2P eksamen våren 2024 – løsningsforslag

Øker antallet med samme prosent hver måned, ganges det med den samme vekstfaktoren hver måned. Vi finner vekstfaktoren fra november til april, og med GeoGebra bruker vi eksponentiell regresjon.

1. Sett opp modellen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{b} \) én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor. I november, \( {x = 0}\text{,} \) har Tuva \( \textcolor{blue}{5335} \) følgere: \[ f(x) = \textcolor{blue}{5335} \cdot \textcolor{red}{b}^x \]

I april, fem måneder senere, har hun \( 24\,008 \) følgere. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{5335} \cdot \textcolor{red}{b}^5 = 24\,008 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{5335} \) på begge sider og tar femte rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{b}^5 &= \dfrac{24\,008}{5335} \approx 4{,}5001 \\ \textcolor{red}{b} &= \left(\dfrac{24\,008}{5335}\right)^{1/5} \approx \textcolor{red}{1{,}351} \end{aligned} \]

Avrundet til to desimaler er \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{1{,}35} = 1 + \dfrac{35}{100}}\text{,} \) en økning på \( 35\,\% \) per måned, og modellen blir: \[ f(x) = \textcolor{blue}{5335} \cdot \textcolor{red}{1{,}35}^x \]

Kontroll: Fra måned til måned ganges antallet med mellom \( 1{,}32 \) og \( 1{,}40\text{,} \) for eksempel \( {\dfrac{9467}{7035} \approx 1{,}35}\text{,} \) så en fast vekstfaktor passer.

1. Gjør eksponentiell regresjon Vi legger de seks punktene i en liste, med november som \( {x = 0}\text{,} \) og bruker RegEksp, som gir formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{,} \) der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren. Den finner tallene som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 5335), (1, 7035), (2, 9467), (3, 12780), (4, 17208), (5, 24008)} f(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {f(x) \approx \textcolor{blue}{5244{,}37} \cdot \textcolor{red}{1{,}35}^x}\text{.} \) Vekstfaktoren er \( \textcolor{red}{1{,}35}\text{,} \) en økning på \( 35\,\% \) per måned. Startverdien er litt lavere enn 5335, fordi grafen skal ligge nær alle de seks punktene.

Økningen skal øke med 5 prosentpoeng hver måned: \( 40\,\% \) i mai og \( 45\,\% \) i juni. Vi gjør prosentene om til vekstfaktorer og starter med de \( 24\,008 \) følgerne i april.

1. Finn vekstfaktorene Når noe øker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

5 prosentpoeng mer enn \( 35\,\% \) er \( 40\,\%\text{,} \) og 5 til er \( 45\,\%\text{.} \) Vekstfaktorene er \( \textcolor{blue}{1{,}40} \) i mai og \( \textcolor{red}{1{,}45} \) i juni.

2. Regn ut mai og juni Vi starter med de \( 24\,008 \) følgerne i april og ganger med vekstfaktoren for hver måned: \[ \begin{aligned} \text{Mai: } & 24\,008 \cdot \textcolor{blue}{1{,}40} = 33\,611{,}2 \\ \text{Juni: } & 33\,611{,}2 \cdot \textcolor{red}{1{,}45} = 48\,736{,}24 \end{aligned} \]Avrundet til hele følgere er det \( 33\,611 \) i mai og \( 48\,736 \) i juni, som oppgaven sier.

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: tallet for juni står i oppgaveteksten til b).

Vi regner fram til august på begge måter, med økningen som stiger med 5 prosentpoeng hver måned og med \( 35\,\% \) hver måned. Begge starter med de \( 24\,008 \) følgerne i april, som i b).

