Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

proporsjonalitet

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

12 oppgaver i 1P om proporsjonalitet · viser 11–12

Oppgavene

1P høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

Ohms lov sier at strømmen (I) (I) gjennom en metallisk leder med konstant temperatur er proporsjonal med spenningen (U) (U) og omvendt proporsjonal med motstanden (R) (R) i lederen.
Argumenter for om hver av påstandene er sann eller usann.
1) Hvis vi øker spenningen, vil strømmen også øke. 2) Hvis vi øker motstanden, vil strømmen også øke.
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Med samme motstand øker strømmen med spenningen, og med samme spenning minker strømmen når motstanden øker:
Pa˚stand 1 er sann‾‾Pa˚stand 2 er usann‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Påstand 1 er sann}}} \\ &\underline{\underline{\text{Påstand 2 er usann}}} \end{aligned}
Før vi starter, må vi vite hva proporsjonal og omvendt proporsjonal betyr. Så ser vi hva som skjer med strømmen når den ene størrelsen øker og den andre er den samme.
1. Skriv opp hva det betyr To størrelser \( x \) og \( y \) er proporsjonale når forholdet mellom dem er fast, og omvendt proporsjonale når produktet er fast. Med et fast tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \text{Proporsjonale: } & y = k \cdot x \\ \text{Omvendt proporsjonale: } & x \cdot y = k \end{aligned} \]
2. Avgjør påstand 1 Strømmen er proporsjonal med spenningen. Med den samme motstanden er altså: \[ \textcolor{red}{I} = k \cdot \textcolor{blue}{U} \]der \( k \) er et fast, positivt tall. Dobler vi spenningen \( \textcolor{blue}{U}\text{,} \) dobles også strømmen \( \textcolor{red}{I}\text{,} \) og øker vi spenningen, øker strømmen. Påstand 1 er derfor sann.
3. Avgjør påstand 2 Strømmen er omvendt proporsjonal med motstanden. Med den samme spenningen er altså: \[ \textcolor{red}{I} \cdot \textcolor{green}{R} = k \]Produktet er det samme hele tiden. Øker motstanden \( \textcolor{green}{R}\text{,} \) må strømmen \( \textcolor{red}{I} \) derfor bli mindre. Dobler vi motstanden, blir strømmen halvparten så stor. Påstand 2 er derfor usann.

1P høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

Hunder utvikler seg raskere enn mennesker. Når en hund er 1 år gammel, tilsvarer det 16 menneskeår. Se tabellen nedenfor.
Sa˚ gammel erhunden dinSma˚/mellom-storehunderStorehunderVeldigstorehunderTo ma˚neder2 a˚r2 a˚r2 a˚rFire ma˚neder6 a˚r6 a˚r6 a˚rSeks ma˚neder10 a˚r10 a˚r10 a˚rA˚tte ma˚neder12 a˚r12 a˚r12 a˚rTi ma˚neder14 a˚r14 a˚r14 a˚r1 a˚r16 a˚r16 a˚r16 a˚r1,5 a˚r20 a˚r20 a˚r20 a˚r2 a˚r24 a˚r24 a˚r24 a˚r3 a˚r29 a˚r30 a˚r31 a˚r4 a˚r34 a˚r36 a˚r38 a˚r5 a˚r39 a˚r42 a˚r45 a˚r6 a˚r44 a˚r48 a˚r52 a˚r7 a˚r49 a˚r54 a˚r59 a˚r8 a˚r54 a˚r60 a˚r66 a˚r9 a˚r59 a˚r66 a˚r73 a˚r10 a˚r64 a˚r72 a˚r80 a˚r11 a˚r69 a˚r78 a˚r87 a˚r12 a˚r74 a˚r84 a˚r94 a˚r13 a˚r79 a˚r90 a˚r101 a˚r14 a˚r84 a˚r96 a˚r108 a˚r \footnotesize \begin{array}{l|c|c|c} \begin{gathered} \text{Så gammel er} \\ \text{hunden din} \end{gathered} & \begin{gathered} \text{Små/} \\ \text{mellom-} \\ \text{store} \\ \text{hunder} \end{gathered} & \begin{gathered} \text{Store} \\ \text{hunder} \end{gathered} & \begin{gathered} \text{Veldig} \\ \text{store} \\ \text{hunder} \end{gathered} \\ \hline \text{To måneder} & 2 \text{ år} & 2 \text{ år} & 2 \text{ år} \\ \text{Fire måneder} & 6 \text{ år} & 6 \text{ år} & 6 \text{ år} \\ \text{Seks måneder} & 10 \text{ år} & 10 \text{ år} & 10 \text{ år} \\ \text{Åtte måneder} & 12 \text{ år} & 12 \text{ år} & 12 \text{ år} \\ \text{Ti måneder} & 14 \text{ år} & 14 \text{ år} & 14 \text{ år} \\ \hline 1 \text{ år} & 16 \text{ år} & 16 \text{ år} & 16 \text{ år} \\ 1{,}5 \text{ år} & 20 \text{ år} & 20 \text{ år} & 20 \text{ år} \\ 2 \text{ år} & 24 \text{ år} & 24 \text{ år} & 24 \text{ år} \\ \hline 3 \text{ år} & 29 \text{ år} & 30 \text{ år} & 31 \text{ år} \\ 4 \text{ år} & 34 \text{ år} & 36 \text{ år} & 38 \text{ år} \\ 5 \text{ år} & 39 \text{ år} & 42 \text{ år} & 45 \text{ år} \\ 6 \text{ år} & 44 \text{ år} & 48 \text{ år} & 52 \text{ år} \\ 7 \text{ år} & 49 \text{ år} & 54 \text{ år} & 59 \text{ år} \\ 8 \text{ år} & 54 \text{ år} & 60 \text{ år} & 66 \text{ år} \\ 9 \text{ år} & 59 \text{ år} & 66 \text{ år} & 73 \text{ år} \\ 10 \text{ år} & 64 \text{ år} & 72 \text{ år} & 80 \text{ år} \\ 11 \text{ år} & 69 \text{ år} & 78 \text{ år} & 87 \text{ år} \\ 12 \text{ år} & 74 \text{ år} & 84 \text{ år} & 94 \text{ år} \\ 13 \text{ år} & 79 \text{ år} & 90 \text{ år} & 101 \text{ år} \\ 14 \text{ år} & 84 \text{ år} & 96 \text{ år} & 108 \text{ år} \end{array}
Kilde: www.agria.no (24.04.2023)
Sondre har en hund som er 2 år gammel. Han mener funksjonen H H gitt ved
H(x)=6x+12 H(x) = 6x + 12
kan brukes som en modell for hvor mange menneskeår H(x) H(x) en stor hund er når den er x x hundeår.

