2P eksamen høsten 2024 – løsningsforslag

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 5 oppgaver · 12 poeng

Oppgave 1

1 poeng

På et kart er avstanden mellom to byer

10\,\text{cm}\text{.}

I virkeligheten er denne avstanden

5\,\text{km}\text{.}

Bestem målestokken til kartet.

Vis løsning

Svar

1 cm på kartet er 500 m i virkeligheten:

\underline{\underline{1 : 50\,000}}

Målestokken sier hvor langt 1 cm på kartet er i virkeligheten. Vi finner det i kilometer først og gjør det så om til centimeter.

1. Finn hva 1 cm er \( \textcolor{blue}{10\,\text{cm}} \) på kartet er \( \textcolor{red}{5\,\text{km}} \) i virkeligheten. Da er 1 cm på kartet en tidel av det, som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \dfrac{\textcolor{red}{5\,\text{km}}}{\textcolor{blue}{10}} = 0{,}5\,\text{km} \]

2. Gjør om til centimeter Det er \( 1000\,\text{m} \) på \( 1\,\text{km} \) og \( 100\,\text{cm} \) på \( 1\,\text{m}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} 0{,}5\,\text{km} &= 0{,}5 \cdot 1000\,\text{m} = 500\,\text{m} \\ 500\,\text{m} &= 500 \cdot 100\,\text{cm} = 50\,000\,\text{cm} \end{aligned} \]

3. Skriv målestokken Målestokken er avstanden på kartet til avstanden i virkeligheten, i samme enhet og med kolon mellom, som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{\text{kart}} : \textcolor{red}{\text{virkelighet}} \]

1 cm på kartet er \( 50\,000\,\text{cm} \) i virkeligheten: \[ \textcolor{blue}{1} : \textcolor{red}{50\,000} \]

Kontroll: Med \( 1 : 50\,000 \) er 10 cm på kartet \( {500\,000\,\text{cm} = 5\,\text{km}} \) i virkeligheten, som i oppgaven.

Oppgave 2

4 poeng

Lars arbeider i en butikk etter skoletid og i helgene. Nedenfor ser du hvor mange timer han har arbeidet hver av de 10 siste dagene.

3 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 6 \quad 8 \quad 0 \quad 3 \quad 5 \quad 5

Oppgave 2a)

Bestem gjennomsnittet og medianen.

Vis løsning

Svar

For timene Lars har arbeidet de 10 dagene:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Gjennomsnitt} = 4{,}2 \text{ timer}}} \\ &\underline{\underline{\text{Median} = 4{,}5 \text{ timer}}} \end{aligned}

Gjennomsnittet er summen av timene delt på antall dager. For å finne medianen sorterer vi timene i stigende rekkefølge og ser hva som står i midten.

1. Finn gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen av alle tallene delt på antall tall, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{sum}}}{\textcolor{green}{\text{antall}}} \]

Summen av timene de \( \textcolor{green}{10} \) dagene er: \[ \begin{aligned} &3 + 3 + 4 + 5 + 6 \\ &{} + 8 + 0 + 3 + 5 + 5 = \textcolor{red}{42} \end{aligned} \]

Det gir: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{42}}{\textcolor{green}{10}} = 4{,}2 \]

2. Finn medianen Medianen er tallet i midten når tallene står i stigende rekkefølge, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Sortert: \[ 0 \quad 3 \quad 3 \quad 3 \quad \textcolor{blue}{4} \quad \textcolor{blue}{5} \quad 5 \quad 5 \quad 6 \quad 8 \]

Med 10 tall er det to tall i midten, nummer 5 og 6, og medianen er gjennomsnittet av dem: \[ \text{median} = \dfrac{\textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{5}}{2} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5 \]

Oppgave 2b)

Bestem den kumulative frekvensen for 5 timer og forklar hva dette tallet betyr.

Vis løsning

Svar

På 8 av de 10 dagene arbeidet Lars 5 timer eller mindre:

\underline{\underline{\text{Kumulativ frekvens} = 8}}

Den kumulative frekvensen for 5 timer er antall dager Lars arbeidet 5 timer eller mindre. Vi legger sammen frekvensene opp til og med 5.