1. Regn ut august med målet Økningen fortsetter å stige med 5 prosentpoeng: \( 50\,\% \) i juli og \( 55\,\% \) i august. Fra de \( 48\,736 \) følgerne i juni får vi: \[ \begin{aligned} \text{Juli: } & 48\,736 \cdot 1{,}50 = 73\,104 \\ \text{August: } & 73\,104 \cdot 1{,}55 \approx \textcolor{red}{113\,311} \end{aligned} \]

2. Regn ut august med 35 prosent Med \( 35\,\% \) hver måned ganges aprilverdien med \( 1{,}35 \) fire ganger, for mai, juni, juli og august, som i videoen Vekstfaktor: \[ 24\,008 \cdot 1{,}35^4 \approx \textcolor{blue}{79\,743} \]

3. Sammenlign Hvor mange prosent flere det er, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Vi sammenligner med \( \textcolor{blue}{79\,743}\text{,} \) det hun ville hatt med \( 35\,\%\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{113\,311} - \textcolor{blue}{79\,743}}{\textcolor{blue}{79\,743}} \cdot 100\,\% \approx 42\,\% \]Med målet har Tuva altså omtrent \( 42\,\% \) flere følgere i august.

1. Regn ut månedene i regnearket Vi skriver månedene i kolonne A og økningen i prosent i kolonne B, med \( 40 \) i B3 og \( {\texttt{=B3+5}} \) i B4. Begge kolonnene med følgere starter med de \( 24\,008 \) i april, i C2 og D2. Hver måned ganger vi med vekstfaktoren: \[ \begin{aligned} \text{C3:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=C2*(1+B3/100)}} \\ \text{D3:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=D2*1,35}} \end{aligned} \]Vi drar B4, C3 og D3 ned til rad 6, august, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, og viser kolonne C og D uten desimaler og med tusenskille. I C8 regner vi ut hvor mange prosent flere det er, med \( {\texttt{=(C6-D6)/D6}}\text{,} \) og gir cellen prosentformat med én desimal:

I august har hun \( \textcolor{red}{113\,312} \) følgere med målet og \( \textcolor{blue}{79\,743} \) med \( 35\,\%\text{,} \) og det er \( 42{,}1\,\% \) flere, omtrent \( 42\,\%\text{.} \) Regnearket regner videre med alle desimalene, så august får én følger mer enn for hånd, der vi gikk videre fra de \( 48\,736 \) i juni.

Vi kjenner Miriams gjennomsnitt, median og standardavvik. Vi finner de samme tre målene for Solveigs turer og sammenligner ett mål om gangen.

1. Finn gjennomsnittet og medianen Gjennomsnittet er summen delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Den øverste raden har summen 72 og den nederste 71: \[ \textcolor{red}{\bar{x}} = \dfrac{72 + 71}{20} = \dfrac{143}{20} = \textcolor{red}{7{,}15} \]

Medianen er tallet i midten når tallene er sortert. Med 20 tall er det snittet av nummer 10 og 11: \[ \small \begin{array}{cccccccccc} 3 & 3 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 6 & 7 & \textcolor{blue}{7} \\ \textcolor{blue}{8} & 8 & 8 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 11 & 12 \end{array} \]Medianen er \( {\dfrac{\textcolor{blue}{7} + \textcolor{blue}{8}}{2} = \textcolor{blue}{7{,}5}}\text{.} \)

2. Finn standardavviket Standardavviket måler hvor langt tallene typisk ligger fra gjennomsnittet \( \textcolor{red}{\bar{x}}\text{:} \) \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{(x_1 - \textcolor{red}{\bar{x}})^2 + \ldots + (x_n - \textcolor{red}{\bar{x}})^2}{n}} \]Vi deler på \( n\text{,} \) fordi vi har alle de 20 turene hennes, hele datasettet. Det er standardavvik p i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Vi samler like tall. Med \( {\textcolor{red}{\bar{x}} = \textcolor{red}{7{,}15}} \) er avstanden fra 3 til gjennomsnittet \( {-4{,}15}\text{,} \) fra 4 er den \( {-3{,}15} \) og så videre: \[ \begin{aligned} &2 \cdot (-4{,}15)^2 + (-3{,}15)^2 \\ &{} + 3 \cdot (-2{,}15)^2 + 2 \cdot (-1{,}15)^2 \\ &{} + 2 \cdot (-0{,}15)^2 + 4 \cdot 0{,}85^2 \\ &{} + 3 \cdot 1{,}85^2 + 2{,}85^2 \\ &{} + 3{,}85^2 + 4{,}85^2 = 120{,}55 \end{aligned} \]

Det gir: \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{120{,}55}{20}} = \sqrt{6{,}0275} \approx \textcolor{green}{2{,}46} \]

