Eksamensoppgaver etter tema

Med tilbud 1 får Elise en prosent av salget, og med tilbud 2 et fast beløp pluss et tillegg per avis. Vi finner antallet aviser som gir like stor lønn, og sammenligner på hver side.

1. Sett opp lønna med hvert tilbud Vi kaller antall aviser Elise selger en lørdag for \( x\text{.} \) Da selger hun for \( 49x \) kroner. For prosent av et tall gjelder: \[ a\,\% \text{ av tall} = \dfrac{a}{100} \cdot \text{tall} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Lønna i kroner med de to tilbudene blir da: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{L_1(x)} &= \dfrac{35}{100} \cdot 49x = \textcolor{blue}{17{,}15x} \\ \textcolor{red}{L_2(x)} &= \textcolor{red}{150 + 10x} \end{aligned} \]

2. Finn når lønna er like stor Vi setter \( {\textcolor{blue}{L_1(x)} = \textcolor{red}{L_2(x)}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{17{,}15x} = \textcolor{red}{150 + 10x} \]

Vi trekker fra \( 10x \) på begge sider og deler med \( 7{,}15\text{:} \) \[ \begin{aligned} 7{,}15x &= 150 \\ x &\approx 20{,}98 \end{aligned} \]

3. Sammenlign på hver side Vi regner ut lønna for \( 20 \) og \( 21 \) aviser: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{L_1(20)} &= 343 & \textcolor{red}{L_2(20)} &= 350 \\ \textcolor{blue}{L_1(21)} &= 360{,}15 & \textcolor{red}{L_2(21)} &= 360 \end{aligned} \]Med tilbud 1 får Elise \( 17{,}15 \) kroner per avis, og med tilbud 2 bare \( 10\text{.} \) Fra \( 21 \) aviser og oppover gir derfor tilbud 1 mest, og med \( 20 \) eller færre gir tilbud 2 mest.

1. Finn skjæringspunktet mellom lønnene Vi skriver inn begge lønnene og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: L_1(x) = 0.35*49x L_2(x) = 150 + 10x S = Skjæring(L_1, L_2)

Skjæringspunktet er \( {S \approx (20{,}979,\ 359{,}7902)}\text{.} \) Til venstre for \( S \) ligger den røde linja, \( L_2\text{,} \) øverst, og til høyre den blå, \( L_1\text{.} \) Med \( 20 \) aviser eller færre gir altså tilbud 2 mest, og fra \( 21 \) aviser og oppover tilbud 1.

«Spar \( 49\,\% \)» betyr at vi betaler \( 51\,\% \) av prisen uten rabatt. Vi går baklengs fra tilbudsprisen og finner prisen for én avis.

1. Finn vekstfaktorene Når prisen settes ned med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ \textcolor{blue}{V} = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Med de fire rabattene får vi: \[ \begin{aligned} 1 - 0{,}49 &= \textcolor{blue}{0{,}51} \\ 1 - 0{,}24 &= \textcolor{blue}{0{,}76} \\ 1 - 0{,}32 &= \textcolor{blue}{0{,}68} \\ 1 - 0{,}45 &= \textcolor{blue}{0{,}55} \end{aligned} \]

2. Finn prisen for én avis Tilbudsprisen er prisen uten rabatt ganget med vekstfaktoren: \[ \text{tilbudspris} = \text{pris uten rabatt} \cdot \textcolor{blue}{V} \]

Vi går baklengs og deler tilbudsprisen på \( \textcolor{blue}{V}\text{,} \) og så på antall aviser. Det gir prisen for én avis uten rabatt, i kroner: \[ \begin{aligned} 4 \text{ aviser: } & \dfrac{99}{\textcolor{blue}{0{,}51} \cdot 4} \approx 48{,}53 \\ 12 \text{ aviser: } & \dfrac{449}{\textcolor{blue}{0{,}76} \cdot 12} \approx 49{,}23 \\ 24 \text{ aviser: } & \dfrac{799}{\textcolor{blue}{0{,}68} \cdot 24} \approx 48{,}96 \\ 52 \text{ aviser: } & \dfrac{1399}{\textcolor{blue}{0{,}55} \cdot 52} \approx 48{,}92 \end{aligned} \]Alle fire gir omtrent \( 49 \) kroner. De er ikke helt like, fordi prosentene på nettsiden er avrundet.

Prisen er oppgitt per meter bord. Vi finner hvor stort areal én meter bord dekker, og deler prisen på det arealet.

1. Gjør bredden om til meter Det går \( 1000\,\text{mm} \) på \( 1\,\text{m}\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Måleenheter. Vi deler derfor med \( 1000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 145\,\text{mm} &= \textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}} \\ 95\,\text{mm} &= \textcolor{red}{0{,}095\,\text{m}} \end{aligned} \]

2. Finn arealet til én meter bord Én meter bord er et rektangel, og arealet er lengde ganger bredde: \[ A = l \cdot b \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Areal og Omkrets.

Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg, og \( {\text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A_1 &= 1\,\text{m} \cdot \textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}} = \textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}^2} \\ A_2 &= 1\,\text{m} \cdot \textcolor{red}{0{,}095\,\text{m}} = \textcolor{red}{0{,}095\,\text{m}^2} \end{aligned} \]

3. Finn prisen per kvadratmeter Én meter av det brede bordet koster \( 67{,}90 \) kroner og dekker \( \textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}^2}\text{.} \) Vi deler prisen på arealet, og gjør det samme med det smale bordet: \[ \begin{aligned} \dfrac{67{,}90\,\text{kr}}{\textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}^2}} &\approx 468{,}28\,\text{kr/m}^2 \\ \dfrac{49{,}90\,\text{kr}}{\textcolor{red}{0{,}095\,\text{m}^2}} &\approx 525{,}26\,\text{kr/m}^2 \end{aligned} \]Her ser vi bort fra mellomrommene mellom bordene.

