Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Tema

prosent

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

25 oppgaver i 1P om prosent · viser 21–25

1P høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

Ni av ti nordmenn bruker sosiale medier

88\,\%

av nordmenn bruker sosiale medier.

De siste fem årene har antall nordmenn som bruker sosiale medier, økt med 8 prosentpoeng.

Opplysningene ovenfor er hentet fra ssb.no.

Vil du si at overskriften samsvarer med første setning i teksten? Begrunn svaret ditt.

Hvor mange prosent tilsvarer økningen på 8 prosentpoeng?

Vis løsning

Svar

Ni av ti er

90\,\%\text{,}

og andelen økte fra

80\,\%

til

88\,\%\text{:}

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Samsvarer omtrent}}} \\ &\underline{\underline{\text{Økningen er } 10\,\%}} \end{aligned}

«Ni av ti» er en brøk vi kan skrive som prosent og sammenligne med \( 88\,\%\text{.} \) Så finner vi hvor mange prosent økningen er av andelen for fem år siden.

1. Sammenlign overskriften med teksten «Ni av ti» er: \[ \dfrac{9}{10} = \dfrac{90}{100} = \textcolor{green}{90\,\%} \]

Første setning sier \( 88\,\%\text{,} \) altså \( 8{,}8 \) av ti nordmenn. Det er \( 2 \) prosentpoeng mindre enn \( \textcolor{green}{90\,\%}\text{,} \) men avrundet til et helt antall er \( 8{,}8 \) av ti det samme som ni av ti. Overskriften samsvarer derfor omtrent med første setning.

Det er også riktig å svare nei, når begrunnelsen er at ni av ti er \( 90\,\% \) og ikke \( 88\,\%\text{.} \)

2. Finn økningen i prosent Hvor mange prosent noe har økt, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

For fem år siden var andelen \( \textcolor{red}{8} \) prosentpoeng lavere, altså \( {88 - \textcolor{red}{8} = \textcolor{blue}{80}} \) prosent. Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{8}}{\textcolor{blue}{80}} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{10} \cdot 100\,\% = 10\,\% \]

1P høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

På en nettside har Dennis funnet teksten nedenfor.

Verdifallet utgjør bilens største kostnad. Verdifallet er i de aller fleste tilfellene størst det første året.

For en ny bil kan du vente et verdifall på

20\,\%

det første året. Deretter

14\,\%

av bruktprisen det andre året,

13\,\%

det tredje året, osv., synkende til

10\,\%

det sjette året. Fra og med det sjette året må du regne med et verdifall på

10\,\%

årlig.

Dennis vil kjøpe en ny bil som koster

490\,000

kroner.

Sett opp et regnestykke som vil gi bilens verdi etter 2 år.

Vis løsning

Svar

Bilens verdi i kroner etter 2 år:

\underline{\underline{490\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}86}}

Verdien faller hvert år med en prosent av det bilen da er verdt, så vi ganger med en vekstfaktor for hvert år. De to årene har ulike vekstfaktorer.

1. Finn vekstfaktorene Når verdien faller med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Det første året faller verdien med \( 20\,\%\text{,} \) og det andre året med \( 14\,\% \) av bruktprisen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{V_1} &= 1 - 0{,}20 = \textcolor{blue}{0{,}80} \\ \textcolor{red}{V_2} &= 1 - 0{,}14 = \textcolor{red}{0{,}86} \end{aligned} \]

2. Gang med vekstfaktorene Etter det første året er verdien \( {490\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}} \) kroner. Det er bruktprisen det andre året, og den ganger vi med \( \textcolor{red}{0{,}86}\text{:} \) \[ 490\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} \cdot \textcolor{red}{0{,}86} \]Regner vi det ut, blir verdien \( {392\,000 \cdot 0{,}86 = 337\,120} \) kroner.

1P høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

Sofie har et rektangelformet uteområde. Hun vil endre på dette området ved å øke lengden med

10\,\%

og redusere bredden med

20\,\%\text{.}

Hvor stor vil den den prosentvise endringen av arealet bli?

Vis løsning

Svar

Siden

{1{,}10 \cdot 0{,}80 = 0{,}88}\text{,}

blir arealet:

\underline{\underline{12\,\% \text{ mindre}}}

Arealet er lengde ganger bredde, og begge endres med en prosent. Vi ganger derfor vekstfaktorene sammen.