3. Sammenlign med Miriam Vi setter målene ved siden av hverandre, i timer: \[ \small \begin{array}{l|r|r} & \text{Solveig} & \text{Miriam} \\ \hline \text{Gjennomsnitt} & \textcolor{red}{7{,}15} & \textcolor{red}{4{,}7} \\ \text{Median} & \textcolor{blue}{7{,}5} & \textcolor{blue}{4} \\ \text{Standardavvik} & \textcolor{green}{2{,}46} & \textcolor{green}{4{,}2} \end{array} \]Miriams gjennomsnitt og median er lavere, så turene hennes var stort sett kortere. Standardavviket hennes er større, så lengden på turene varierte mer. Gjennomsnittet hennes er høyere enn medianen: mange korte turer og noen få lange drar gjennomsnittet opp, slik medianen og gjennomsnittet sammenlignes i videoen Oppgave 3C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

1. Bruk funksjonene i regnearket Vi skriver de \( 20 \) turene i A2 til A21 og bruker GJENNOMSNITT, MEDIAN og STDAV.P: \[ \begin{aligned} \text{D2:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=GJENNOMSNITT(A2:A21)}} \\ \text{D3:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=MEDIAN(A2:A21)}} \\ \text{D4:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=STDAV.P(A2:A21)}} \end{aligned} \]STDAV.P deler på \( n\text{,} \) og den bruker vi fordi vi har alle de 20 turene hennes, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. STDAV.S deler på \( {n - 1}\text{.} \) Miriams tall skriver vi i kolonne E, og D4 viser vi med to desimaler:

Regnearket gir gjennomsnittet \( \textcolor{red}{7{,}15}\text{,} \) medianen \( \textcolor{blue}{7{,}5} \) og standardavviket \( \textcolor{green}{2{,}46}\text{,} \) det samme som med kalkulator. Miriams gjennomsnitt og median er lavere, så turene hennes var stort sett kortere, og standardavviket hennes er større, så lengden på turene varierte mer.

Den kumulative frekvensen for en lengde er antall turer med den lengden eller kortere. Forskjellen mellom to kumulative frekvenser som står ved siden av hverandre, er derfor antall turer med den lengste av de to lengdene.

1. Finn turene på 5 timer Kolonnen for 0 timer er de 10 turene de ikke gikk sammen. 11 turer hadde 3 timer eller mindre sammen, og 14 turer hadde 5 timer eller mindre: \[ \textcolor{blue}{14} - \textcolor{blue}{11} = 3 \]De gikk altså 3 skiturer på 5 timer sammen, og påstand 1 er riktig.

2. Finn turene på 8 timer På samme måte gikk de \( {\textcolor{red}{17} - \textcolor{blue}{14} = 3} \) turer på 8 timer sammen. I lista over Solveigs turer står 8 fire ganger, to i hver rad, så hun gikk 4 turer på 8 timer. Bare 3 av dem var sammen med Miriam, så Miriam var ikke med alle gangene. Påstand 2 er riktig.

Programmet har én funksjon for hver likning og prøver mange verdier av \( x\text{.} \) Vi leser det linje for linje og ser hva det sjekker.

1. Skriv likningene som funksjoner Sara har løst begge likningene for \( y\text{.} \) I den første legger vi til 12 på begge sider, og i den andre flytter vi \( y \) og \( 2x^2 \) over: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{blue}{4x + 12} \\ y &= \textcolor{red}{-2x^2 + 2x + 24} \end{aligned} \]Det er funksjonene \( \textcolor{blue}{\texttt{f}} \) i linje 1–2 og \( \textcolor{red}{\texttt{g}} \) i linje 4–5.

2. Les løkka Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 7 lar \( x \) gå gjennom heltallene i \( {\texttt{range(-5, 5)}}\text{,} \) altså \( {-5, -4, \ldots, 4}\text{,} \) fordi range stopper før det siste tallet, som i videoen Oppgave 7B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

En løsning av likningssystemet er en \( x \) der begge likningene gir samme \( y\text{.} \) Linje 9 sjekker derfor om \( \textcolor{blue}{\texttt{f(x)}} \) og \( \textcolor{red}{\texttt{g(x)}} \) er like, og da skriver linje 10 ut \( x \) og \( y\text{.} \) Sara prøver seg altså fram med heltall, og programmet finner bare løsninger der \( x \) er et heltall fra \( {-5} \) til \( 4\text{.} \)

Ole må skrive sine likninger som \( {y = \ldots} \) i de to funksjonene, og sjekke at heltallene programmet prøver, har med løsningene.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive om likningene og endre programmet på papir, linje for linje, og sjekk løsningene ved å sette dem inn i likningene.

