x = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp.

2. Finn a og b Vi lar \( x \) være antall måneder etter at hun hadde \( \textcolor{blue}{290\,000} \) følgere, så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{290\,000}}\text{.} \) På 8 måneder økte antallet med \( {340\,000 - 290\,000 = 50\,000}\text{,} \) så per måned er økningen: \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{50\,000}{8} = \textcolor{red}{6250} \]

Det gir: \[ f(x) = \textcolor{red}{6250}x + \textcolor{blue}{290\,000} \]

1. Bruk lineær regresjon Vi legger de to tellingene i en liste og bruker RegLin, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 290000), (8, 340000)} f(x) = RegLin(l1)

GeoGebra gir \( {y = 6250x + 290\,000}\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Når antallet øker med samme prosent hver måned, ganges det med den samme vekstfaktoren hver måned, og utviklingen er eksponentiell. Vi finner vekstfaktoren fra de to tellingene.

1. Velg funksjon Når antallet øker med samme prosent hver måned, ganger vi med den samme vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k} \) én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor. Med \( x \) måneder etter at hun hadde \( \textcolor{blue}{290\,000} \) følgere, er startverdien \( \textcolor{blue}{290\,000}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{290\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^x \]

2. Finn vekstfaktoren I dag er \( {x = 8}\text{,} \) og antallet er \( 340\,000\text{.} \) Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{290\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^8 = 340\,000 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{290\,000} \) på begge sider og tar åttende rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^8 &= \dfrac{340\,000}{290\,000} = \dfrac{34}{29} \\ \textcolor{red}{k} &= \left( \dfrac{34}{29} \right)^{1/8} \approx \textcolor{red}{1{,}0201} \end{aligned} \]

Det gir modellen: \[ g(x) \approx \textcolor{blue}{290\,000} \cdot \textcolor{red}{1{,}0201}^x \]Siden \( {\textcolor{red}{1{,}0201} = 1 + 0{,}0201}\text{,} \) øker antallet med omtrent \( 2{,}0\,\% \) hver måned.

1. Bruk eksponentiell regresjon Vi bruker eksponentiell regresjon på de to tellingene, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{,} \) der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 290000), (8, 340000)} g(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {g(x) \approx 290\,000 \cdot 1{,}0201^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Årslønnen er tolv månedslønner pluss tillegget for hvert reiseoppdrag. Vi regner det ut med tre oppdrag for hver bedrift.

1. Regn ut årslønnene Med \( \textcolor{blue}{12} \) månedslønner og \( \textcolor{red}{3} \) reiseoppdrag er årslønnen: \[ \begin{aligned} \text{årslønn} &= \textcolor{blue}{12} \cdot \text{månedslønn} \\ &\quad + \textcolor{red}{3} \cdot \text{tillegg} \end{aligned} \]

For hver bedrift, i kroner: \[ \begin{aligned} \text{A: } & \textcolor{blue}{12} \cdot 32\,000 + \textcolor{red}{3} \cdot 20\,000 \\ &= 384\,000 + 60\,000 = 444\,000 \\ \text{B: } & \textcolor{blue}{12} \cdot 63\,000 + \textcolor{red}{3} \cdot 16\,000 \\ &= 756\,000 + 48\,000 = 804\,000 \\ \text{C: } & \textcolor{blue}{12} \cdot 75\,000 + \textcolor{red}{3} \cdot 8\,000 \\ &= 900\,000 + 24\,000 = 924\,000 \end{aligned} \]

Med \( x \) reiseoppdrag er årslønnen en lineær funksjon av \( x \) i hver bedrift. Vi finner hvor lønnene er like store, og ser hvilken som er størst på hver side.

1. Sett opp lønnene Med \( x \) reiseoppdrag er årslønnen \( 12 \) månedslønner pluss \( x \) tillegg. Vi regner i tusen kroner, så \( {12 \cdot 32\,000} \) kroner er \( 384\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A(x)} &= 384 + 20x \\ \textcolor{red}{B(x)} &= 756 + 16x \\ \textcolor{green}{C(x)} &= 900 + 8x \end{aligned} \]Tillegget per oppdrag er stigningstallet.