1. Legg sammen frekvensene Frekvensen er hvor mange ganger en verdi forekommer. Kumulativ frekvens betyr at vi legger sammen frekvensene fra den minste verdien og opp til og med verdien vi ser på. Sortert er timene: \[ 0 \quad 3 \quad 3 \quad 3 \quad 4 \quad \textcolor{blue}{5} \quad \textcolor{blue}{5} \quad \textcolor{blue}{5} \quad 6 \quad 8 \]

Verdiene 0, 3, 4 og 5 forekommer 1, 3, 1 og 3 ganger: \[ 1 + 3 + 1 + \textcolor{blue}{3} = 8 \]

2. Forklar hva tallet betyr Den kumulative frekvensen for 5 timer er altså 8. Lars arbeidet 5 timer eller mindre 8 av de 10 dagene. Bare 2 av dagene, med 6 og 8 timer, arbeidet han mer enn 5 timer.

Oppgave 3

2 poeng

Even har tegnet en rettvinklet trekant. Den ene kateten er

10\,\text{cm}\text{,}

og den andre kateten er

5\,\text{cm}\text{.}

Even vil tegne en ny trekant som er formlik med den trekanten han har tegnet. Arealet av den nye trekanten skal være

64\,\text{cm}^2\text{.}

Hvor lange må hver av katetene i den nye trekanten være?

Vis løsning

Svar

Begge katetene er ganget med

\dfrac{8}{5}\text{:}

\underline{\underline{16\,\text{cm og } 8\,\text{cm}}}

Den nye trekanten er formlik, så begge katetene ganges med det samme tallet \( k\text{.} \) Vi skriver arealet med \( k \) og setter det lik \( 64\,\text{cm}^2\text{.} \)

1. Skriv katetene med k I formlike figurer er alle sidene i den store figuren den samme målestokken \( \textcolor{red}{k} \) ganget med sidene i den lille, som i videoen Formlikhet: \[ \text{ny side} = \textcolor{red}{k} \cdot \text{gammel side} \]

Katetene i den nye trekanten er altså \( 10\textcolor{red}{k}\,\text{cm} \) og \( 5\textcolor{red}{k}\,\text{cm}\text{.} \)

2. Sett opp arealet I en rettvinklet trekant er den ene kateten grunnlinja og den andre høyden. Arealet er grunnlinja ganget med høyden delt på to, som i videoen Areal og Omkrets: \[ A = \dfrac{g \cdot h}{2} \]

Arealet skal være \( 64\,\text{cm}^2\text{.} \) Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg, og \( {\text{cm} \cdot \text{cm} = \text{cm}^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{10\textcolor{red}{k}\,\text{cm} \cdot 5\textcolor{red}{k}\,\text{cm}}{2} &= 64\,\text{cm}^2 \\ 25\textcolor{red}{k}^2\,\text{cm}^2 &= 64\,\text{cm}^2 \\ \textcolor{red}{k}^2 &= \dfrac{64}{25} \end{aligned} \]

3. Finn k og katetene Siden \( {8^2 = 64} \) og \( {5^2 = 25}\text{,} \) og \( k \) er positiv, er: \[ \textcolor{red}{k} = \sqrt{\dfrac{64}{25}} = \dfrac{8}{5} \]

Det gir katetene: \[ \begin{aligned} 10 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{8}{5}}\,\text{cm} &= 16\,\text{cm} \\ 5 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{8}{5}}\,\text{cm} &= 8\,\text{cm} \end{aligned} \]

Kontroll: \( {\dfrac{16 \cdot 8}{2} = 64}\text{,} \) og 16 er dobbelt så langt som 8, slik 10 er dobbelt så langt som 5.

Oppgave 4

2 poeng

Flere oppgaver om likningssett

Markus arbeider med likningssystemet nedenfor. Vis Markus hvordan han kan løse likningssystemet.