Vi må anta hvor mange skoledager det er i en måned, og hvor lenge hver pakke varer. Så sammenligner vi hva bagettene koster i kantina og i butikken.

1. Gjør antakelser Vi antar at en måned har \( 20 \) skoledager, fem dager i uka i fire uker. Sofie trenger da \( 20 \) bagetter, og en pakke har to bagetter, så hun trenger \( 10 \) pakker.

Vi antar at en pakke smør og en pakke ost holder hele måneden, at en pakke skinke holder til fem bagetter, at en tomat holder til to bagetter, og at en pakke salat holder til ti bagetter. Da trenger hun \( 4 \) pakker skinke, \( 10 \) tomater og \( 2 \) pakker salat.

2. Regn ut hva kantina koster \( 20 \) bagetter til \( 65 \) kroner koster: \[ 20 \cdot 65 = \textcolor{blue}{1300} \text{ kroner} \]

3. Regn ut hva butikken koster Vi regner ut hver vare for seg, i kroner: \[ \begin{aligned} \text{Bagetter: } & 10 \cdot 19{,}90 = 199{,}00 \\ \text{Smør: } & 1 \cdot 36{,}90 = 36{,}90 \\ \text{Ost: } & 1 \cdot 83{,}00 = 83{,}00 \\ \text{Skinke: } & 4 \cdot 32{,}30 = 129{,}20 \\ \text{Tomat: } & 10 \cdot 4{,}29 = 42{,}90 \\ \text{Salat: } & 2 \cdot 20{,}00 = 40{,}00 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi i kroner: \[ \begin{aligned} &199{,}00 + 36{,}90 + 83{,}00 \\ &{}+ 129{,}20 + 42{,}90 + 40{,}00 \\ &{}= \textcolor{red}{531{,}00} \end{aligned} \]

4. Finn hvor mye hun sparer Forskjellen er det Sofie sparer på en måned: \[ \textcolor{blue}{1300} - \textcolor{red}{531} = 769 \text{ kroner} \]Andre antakelser er også riktige og gir et annet svar, for eksempel \( 21 \) skoledager eller mer pålegg på hver bagett.

Prisene starter på ulike beløp, så vi kan ikke sammenligne økningene i kroner. Vi finner hvor mange prosent hver pris øker med, ved å dele endringen på den gamle prisen.

1. Skriv opp formelen Formelen for prosentvis endring forteller oss at: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

2. Regn ut for hver vare \( A\text{:} \) Prisen øker med \( {180 - 120 = \textcolor{red}{60}} \) kroner fra \( \textcolor{blue}{120} \) kroner: \[ \dfrac{\textcolor{red}{60}}{\textcolor{blue}{120}} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{2} \cdot 100\,\% = \underline{50\,\%} \]

\( B\text{:} \) Prisen øker med \( {26 - 16 = \textcolor{red}{10}} \) kroner fra \( \textcolor{blue}{16} \) kroner: \[ \dfrac{\textcolor{red}{10}}{\textcolor{blue}{16}} \cdot 100\,\% = \dfrac{5}{8} \cdot 100\,\% = \underline{62{,}5\,\%} \]Her er \( {\dfrac{5}{8} = 0{,}625}\text{,} \) fordi \( {\dfrac{1}{8} = 0{,}125}\text{.} \)

Siden \( {62{,}5\,\% > 50\,\%}\text{,} \) øker prisen på B prosentvis mest, selv om A øker mest i kroner.

Før vi starter, må vi vite hva proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser er. Så ser vi i hver situasjon om forholdet eller produktet mellom størrelsene er fast.

1. Skriv opp hva det betyr To størrelser \( x \) og \( y \) er proporsjonale når forholdet mellom dem er fast, og omvendt proporsjonale når produktet er fast. Med et fast tall \( \textcolor{blue}{k} \) er: \[ \begin{aligned} \text{Proporsjonale: } & y = \textcolor{blue}{k} \cdot x \\ \text{Omvendt proporsjonale: } & x \cdot y = \textcolor{blue}{k} \end{aligned} \]Dobler vi \( x\text{,} \) blir \( y \) dobbelt så stor når de er proporsjonale, og halvparten så stor når de er omvendt proporsjonale.

2. Avgjør situasjon A Leien er \( \textcolor{blue}{2200} \) kroner uansett hvor mange som betaler. Antallet personer ganger prisen per person er derfor alltid det samme: \[ \text{antall} \cdot \text{pris} = \textcolor{blue}{2200} \]Dobbelt så mange personer gir halv pris, så de er omvendt proporsjonale størrelser.

3. Avgjør situasjon B Vi kaller prisen for én flaske \( p\text{.} \) Tre flasker koster like mye som to: \[ \begin{aligned} 1 \text{ flaske: } & p \\ 2 \text{ flasker: } & 2p \\ 3 \text{ flasker: } & \textcolor{red}{2p} \end{aligned} \]Prisen per flaske er ikke fast, så de er ikke proporsjonale. Flere flasker gir heller aldri lavere pris, så de er ikke omvendt proporsjonale. De er verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale størrelser.

4. Avgjør situasjon C Hver porsjon trenger like mye mel. Med \( \textcolor{blue}{k} \) mel per porsjon er: \[ \text{mel} = \textcolor{blue}{k} \cdot \text{porsjoner} \]Dobbelt så mange porsjoner krever dobbelt så mye mel, så de er proporsjonale størrelser.