2. Finn når lønnene er like \( \textcolor{red}{B} \) og \( \textcolor{green}{C} \) er like når: \[ \begin{aligned} 756 + 16x &= 900 + 8x \\ 8x &= 144 \\ x &= 18 \end{aligned} \]

\( \textcolor{blue}{A} \) og \( \textcolor{red}{B} \) er like når: \[ \begin{aligned} 384 + 20x &= 756 + 16x \\ 4x &= 372 \\ x &= 93 \end{aligned} \]

3. Avgjør hvilken som er best Den med størst tillegg tar igjen de andre. \( \textcolor{blue}{A} \) har større tillegg enn \( \textcolor{red}{B}\text{,} \) så \( \textcolor{blue}{A} \) er mindre enn \( \textcolor{red}{B} \) før 93 oppdrag og større etter. \( \textcolor{red}{B} \) har større tillegg enn \( \textcolor{green}{C}\text{,} \) så \( \textcolor{red}{B} \) er mindre enn \( \textcolor{green}{C} \) før 18 oppdrag og større etter.

Med færre enn 18 oppdrag er altså \( {\textcolor{blue}{A} < \textcolor{red}{B} < \textcolor{green}{C}}\text{,} \) mellom 18 og 93 er \( \textcolor{red}{B} \) størst, og med flere enn 93 er \( {\textcolor{blue}{A} > \textcolor{red}{B} > \textcolor{green}{C}}\text{.} \)

1. Finn skjæringspunktene Vi tegner de tre lønnene i tusen kroner og finner skjæringspunktene med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 20x + 384 B(x) = 16x + 756 C(x) = 8x + 900 S_1 = Skjæring(B, C) S_2 = Skjæring(A, B)

B og C er like ved 18 oppdrag, og A og B ved 93. Til venstre for \( S_1 \) ligger den grønne linja C øverst, mellom \( S_1 \) og \( S_2 \) den røde B, og til høyre for \( S_2 \) den blå A.

Fremmøteprosenten er andelen av de stemmeberettigede som stemte. Resten brukte ikke stemmeretten, så vi finner \( {100\,\% - 62{,}4\,\%} \) av de stemmeberettigede.

Merk – Summen av stemmene: Legger vi sammen antall stemmer i tabellen, får vi \( 2\,668\,317\text{.} \) Det er omtrent \( 41\,000 \) færre enn de \( {0{,}624 \cdot 4\,341\,850 \approx 2\,709\,314} \) som stemte, blant annet fordi blanke og forkastede stemmesedler ikke er stemmer på et parti. De som leverte en slik stemmeseddel, brukte likevel stemmeretten, så vi regner med fremmøteprosenten.

1. Finn andelen som ikke stemte \( 62{,}4\,\% \) stemte, så andelen som ikke stemte, er: \[ 100\,\% - 62{,}4\,\% = \textcolor{blue}{37{,}6}\,\% \]

2. Regn ut antallet Prosent av et tall finner vi med: \[ \textcolor{blue}{a}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{\text{tall}} = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{100} \cdot \textcolor{red}{\text{tall}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{37{,}6}} \) og tallet \( \textcolor{red}{4\,341\,850}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{blue}{37{,}6}}{100} \cdot \textcolor{red}{4\,341\,850} \approx 1\,632\,536 \]

Endringen i tabellen er i prosentpoeng, altså forskjellen mellom to prosenttall. Prosentvis framgang er endringen delt på oppslutningen ved forrige valg, og den finner vi for hvert parti som gikk fram.

1. Forklar hvorfor Tore tar feil Høyre gikk fram med \( 5{,}8 \) prosentpoeng, fra \( {25{,}9 - 5{,}8 = 20{,}1\,\%} \) til \( 25{,}9\,\%\text{.} \) Det er den største økningen i prosentpoeng, men ikke nødvendigvis i prosent: et parti som var mindre ved forrige valg, kan ha økt med en større del av det det hadde.