\left[ \begin{aligned} 2x - 6 &= y \\ 4x + 2y &= 12 \end{aligned} \right]

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{x = 3 \text{ og } y = 0}}

I den øverste likningen står \( y \) alene. Vi setter derfor \( {2x - 6} \) inn for \( y \) i den nederste likningen og får en likning med bare \( x\text{.} \)

1. Sett inn for y Med innsettingsmetoden skriver vi om en av likningene slik at en ukjent står alene, og setter uttrykket inn i den andre likningen, som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden. Her står \( y \) alene allerede: \[ y = \textcolor{blue}{2x - 6} \]

Vi setter \( {\textcolor{blue}{2x - 6}} \) inn for \( y \) i \( {4x + 2y = 12}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 4x + 2(\textcolor{blue}{2x - 6}) &= 12 \\ 4x + 4x - 12 &= 12 \\ 8x &= 24 \\ x &= 3 \end{aligned} \]

2. Finn y Vi setter \( {x = 3} \) inn i den øverste likningen: \[ y = 2 \cdot 3 - 6 = 0 \]

Kontroll: Den nederste likningen: \( {4 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 12}\text{.} \)

Oppgave 5

3 poeng

Sara har lest om en bedrift som regner med å slippe ut 200 tonn CO₂ i 2025.

Bedriften har som mål å redusere utslippet med

2{,}5\,\%

hvert år framover.

Sara har laget programmet nedenfor.

Oppgave 5a)

Gi en praktisk tolkning av uttrykket Sara har brukt i linje 2.

Vis løsning

Svar

f(x)

er utslippet i tonn CO₂ hvis bedriften når målet, med

2{,}5\,\%

mindre hvert år:

\underline{\underline{f(x) = \text{utslippet } x \text{ år etter 2025}}}

Linje 2 er en eksponentiell modell. Vi ser hva tallene 200 og 0,975 betyr, og hva \( x \) står for.

1. Les uttrykket I Python betyr to stjerner «opphøyd i», så linje 2 regner ut: \[ f(x) = \textcolor{blue}{200} \cdot \textcolor{red}{0{,}975}^x \]Her er \( \textcolor{blue}{200} \) utslippet i 2025, i tonn CO₂.

2. Finn vekstfaktoren Når noe minker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Utslippet skal reduseres med \( 2{,}5\,\% \) hvert år: \[ \textcolor{red}{V} = 1 - \dfrac{2{,}5}{100} = 1 - 0{,}025 = \textcolor{red}{0{,}975} \]

Uttrykket er altså startverdien \( \textcolor{blue}{200} \) ganget med vekstfaktoren én gang for hvert år etter 2025, som i videoen Vekstfaktor. For \( {x = 0} \) gir det 200 tonn i 2025, og for \( {x = 1} \) gir det \( {200 \cdot 0{,}975 = 195} \) tonn i 2026.

Oppgave 5b)

Hva vil verdien som skrives ut når programmet kjøres, fortelle Sara?

Vis løsning

Svar

Verdien er summen av utslippene

f(0)

til

f(4)\text{,}

i tonn CO₂, hvis bedriften når målet:

\underline{\underline{\text{Samlet utslipp 2025–2029}}}

Vi bruker tolkningen av linje 2 fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi følger løkka og ser hvilke verdier av \( x \) den går gjennom, og hva den legger til i \( s \) hver gang.

1. Følg løkka Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 og 5 setter \( {\textcolor{red}{x} = 0} \) og \( {\textcolor{blue}{s} = 0}\text{.} \) Linje 7 gjentar løkka så lenge \( {\textcolor{red}{x} \le 4}\text{,} \) altså for \( {\textcolor{red}{x} = 0}\text{,} \) 1, 2, 3 og 4.

Hver gang legger linje 8 til \( f(\textcolor{red}{x}) \) i \( \textcolor{blue}{s}\text{,} \) og linje 9 går videre til neste år. Da blir \( \textcolor{blue}{s} \) en sum som vokser for hver runde, som den totale omkretsen i videoen Oppgave 7B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Når løkka stopper, er: \[ \textcolor{blue}{s} = f(0) + f(1) + \ldots + f(4) \]

2. Tolk verdien I a) fant vi at \( f(x) \) er utslippet \( x \) år etter 2025. Linje 11 skriver derfor ut det samlede utslippet de fem årene 2025, 2026, 2027, 2028 og 2029. Utslippet er 200 tonn i 2025 og mindre hvert år etter det, så summen blir litt under \( {5 \cdot 200 = 1000} \) tonn.