1. Endre funksjonene Vi løser Oles likninger for \( y\text{.} \) I den første legger vi til 8 på begge sider, og den andre står allerede slik: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{blue}{2x + 8} \\ y &= \textcolor{red}{x^2 + x - 48} \end{aligned} \]Linje 2 blir derfor \( {\textcolor{blue}{\texttt{return 2 * x + 8}}} \) og linje 5 \( {\textcolor{red}{\texttt{return x *{}* 2 + x - 48}}}\text{.} \)

2. Gjør intervallet større Med bare disse endringene skriver programmet ingenting ut, for ingen av heltallene fra \( {-5} \) til \( 4 \) er en løsning. Vi gjør derfor intervallet i linje 7 større, for eksempel \( {\texttt{range(-10, 10)}}\text{,} \) som prøver \( {-10, -9, \ldots, 9}\text{,} \) fordi range stopper før det siste tallet, som i videoen Oppgave 7B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Programmet står i svaret, og utskriften gir to løsninger: \[ \begin{aligned} x = -7 &\text{ og } y = -6 \\ x = 8 &\text{ og } y = 24 \end{aligned} \]Et annet intervall som har med \( {-7} \) og \( 8\text{,} \) er også riktig, for eksempel \( {\texttt{range(-100, 100)}}\text{.} \)

Kontroll: \( {2 \cdot (-7) = -6 - 8} \) og \( {(-7)^2 - 7 - 48 = -6}\text{,} \) og \( {2 \cdot 8 = 24 - 8} \) og \( {8^2 + 8 - 48 = 24}\text{.} \)

Bunnen er en sirkel som må få plass i kvadratet, og plattformen er en sirkel med areal \( 10\,\text{m}^2\text{.} \) Vi finner hvor stor bunnen kan være, hvor stor toppen må være, og velger høyden.

1. Finn hvor stor bunnen kan være Kvadratet har areal \( 20\,\text{m}^2\text{,} \) så siden \( s \) er: \[ s^2 = 20 \quad \text{gir} \quad s = \sqrt{20} \approx 4{,}47\,\text{m} \]Vi tar kvadratroten på begge sider, som i det første eksempelet i videoen Pytagoras setning.

Sirkelen nederst får plass i kvadratet når diameteren er høyst \( 4{,}47\,\text{m}\text{.} \) Vi velger diameteren \( \textcolor{blue}{4{,}4\,\text{m}}\text{,} \) altså radius \( {\textcolor{blue}{R = 2{,}2\,\text{m}}}\text{.} \)

2. Finn radien til plattformen Arealet av en sirkel med radius \( r \) er \( \pi r^2\text{,} \) som toppen av sylinderen i videoen Volum og Overflate. Plattformen skal ha areal \( 10\,\text{m}^2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi \textcolor{red}{r}^2 &= 10 \\ \textcolor{red}{r}^2 &= \dfrac{10}{\pi} \approx 3{,}18 \\ \textcolor{red}{r} &\approx \textcolor{red}{1{,}784\,\text{m}} \end{aligned} \]Diameteren øverst er altså omtrent \( 3{,}57\,\text{m}\text{,} \) mindre enn \( \textcolor{blue}{4{,}4\,\text{m}} \) nederst.

3. Velg høyden og tegn skissen Plattformen kan være høyst \( 2{,}5\,\text{m} \) over bakken, så vi velger høyden \( {\textcolor{green}{h = 2{,}5\,\text{m}}}\text{:} \)

Andre mål er også riktige, for eksempel en lavere klatrevegg, så lenge bunnen får plass i kvadratet og plattformen har areal \( 10\,\text{m}^2\text{.} \)

Vi bruker målene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi tar utgangspunkt i en hel kjegle, som foreslått i oppgaven, og trekker fra toppen som kuttes av. Høyden på hele kjeglen finner vi med formlikhet.