Oppgave 4a)

Forklar hvordan Sondre kan ha kommet fram til dette uttrykket, og argumenter for når modellen er gyldig.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Menneskeårene øker med 6 6 per hundeår fra H(2)=24, {H(2) = 24}\text{,} og modellen gjelder for store hunder når:
2≤x≤14‾‾ \underline{\underline{2 \le x \le 14}}
I tabellen ser vi at en stor hund blir \( 6 \) menneskeår eldre for hvert år fra den er 2 år. Det gir en lineær modell, og så sjekker vi for hvilke aldre den stemmer med tabellen.
1. Finn stigningstallet En lineær modell har formen: \[ H(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) stigningstallet, det \( H \) øker med når \( x \) øker med \( 1\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) er konstantleddet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp med stigningstall og konstantledd.
I kolonnen for store hunder øker menneskeårene med \( 6 \) for hvert hundeår fra 2 år: \( 24\text{,} \) \( 30\text{,} \) \( 36 \) og så videre til \( 96\text{.} \) Med punktene \( (2, 24) \) og \( (3, 30) \) er stigningstallet endringen i \( H \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{30 - 24}{3 - 2} = \textcolor{red}{6} \]
2. Finn konstantleddet En hund på 2 år tilsvarer 24 menneskeår, altså er \( {H(2) = 24}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{6} \cdot 2 + \textcolor{blue}{b} &= 24 \\ \textcolor{blue}{b} &= 24 - 12 = \textcolor{blue}{12} \end{aligned} \]Det gir \( {H(x) = \textcolor{red}{6}x + \textcolor{blue}{12}}\text{,} \) som er uttrykket Sondre har funnet.
3. Finn når modellen gjelder Modellen gir tallene i tabellen for alle hele år fra 2 til 14, for eksempel: \[ H(14) = 6 \cdot 14 + 12 = 96 \]
Under 2 år stemmer den ikke. En hund på 1 år tilsvarer 16 menneskeår, men modellen gir \( {H(1) = 6 + 12 = 18}\text{.} \) Etter 14 år har tabellen ingen tall. Modellen gjelder derfor for store hunder fra 2 til 14 år.
Sondre påstår at modellen han har funnet, viser at alderen til en hund er proporsjonal med alderen til et menneske.

Oppgave 4b)

Stemmer påstanden til Sondre? Husk å argumentere for svaret ditt.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
H(x)=6x+12 {H(x) = 6x + 12} har konstantleddet 12, 12\text{,} og H(4)=36 {H(4) = 36} er ikke det dobbelte av H(2)=24: {H(2) = 24}\text{:}
Pa˚standen stemmer ikke‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden stemmer ikke}}}
To størrelser er proporsjonale når den ene er et fast tall ganget med den andre. Vi sjekker om modellen har den formen, og prøver med to aldre.
1. Sjekk formen til modellen At menneskeårene er proporsjonale med hundeårene, betyr at: \[ H(x) = k \cdot x \]der \( k \) er et fast tall. Grafen er da en rett linje gjennom origo.
Modellen \( {H(x) = 6x + \textcolor{blue}{12}} \) har konstantleddet \( \textcolor{blue}{12}\text{,} \) så den har ikke denne formen.
2. Prøv med to aldre Dobler vi alderen til hunden fra 2 til 4 år, får vi: \[ \begin{aligned} H(2) &= 6 \cdot 2 + 12 = \textcolor{red}{24} \\ H(4) &= 6 \cdot 4 + 12 = 36 \end{aligned} \]Var alderen proporsjonal, skulle dobbel hundealder gitt dobbelt så mange menneskeår, altså \( {2 \cdot \textcolor{red}{24} = 48}\text{.} \) Dette kalles et moteksempel, og påstanden til Sondre stemmer derfor ikke.