2. Regn ut prosentvis framgang Hvor mange prosent noe øker med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Den gamle oppslutningen er den nye minus endringen. For partiene som gikk fram: \[ \begin{aligned} \text{Høyre: } & \dfrac{\textcolor{red}{5{,}8}}{\textcolor{blue}{20{,}1}} \cdot 100\,\% \approx 28{,}9\,\% \\ \text{FrP: } & \dfrac{\textcolor{red}{3{,}1}}{\textcolor{blue}{8{,}2}} \cdot 100\,\% \approx 37{,}8\,\% \\ \text{SV: } & \dfrac{\textcolor{red}{0{,}8}}{\textcolor{blue}{6{,}1}} \cdot 100\,\% \approx 13{,}1\,\% \\ \text{Venstre: } & \dfrac{\textcolor{red}{1{,}1}}{\textcolor{blue}{3{,}9}} \cdot 100\,\% \approx 28{,}2\,\% \end{aligned} \]«Andre» er ikke ett parti, og har uansett lavere framgang: \( {\dfrac{1{,}5}{8{,}0} \cdot 100\,\% = 18{,}75\,\%}\text{.} \)

Fremskrittspartiet (FrP) har altså størst prosentvis framgang.

Kvadratene gjør platen kortere og smalere, og sidekantene som brettes opp, blir høyden. Vi regner i desimeter, fordi \( 1\,\text{dm}^3 \) er \( 1 \) liter.

1. Finn målene på kassen Det går \( 100\,\text{mm} \) på \( 1\,\text{dm}\text{,} \) så platen er \( 12\,\text{dm} \) lang og \( 8\,\text{dm} \) bred, og kvadratene har side \( 1\,\text{dm}\text{.} \) Et kvadrat skjæres bort i hver ende, så lengden og bredden blir \( {2 \cdot 1\,\text{dm}} \) kortere: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{l} &= 12\,\text{dm} - 2\,\text{dm} = \textcolor{blue}{10\,\text{dm}} \\ \textcolor{red}{b} &= 8\,\text{dm} - 2\,\text{dm} = \textcolor{red}{6\,\text{dm}} \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{1\,\text{dm}} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Volumet av en kasse er lengde ganger bredde ganger høyde: \[ V = \textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{h} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Volum og Overflate.

Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg, og \( {\text{dm} \cdot \text{dm} \cdot \text{dm} = \text{dm}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{10\,\text{dm}} \cdot \textcolor{red}{6\,\text{dm}} \cdot \textcolor{green}{1\,\text{dm}} \\ V &= 60\,\text{dm}^3 = 60\,\text{L} \end{aligned} \]

Vi regner ut volumet på samme måte som i a).

Vi lager en tabell der sidene i kvadratene øker med \( 0{,}5\,\text{dm}\text{,} \) og regner ut volumet for hver av dem. Der volumet er størst i tabellen, ser vi omtrent hvor lange sidene bør være.

1. Sett opp volumet Med kvadrater med side \( \textcolor{green}{x} \) dm blir kassen \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) dm lang, \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) dm bred og \( \textcolor{green}{x} \) dm høy. Volumet i liter er lengde ganger bredde ganger høyde, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \cdot \textcolor{green}{x} \]

2. Lag tabellen For \( {\textcolor{green}{x} = 1{,}5} \) er kassen \( 9 \) dm lang og \( 5 \) dm bred, så \( {V = 9 \cdot 5 \cdot 1{,}5 = 67{,}5}\text{.} \) Slik regner vi ut hver rad: \[ \begin{array}{r|r|r|r} \textcolor{green}{x} & \textcolor{blue}{12 - 2x} & \textcolor{red}{8 - 2x} & V \\ \hline 0{,}5 & 11 & 7 & 38{,}5 \\ 1{,}0 & 10 & 6 & 60{,}0 \\ \underline{1{,}5} & 9 & 5 & \underline{67{,}5} \\ 2{,}0 & 8 & 4 & 64{,}0 \\ 2{,}5 & 7 & 3 & 52{,}5 \\ 3{,}0 & 6 & 2 & 36{,}0 \\ 3{,}5 & 5 & 1 & 17{,}5 \end{array} \]Volumet øker fram til \( {x = 1{,}5} \) og minker etterpå, så det største volumet får vi når sidene i kvadratene er omtrent \( {1{,}5\,\text{dm} = 150\,\text{mm}}\text{.} \)

Vi bruker uttrykket for volumet og tabellen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Alle de tre målene på kassen avhenger av sidene \( x \) i kvadratene. Volumet som funksjon av \( x \) er uttrykket fra b), og grafen tegner vi fra tabellen eller i GeoGebra.