1. Finn høyden på hele kjeglen I a) valgte vi \( {\textcolor{blue}{R = 2{,}2\,\text{m}}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{r \approx 1{,}784\,\text{m}}} \) og \( {\textcolor{green}{h = 2{,}5\,\text{m}}}\text{.} \) Vi kaller høyden på hele kjeglen \( H\text{.} \) Skissen er ikke i målestokk:

Den store trekanten med sidene \( H \) og \( \textcolor{blue}{R} \) og den lille trekanten med sidene \( \textcolor{green}{h} \) og \( {\textcolor{blue}{R} - \textcolor{red}{r}} \) er formlike. Forholdet mellom sidene er da det samme, som i videoen Formlikhet: \[ \dfrac{H}{\textcolor{blue}{R}} = \dfrac{\textcolor{green}{h}}{\textcolor{blue}{R} - \textcolor{red}{r}} \]

Plugger vi inn og ganger med \( \textcolor{blue}{2{,}2} \) på begge sider, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{H}{\textcolor{blue}{2{,}2}} &= \dfrac{\textcolor{green}{2{,}5}}{\textcolor{blue}{2{,}2} - \textcolor{red}{1{,}784}} = \dfrac{\textcolor{green}{2{,}5}}{0{,}416} \\ H &= \textcolor{blue}{2{,}2} \cdot \dfrac{\textcolor{green}{2{,}5}}{0{,}416} \approx 13{,}22\,\text{m} \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: \( {R - r} \) er bare omtrent \( 0{,}416\,\text{m}\text{,} \) så avrundingen av \( r \) slår ut: med \( {r \approx 1{,}78} \) blir \( {H \approx 13{,}10\,\text{m}} \) og betongen omtrent \( 31{,}1\,\text{m}^3 \) i stedet for \( 31{,}3\,\text{m}^3\text{.} \) Regn derfor med tre desimaler i \( r\text{.} \)

Toppen som kuttes av, er \( {13{,}22 - 2{,}5 = 10{,}72\,\text{m}} \) høy.

2. Regn ut volumet Volumet av en kjegle er grunnflaten ganget med høyden delt på 3: \[ V = \dfrac{G \cdot \text{høyde}}{3} \]Grunnflaten til hele kjeglen er \( {\pi \cdot \textcolor{blue}{2{,}2}^2 \approx 15{,}21\,\text{m}^2}\text{,} \) og grunnflaten til toppen er plattformen, \( 10\,\text{m}^2\text{.} \)

Grunnflaten i \( \text{m}^2 \) ganget med høyden i \( \text{m} \) gir \( \text{m}^3\text{:} \) \[ \begin{aligned} V_{\text{hel}} &= \dfrac{15{,}21 \cdot 13{,}22}{3} \approx \textcolor{blue}{67{,}03} \\ V_{\text{topp}} &= \dfrac{10 \cdot 10{,}72}{3} \approx \textcolor{red}{35{,}73} \end{aligned} \]

Betongen er hele kjeglen minus toppen: \[ \textcolor{blue}{67{,}03}\,\text{m}^3 - \textcolor{red}{35{,}73}\,\text{m}^3 = 31{,}30\,\text{m}^3 \]Det går altså med omtrent \( 31{,}3\,\text{m}^3 \) betong. Med den største bunnen som får plass, diameter \( 4{,}47\,\text{m}\text{,} \) blir det omtrent \( 31{,}9\,\text{m}^3\text{.} \)

De to lånetypene skiller seg i hva som er likt fra måned til måned, så vi ser på lånekostnaden kalkulatoren viser. Så finner vi hvor mye han kan låne når han må ha \( 15\,\% \) i egenkapital.

1. Avgjør lånetypen Terminbeløpet er det Johannes betaler hver måned, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{red}{\text{terminbeløp}} = \textcolor{blue}{\text{avdrag}} + \text{renter} \]I et serielån er \( \textcolor{blue}{\text{avdraget}} \) likt hver måned, så terminbeløpet blir mindre etter hvert som rentene synker. I et annuitetslån er \( \textcolor{red}{\text{terminbeløpet}} \) likt hver måned.