Metode: For hånd

1. Finn vekstfaktorene Vekstfaktoren er det en størrelse ganges med: \[ \begin{aligned} \text{Økning: } V &= 1 + \dfrac{p}{100} \\ \text{Nedgang: } V &= 1 - \dfrac{p}{100} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Lengden øker med \( 10\,\% \) og bredden minker med \( 20\,\%\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{V_l} &= 1 + 0{,}10 = \textcolor{blue}{1{,}10} \\ \textcolor{red}{V_b} &= 1 - 0{,}20 = \textcolor{red}{0{,}80} \end{aligned} \]

2. Finn det nye arealet Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde, \( {A = l \cdot b}\text{,} \) som i videoen Areal og Omkrets. Med den nye lengden og den nye bredden blir arealet: \[ \begin{aligned} A_{\text{ny}} &= \textcolor{blue}{1{,}10} \cdot l \cdot \textcolor{red}{0{,}80} \cdot b \\ A_{\text{ny}} &= 0{,}88 \cdot l \cdot b = 0{,}88 \cdot A \end{aligned} \]Arealet blir \( 88\,\% \) av det det var. Siden \( {0{,}88 = 1 - 0{,}12}\text{,} \) er det \( 12\,\% \) mindre.

1P høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

Opplysningene nedenfor er hentet fra nrk.no

• Vi spiser omtrent 500 millioner pølser i Norge hvert år. • 13 millioner av disse pølsene spiser vi 17. mai. • Om vi hadde lagt alle pølsene nordmenn spiser i løpet av ett år, etter hverandre, ville vi kommet to og en halv gang rundt jorda.

Oppgave 3a)

Hvor mange pølser spiser vi i gjennomsnitt hvert sekund i Norge?

Vis løsning

Svar

I gjennomsnitt, avrundet til et helt antall:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 16 \text{ pølser per sekund}}}

Vi finner hvor mange sekunder det er i et år, og fordeler de 500 millioner pølsene likt på dem.

Metode: For hånd

1. Finn antall sekunder i et år Et år har 365 døgn, et døgn har 24 timer, en time 60 minutter og et minutt 60 sekunder: \[ 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = \textcolor{blue}{31\,536\,000} \]

2. Del pølsene på sekundene Vi deler de \( \textcolor{red}{500\,000\,000} \) pølsene på sekundene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{500\,000\,000}}{\textcolor{blue}{31\,536\,000}} \approx 15{,}85 \]

Oppgave 3b)

Hvor mange prosent av pølsene spiser vi 17. mai?

Vis løsning

Svar

Av pølsene vi spiser i løpet av et år, spiser vi 17. mai:

\underline{\underline{2{,}6\,\%}}

Vi finner hvor stor del de 13 millionene er av de 500 millionene, og skriver delen som prosent.

Metode: For hånd

1. Del på alle pølsene Formelen for del av hel forteller oss at: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{del}}}{\textcolor{blue}{\text{hel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Her er delen \( \textcolor{red}{13} \) millioner og helheten \( \textcolor{blue}{500} \) millioner: \[ \dfrac{\textcolor{red}{13}}{\textcolor{blue}{500}} \cdot 100\,\% = 2{,}6\,\% \]

Jordens radius er

6378\,\text{km}

ved ekvator.

Oppgave 3c)

Omtrent hvor lang har NRK regnet at en pølse er?

Vis løsning

Svar

NRK har regnet med at en pølse er omtrent:

\underline{\underline{20\,\text{cm}}}

Pølsene lagt etter hverandre er to og en halv gang omkretsen av jorda. Vi deler den lengden på antall pølser.

Metode: For hånd

1. Finn omkretsen av jorda Omkretsen av en sirkel med radius \( r \) er: \[ O = 2\pi r \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Volum og Overflate, der omkretsen til en sirkel er bredden på sideflaten til en sylinder.

Med \( {r = 6378\,\text{km}} \) er omkretsen ved ekvator: \[ O = 2\pi \cdot 6378\,\text{km} \approx \textcolor{blue}{40\,074\,\text{km}} \]

2. Finn lengden av én pølse To og en halv gang rundt jorda er: \[ 2{,}5 \cdot \textcolor{blue}{40\,074\,\text{km}} \approx \textcolor{red}{100\,185\,\text{km}} \]

Det er \( \textcolor{red}{100\,185\,000\,\text{m}}\text{,} \) og de 500 millioner pølsene deler den lengden: \[ \dfrac{\textcolor{red}{100\,185\,000\,\text{m}}}{500\,000\,000} \approx 0{,}20\,\text{m} = 20\,\text{cm} \]

1P høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

I denne oppgaven skal du arbeide med linjestykker som settes sammen til en figur.

Skissen nedenfor viser de 16 første linjestykkene i figuren. Lengden av et linjestykke er alltid

90\,\%

av lengden av det forrige linjestykket. Det første linjestykket er

100\,\text{cm}

langt.

Oppgave 6a)

Bestem summen av lengdene av de 8 første linjestykkene i figuren.

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal er summen av de 8 første lengdene:

\underline{\underline{569{,}5\,\text{cm}}}

Hvert linjestykke er \( 90\,\% \) av det forrige, så vi ganger med \( 0{,}9 \) for å finne det neste. Så legger vi sammen de 8 første lengdene.