1. Sett opp funksjonsuttrykket Med kvadrater med side \( \textcolor{green}{x} \) dm er kassen \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) dm lang, \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) dm bred og \( \textcolor{green}{x} \) dm høy. Volumet i liter er: \[ V(x) = \textcolor{green}{x} \cdot (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \]

2. Tegn grafen Vi setter av punktene fra tabellen i b) og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Grafen starter i \( 0\text{,} \) stiger til en topp nær \( {x = 1{,}5} \) og synker til \( 0 \) igjen ved \( {x = 4}\text{.} \)

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen med en start og en slutt for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x), 0 < x < 4

Grafen viser volumet for alle sidelengder mellom \( 0 \) og \( 4 \) dm, med toppen mellom \( {x = 1} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

Vi bruker funksjonen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leter etter toppunktet på grafen til \( V\text{.} \) Med kalkulator lager vi finere tabeller rundt \( {x = 1{,}5}\text{,} \) og med GeoGebra finner vi toppunktet direkte.

1. Lag en finere tabell I c) fant vi: \[ V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \]I b) var volumet størst ved \( {x = 1{,}5}\text{.} \) Vi regner ut \( V(x) \) for hver tiendedel rundt \( 1{,}5\text{:} \) \[ \begin{array}{r|r} x & V(x) \\ \hline 1{,}4 & 66{,}976 \\ 1{,}5 & 67{,}500 \\ \textcolor{red}{1{,}6} & \textcolor{red}{67{,}584} \\ 1{,}7 & 67{,}252 \end{array} \]Toppunktet ligger altså mellom \( 1{,}5 \) og \( 1{,}7\text{.} \)

2. Lag en enda finere tabell Vi regner ut \( V(x) \) for hver hundredel fra \( 1{,}55 \) og ser hvor volumet snur: \[ \begin{array}{r|r} x & V(x) \\ \hline 1{,}55 & 67{,}5955 \\ 1{,}56 & 67{,}6017 \\ \textcolor{red}{1{,}57} & \textcolor{red}{67{,}6036} \\ 1{,}58 & 67{,}6012 \\ 1{,}59 & 67{,}5947 \end{array} \]Volumet er størst ved omtrent \( {\textcolor{red}{x = 1{,}57}}\text{,} \) altså kvadrater med sider på omtrent \( 157\,\text{mm}\text{.} \) Da er volumet omtrent \( \textcolor{red}{67{,}6} \) liter.

1. Finn toppunktet Vi finner toppunktet med Ekstremalpunkt mellom \( 0 \) og \( 4\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x), 0 < x < 4 T = Ekstremalpunkt(V, 0, 4)

Toppunktet er \( {T \approx (1{,}5695,\ 67{,}6036)}\text{.} \) Sidene i kvadratene skal være omtrent \( 1{,}57 \) dm, altså \( 157\,\text{mm}\text{,} \) og volumet blir omtrent \( 67{,}6 \) liter.

Vi bruker funksjonen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gir bare mening for de sidene i kvadratene som gir en kasse. Vi ser hvilke verdier av \( x \) som gir en positiv høyde, lengde og bredde.

1. Finn grensene Gyldighetsområdet er de verdiene av \( x \) der modellen beskriver kassene, som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, der sidelengdene ikke kan være negative. I c) fant vi: \[ V(x) = \textcolor{green}{x} \cdot (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \]

Høyden \( \textcolor{green}{x} \) må være større enn \( 0\text{.} \) Bredden \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) må også være større enn \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{8 - 2x} &> 0 \\ 8 &> 2x \\ x &< 4 \end{aligned} \]Da er også lengden \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) positiv.

For \( {x = 0} \) og \( {x = 4} \) er volumet \( 0\text{,} \) og da blir det ingen kasse. Ved \( {x = 4}\text{,} \) altså \( 400\,\text{mm}\text{,} \) skjæres hele bredden bort.