Kalkulatoren gir én lånekostnad, \( \textcolor{red}{10\,495} \) kroner per måned, for hele lånet. Han betaler altså det samme hver måned, så det er et annuitetslån.

2. Finn det største lånet Banken krever minst \( 15\,\% \) av prisen i egenkapital, som han betaler selv, som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \dfrac{15}{100} \cdot 2\,000\,000 = \textcolor{green}{300\,000} \]Resten kan han låne: \[ 2\,000\,000 - \textcolor{green}{300\,000} = 1\,700\,000 \]Det er \( 85\,\% \) av prisen, og derfor stopper kalkulatoren på \( 1\,700\,000 \) kroner.

En rente per måned gir en vekstfaktor per måned, og tolv måneder er ett år. Vi forklarer regnestykket med vekstfaktoren og setter opp den samme likningen for \( 5{,}49\,\% \) per år.

1. Forklar regnestykket Når noe øker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Med \( 1{,}5\,\% \) per måned er vekstfaktoren \( {1 + 0{,}015 = 1{,}015}\text{.} \) Lånet ganges med den én gang for hver av de tolv månedene, så for ett år er vekstfaktoren: \[ (1 + 0{,}015)^{12} \approx 1{,}1956 \]Vekstfaktoren \( {1{,}1956 = 1 + 0{,}1956} \) betyr \( 19{,}56\,\% \) per år, mer enn \( {12 \cdot 1{,}5\,\% = 18\,\%}\text{,} \) fordi rentene hver måned også gir renter.

2. Sett opp likningen Vi kaller renten per måned \( \textcolor{red}{p}\,\%\text{.} \) Tolv måneder med vekstfaktoren \( {1 + \dfrac{\textcolor{red}{p}}{100}} \) skal gi \( 5{,}49\,\% \) per år, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \left(1 + \dfrac{\textcolor{red}{p}}{100}\right)^{12} = 1{,}0549 \]

3. Løs likningen Vi tar tolvte rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{12}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + \dfrac{\textcolor{red}{p}}{100} &= 1{,}0549^{1/12} \approx 1{,}004464 \\ \textcolor{red}{p} &\approx \textcolor{red}{0{,}446} \end{aligned} \]En rente på \( 5{,}49\,\% \) per år tilsvarer altså omtrent \( 0{,}446\,\% \) per måned.

Kontroll: \( {1{,}00446^{12} \approx 1{,}0549}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen inn i CAS og løser den med Løs og ≈-knappen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: Løs((1 + p/100)^12 = 1.0549, p)

CAS gir \( {p \approx -200{,}4464} \) og \( {p \approx 0{,}4464}\text{.} \) En rente kan ikke være negativ, så renten er omtrent \( 0{,}446\,\% \) per måned.

Vi bruker renten per måned fra b), \( 0{,}446\,\%\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den første måneden betaler Johannes renter av hele lånet. Resten av terminbeløpet er avdrag.

1. Regn ut rentene Rentene er det han skylder, ganget med rentesatsen, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Den første måneden skylder han hele lånet, og \( {0{,}446\,\% = 0{,}00446}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\text{renter}} = 1\,700\,000 \cdot 0{,}00446 = \textcolor{red}{7582} \]

2. Regn ut avdraget Avdraget er den delen av terminbeløpet som betaler ned lånet, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{avdrag}} &= \text{terminbeløp} - \textcolor{red}{\text{renter}} \\ &= 10\,495 - \textcolor{red}{7582} = \textcolor{blue}{2913} \end{aligned} \]Av terminbeløpet er altså \( {\dfrac{\textcolor{red}{7582}}{10\,495} \approx 72\,\%} \) renter og \( {\dfrac{\textcolor{blue}{2913}}{10\,495} \approx 28\,\%} \) avdrag.

Vi bruker rentene den første måneden fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner hvor mye Johannes får utbetalt, trekker fra utgiftene og lånekostnaden og ser hva han har igjen. Så gjør vi det samme med 3 prosentpoeng høyere rente, som banken krever.