Metode: For hånd

1. Finn lengdene Når noe blir \( 90\,\% \) av det det var, minker det med \( 10\,\%\text{,} \) og vekstfaktoren er \( {1 - 0{,}10 = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor.

Vi starter med \( 100\,\text{cm} \) og ganger med \( \textcolor{red}{0{,}9} \) for hvert nye linjestykke: \[ \begin{array}{c|r} \text{Nr.} & \text{Lengde (cm)} \\ \hline 1 & 100 \\ 2 & 90 \\ 3 & 81 \\ 4 & 72{,}9 \\ 5 & 65{,}61 \\ 6 & 59{,}049 \\ 7 & 53{,}1441 \\ 8 & 47{,}82969 \end{array} \]

2. Legg sammen lengdene Med kalkulatoren får vi, i cm: \[ \begin{aligned} &100 + 90 + 81 + 72{,}9 + 65{,}61 \\ &{}+ 59{,}049 + 53{,}1441 + 47{,}82969 \\ &{}= 569{,}53279 \end{aligned} \]

Oppgave 6b)

Lag et program som du kan bruke til å bestemme summen av lengdene av linjestykkene dersom det er mange linjestykker i figuren.

Hvor mange linjestykker må vi ha med i figuren dersom summen av lengdene skal bli minst 9 meter?

Vis løsning

Svar

Programmet legger til ett linjestykke om gangen og ganger lengden med \( 0{,}9 \) før det neste. Løkka fortsetter til summen er minst \( {9\,\text{m} = 900\,\text{cm}}\text{,} \) og så skriver programmet ut antallet og summen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, linje for linje.

Metode: Med Python

1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 til 3 setter lengden av det første linjestykket til \( 100\,\text{cm}\text{,} \) og summen og antallet til \( 0\text{.} \)

Linje 5 gjentar løkka så lenge summen er under \( 900\,\text{cm}\text{,} \) og vi kan gå gjennom den linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. I hver runde legger linje 6 lengden til summen, linje 7 finner lengden av det neste linjestykket og linje 8 teller linjestykket: \[ \begin{aligned} \text{summen} &= \text{summen} + \text{lengde} \\ \text{lengde} &= \textcolor{red}{0{,}9} \cdot \text{lengde} \end{aligned} \]

Vil vi ha summen av et bestemt antall linjestykker, for eksempel 50, bytter vi betingelsen i linje 5 med \( {\texttt{antall < 50}}\text{.} \)

2. Les av utskriften Linje 10 og 11 skriver ut antallet og summen. Løkka stopper første gang summen er minst \( 900\,\text{cm}\text{,} \) og det skjer etter \( 22 \) linjestykker, med summen \( 901{,}5\,\text{cm}\text{.} \) Med \( 21 \) linjestykker var summen altså under \( 900\,\text{cm}\text{,} \) så vi må ha med \( 22 \) linjestykker.

Oppgave 6c)

Hvor mange prosent øker summen av lengdene dersom vi øker antall linjestykker i figuren fra 50 til 100?

Vis løsning

Svar

Summen øker fra omtrent

994{,}85\,\text{cm}

til omtrent

999{,}97\,\text{cm}\text{,}

altså med omtrent:

\underline{\underline{0{,}52\,\%}}

Vi bruker programmet fra b).

Vi bruker programmet fra b) til å finne summen av 50 og av 100 linjestykker. Så finner vi hvor mange prosent den største summen er større enn den minste.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne hvor mange prosent noe øker med, som i steg 2.

Metode: Med Python

1. Finn de to summene Vi bytter betingelsen i linje 5 i programmet fra b) med \( {\texttt{antall < 50}}\text{:} \)

Med \( {\texttt{antall < 100}} \) i linje 5 skriver programmet ut summen \( 999{,}9734386011127\text{.} \) Summene er altså, i cm: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{S_{50}} &\approx \textcolor{blue}{994{,}846} \\ \textcolor{red}{S_{100}} &\approx \textcolor{red}{999{,}973} \end{aligned} \]

2. Finn økningen i prosent Hvor mange prosent noe øker med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Endringen er \( {\textcolor{red}{999{,}973} - \textcolor{blue}{994{,}846} = 5{,}127}\text{,} \) og den gamle summen er \( \textcolor{blue}{994{,}846}\text{:} \) \[ \dfrac{5{,}127}{\textcolor{blue}{994{,}846}} \cdot 100\,\% \approx 0{,}52\,\% \]Summen øker bare litt, fordi linjestykke nummer 51 til 100 er svært korte.

Oppgavene

Oppgave 2

Svar

Oppgave 5

Svar

Oppgave 2

Svar

Oppgave 3

Oppgave 3a)

Svar

Oppgave 3b)

Svar

Oppgave 3c)

Svar

Oppgave 6

Oppgave 6a)

Svar

Oppgave 6b)

Svar

Oppgave 6c)

Svar