Del 2

Med hjelpemidler · 8 oppgaver · 31 poeng

Oppgave 1

6 poeng

En bedrift produserer iste. Funksjonen

F

gitt ved

F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x

er en modell som viser hvor mange flasker av isteen bedriften regner med å selge hver måned fra og med desember 2024.

For å regne ut salget i desember 2024 kan vi sette

{x = 0}\text{,}

for å regne ut salget i januar 2025 kan vi sette

{x = 1}

og så videre.

Oppgave 1a)

Vis hvordan du på to ulike måter kan svare på spørsmål 1) og på spørsmål 2) nedenfor.

1) Hvor mange flasker iste regner bedriften med å selge i desember 2025 ifølge modellen?

2) Når vil bedriften for første gang selge mer enn 2000 flasker iste i løpet av en måned ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Desember 2025 er

{x = 12}\text{,}

F(x)

passerer 2000 ved

{x \approx 26{,}6}\text{,}

så den første hele måneden over 2000 er

{x = 27}\text{:}

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{1) Omtrent } 1051 \text{ flasker}}} \\ &\underline{\underline{\text{2) I mars 2027}}} \end{aligned}

Desember 2025 er 12 måneder etter desember 2024. Vi finner \( F(12) \) og hvor \( F(x) \) passerer 2000, først ved regning og så grafisk.

Metode: Med kalkulator

1. Regn ut salget i desember 2025 Den første måten er å regne. Modellen er startverdien 620 ganget med vekstfaktoren 1,045 én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor. Desember 2025 er \( {\textcolor{blue}{x = 12}}\text{:} \) \[ F(\textcolor{blue}{12}) = 620 \cdot 1{,}045^{\textcolor{blue}{12}} \approx \textcolor{blue}{1051{,}45} \]

2. Prøv deg fram til 2000 Med kalkulatoren prøver vi to år, \( {x = 24}\text{,} \) og går så fram noen måneder, til salget er over \( \textcolor{red}{2000}\text{:} \) \[ \begin{array}{r|r} x & F(x) \\ \hline 24 & 1783 \\ 26 & 1947 \\ \textcolor{red}{27} & \textcolor{red}{2035} \end{array} \]Salget øker hver måned, og \( {F(26) < \textcolor{red}{2000} < F(\textcolor{red}{27})}\text{.} \) Første gang over \( \textcolor{red}{2000} \) er altså \( {\textcolor{red}{x = 27}}\text{.} \) \( {x = 24} \) er desember 2026, så \( {x = 27} \) er mars 2027.

3. Les av grafen Den andre måten er grafisk. Med kalkulatoren lager vi en verditabell, avrundet til hele flasker, og trekker en jevn kurve gjennom punktene: \[ \begin{array}{r|r} x & F(x) \\ \hline 0 & 620 \\ 6 & 807 \\ 12 & 1051 \\ 18 & 1369 \\ 24 & 1783 \\ 30 & 2322 \end{array} \]

Ved \( {\textcolor{blue}{x = 12}} \) leser vi av omtrent 1050 flasker. Kurven passerer \( \textcolor{red}{2000} \) litt før \( {x = 27}\text{,} \) det samme som vi fant ved regning.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( F \) i CAS, regner ut \( F(12) \) og løser \( {F(x) = 2000} \) med Løs og ≈, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: F(x):=620*1.045^x F(12) Løs(F(x) = 2000, x)

Den første raden er skrevet med «Behold inndata», så den viser 1,045 slik vi skrev det, og ikke som brøken \( \dfrac{209}{200}\text{.} \) CAS gir \( {F(\textcolor{blue}{12}) \approx \textcolor{blue}{1051{,}4465}} \) og \( {x \approx \textcolor{red}{26{,}6076}}\text{.} \) Det ligger mellom måned 26 og 27, og salget øker, så den første hele måneden over 2000 er \( {\textcolor{red}{x = 27}}\text{.} \)

2. Les av grafen Vi tegner \( F \) og linjene \( {x = 12} \) og \( {y = 2000}\text{,} \) og finner skjæringspunktene med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = 620*1.045^x g: x = 12 A = Skjæring(F, g) h: y = 2000 B = Skjæring(F, h)

Grafen gir \( {A \approx (\textcolor{blue}{12},\ \textcolor{blue}{1051{,}4465})} \) og \( {B \approx (\textcolor{red}{26{,}6076},\ \textcolor{red}{2000})}\text{,} \) det samme som CAS. GeoGebra skriver selv punktet den fant, inn i kommandoen.