1. Finn nettolønnen Av bruttolønnen går \( 1{,}2\,\% \) til fagforeningen, \( 2\,\% \) til pensjon og \( 32\,\% \) i skatt, og \( a\,\% \) av et tall er \( \dfrac{a}{100} \) ganget med tallet, som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \begin{aligned} 0{,}012 \cdot 52\,000 &= 624 \\ 0{,}02 \cdot 52\,000 &= 1040 \\ 0{,}32 \cdot 52\,000 &= 16\,640 \end{aligned} \]Han får utbetalt, i kroner: \[ \begin{aligned} &52\,000 - 624 - 1040 - 16\,640 \\ &= \textcolor{green}{33\,696} \end{aligned} \]

2. Trekk fra utgiftene SIFO-budsjettet, studielånet og forsikringene er til sammen: \[ \begin{aligned} &8683 + 3610 + 1600 + 2000 \\ &= \textcolor{red}{15\,893} \end{aligned} \]Med lånekostnaden på \( \textcolor{blue}{10\,495} \) kroner har han igjen: \[ \textcolor{green}{33\,696} - \textcolor{red}{15\,893} - \textcolor{blue}{10\,495} = 7308 \]

3. Prøv med høyere rente Med 3 prosentpoeng mer er renten \( 8{,}49\,\% \) per år. Som i b) får vi renten per måned og rentene den første måneden: \[ \begin{aligned} \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{12} &= 1{,}0849 \\ p &\approx 0{,}681 \\ 1\,700\,000 \cdot 0{,}00681 &= 11\,577 \end{aligned} \]

Vi legger hele renteøkningen fra c) til terminbeløpet. Det er på den sikre siden: den første måneden skylder han mest, så da øker rentene mest: \[ \begin{aligned} 11\,577 - 7582 &= 3995 \\ 10\,495 + 3995 &= \textcolor{blue}{14\,490} \end{aligned} \]Terminbeløpet blir altså høyst \( \textcolor{blue}{14\,490} \) kroner, og han har igjen minst: \[ \textcolor{green}{33\,696} - \textcolor{red}{15\,893} - \textcolor{blue}{14\,490} = 3313 \]

4. Vurder om han har råd Han har omtrent 7300 kroner igjen hver måned med dagens rente, og minst omtrent 3300 kroner med høyere rente. Han klarer altså lånet og bankens krav, når han har de 300 000 kronene i egenkapital, som oppgaven ikke sier noe om. Det som er igjen, skal også dekke strøm og felleskostnader, som SIFO-budsjettet ikke har med, så budsjettet blir stramt med høy rente.

1. Finn nettolønnen og utgiftene Bruttolønnen står i B1, og trekkene regner vi ut i B2 til B4 med \( {\texttt{=B1*0,012}}\text{,} \) \( {\texttt{=B1*0,02}} \) og \( {\texttt{=B1*0,32}}\text{.} \) Utgiftene står i B7 til B10: \[ \begin{aligned} \text{B5:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=B1-B2-B3-B4}} \\ \text{B11:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=SUMMER(B7:B10)}} \end{aligned} \]

2. Legg til lånet med begge rentene Kolonne B er dagens rente, C renten med 3 prosentpoeng mer. Månedsrentene regner vi ut som i b), med \( {\texttt{=1,0549\textasciicircum{}(1/12)-1}} \) i B14 og \( {\texttt{=1,0849\textasciicircum{}(1/12)-1}} \) i C14, og gir dem prosentformat med tre desimaler. Dagens lånekostnad, \( \textcolor{blue}{10\,495}\text{,} \) står i B15. Rentene den første måneden er lånet ganget med månedsrenten, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, og som for hånd legger vi hele økningen til terminbeløpet: \[ \begin{aligned} \text{C15:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=B15+1700000*(C14-B14)}} \\ \text{B16:}\quad & \texttt{=B5-B11-B15} \\ \text{C16:}\quad & \texttt{=B5-B11-C15} \end{aligned} \]Ellers viser vi tallene uten desimaler, med tusenskille:

Nettolønnen er \( \textcolor{green}{33\,696} \) og utgiftene \( \textcolor{red}{15\,893} \) kroner. Med dagens rente har han \( 7308 \) kroner igjen. Med høyere rente blir lånekostnaden høyst \( \textcolor{blue}{14\,490} \) kroner, og han har minst \( 3313 \) kroner igjen, det samme som for hånd. Han har altså råd til leiligheten.