Eksamensoppgaver etter tema

Antallet fiskere går ned i hele perioden, men stadig langsommere. Det passer med en eksponentiell modell, som går ned med en fast prosent hvert år, og den finner vi med regresjon.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon på seks punkter. Øv heller på å lage en eksponentiell modell gjennom to av punktene med kalkulatoren, der vekstfaktoren er en rot.

1. Velg modell Fra 1952 til 1982 gikk antallet ned med omtrent \( 1360 \) personer per år, men fra 2012 til 2022 bare med omtrent \( 23 \) per år. En lineær modell går ned med like mye hvert år og passer dårlig. En eksponentiell modell går ned med en fast prosent hvert år og har formen: \[ F(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x \]der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor.

2. Bruk eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner den modellen på denne formen som går så nær punktene som mulig. Med \( x \) år etter 1950 er 1952 \( {x = 2} \) og 2022 \( {x = 72}\text{.} \) Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(2, 65956), (32, 25289), (42, 19780), (52, 13841), (62, 9825), (72, 9591)} F(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {F(x) \approx \textcolor{blue}{66\,359{,}66} \cdot \textcolor{red}{0{,}97143}^x}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Siden \( {1 - \textcolor{red}{0{,}97143} \approx 0{,}029}\text{,} \) går antallet ned med omtrent \( 2{,}9\,\% \) hvert år ifølge modellen.

Andre modeller kan også godtas når valget er begrunnet.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

2050 er 100 år etter 1950, så vi setter inn \( {x = 100} \) i modellen. Så ser vi om 2050 ligger innenfor årene modellen bygger på.

1. Regn ut antallet i 2050 I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^x \]

2050 er \( {2050 - 1950 = \textcolor{green}{100}} \) år etter 1950. Modellen ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som i videoen Vekstfaktor, og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{green}{100}) &\approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^{\textcolor{green}{100}} \\ F(100) &\approx 3656 \end{aligned} \]Ifølge modellen vil omtrent \( 3\,660 \) personer ha fiske som hovedyrke i 2050.

2. Vurder gyldighetsområdet Modellen bygger på tallene fra 1952 til 2022, altså \( {2 \le x \le 72}\text{.} \) 2050 ligger 28 år etter det siste året i tabellen, så svaret er usikkert.

De siste ti årene gikk antallet nesten ikke ned, fra \( 9825 \) til \( 9591\text{.} \) Modellen går ned med omtrent \( 2{,}9\,\% \) hvert år og gir bare \( {F(72) \approx 8235} \) for 2022. Den gir derfor trolig for lave tall etter 2022.

1. Finn punktet på grafen Med \( F \) fra a) i GeoGebra skriver vi inn punktet på grafen der \( {x = 100}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: P = (100, F(100))

GeoGebra gir \( {P \approx (100,\ 3658{,}13)}\text{,} \) altså omtrent \( 3\,660 \) personer, som med kalkulator.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Linja går gjennom to punkter på grafen til \( F\text{.} \) Vi regner ut punktene med modellen og finner stigningstallet mellom dem.

1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

I a) fant vi \( {F(x) \approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^x}\text{.} \) Punktene er \( (\textcolor{blue}{30}, \textcolor{red}{F(30)}) \) og \( (\textcolor{blue}{70}, \textcolor{red}{F(70)})\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{30}) &\approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^{\textcolor{blue}{30}} \\ F(30) &\approx \textcolor{red}{27\,813} \\ F(\textcolor{blue}{70}) &\approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^{\textcolor{blue}{70}} \\ F(70) &\approx \textcolor{red}{8724} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8724} - \textcolor{red}{27\,813}}{\textcolor{blue}{70} - \textcolor{blue}{30}} \\ a &\approx \dfrac{-19\,089}{40} \approx -477 \end{aligned} \]

2. Tolk svaret \( {x = 30} \) er 1980, og \( {x = 70} \) er 2020. Stigningstallet er den gjennomsnittlige endringen per år, så fra 1980 til 2020 gikk antall fiskere i gjennomsnitt ned med omtrent \( 477 \) personer per år, ifølge modellen.