Oppgave 1b)

Hvor mange prosent vil salget øke med fra desember 2024 til desember 2026 ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal øker salget med:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 187{,}6\,\%}}

Fra desember 2024 til desember 2026 er det 24 måneder. Salget ganges med vekstfaktoren 1,045 hver måned, altså 24 ganger.

Metode: For hånd

1. Finn den samlede vekstfaktoren Desember 2024 er \( {x = 0} \) og desember 2026 er \( {x = 24}\text{.} \) Å gange med vekstfaktoren 24 ganger er det samme som å gange med den opphøyd i 24, som for sparekontoen i videoen Vekstfaktor. Med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \dfrac{F(24)}{F(0)} &= \dfrac{620 \cdot \textcolor{red}{1{,}045}^{24}}{620} \\ &= \textcolor{red}{1{,}045}^{24} \approx \textcolor{blue}{2{,}8760} \end{aligned} \]

2. Les av prosenten Når noe øker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er: \[ \textcolor{blue}{2{,}8760} = 1 + 1{,}8760 = 1 + \dfrac{187{,}60}{100} \]Salget øker altså med omtrent \( 187{,}6\,\% \) fra desember 2024 til desember 2026.

Kontroll: \( {F(24) \approx 1783{,}1} \) flasker er \( {1783{,}1 - 620 = 1163{,}1} \) flere enn 620, og \( {1163{,}1 : 620 \approx 1{,}876}\text{.} \)

Oppgave 2

3 poeng

Tabellen nedenfor viser gjennomsnittlig månedslønn for arbeidstakere i Norge i perioden 2015–2022.Tabellen viser også konsumprisindeksen (KPI) de samme årene.

\begin{array}{r|r|r} \text{År} & \begin{matrix} \text{Gjennomsnittlig} \\ \text{månedslønn} \\ \text{(kroner)} \end{matrix} & \text{KPI} \\ \hline 2015 & 42580 & 100 \\ 2016 & 43640 & 103{,}6 \\ 2017 & 44660 & 105{,}5 \\ 2018 & 46010 & 108{,}4 \\ 2019 & 47720 & 110{,}8 \\ 2020 & 48750 & 112{,}2 \\ 2021 & 50790 & 116{,}1 \\ 2022 & 53150 & 122{,}8 \end{array}

Undersøk hvordan kjøpekraften har endret seg år for år i perioden 2015–2022. Presenter resultatet på en oversiktlig måte.

Vis løsning

Svar

Reallønnen i 2015-kroner avrundet til hele kroner, og endringen fra året før avrundet til én desimal:

\begin{array}{r|r|r} \text{År} & \text{Reallønn} & \text{Endring} \\ \hline 2015 & 42\,580 & \\ 2016 & 42\,124 & \underline{\underline{-1{,}1\,\%}} \\ 2017 & 42\,332 & \underline{\underline{+0{,}5\,\%}} \\ 2018 & 42\,445 & \underline{\underline{+0{,}3\,\%}} \\ 2019 & 43\,069 & \underline{\underline{+1{,}5\,\%}} \\ 2020 & 43\,449 & \underline{\underline{+0{,}9\,\%}} \\ 2021 & 43\,747 & \underline{\underline{+0{,}7\,\%}} \\ 2022 & 43\,282 & \underline{\underline{-1{,}1\,\%}} \end{array}

Kjøpekraften er hva lønnen kan kjøpe. Vi regner om lønnen hvert år til 2015-kroner, reallønnen, og ser hvor mye den endrer seg fra året før.

Metode: Med kalkulator

1. Regn ut reallønnen Reallønnen er lønnen regnet om til kroner med samme verdi som i basisåret 2015, der KPI er 100. Den måler kjøpekraften: \[ \textcolor{green}{\text{reallønn}} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{lønn}}}{\textcolor{blue}{\text{KPI}}} \cdot 100 \]Det hjelper å tenke på KPI som prisen på en vare som kostet 100 kroner i 2015, som sjokoladen i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

For 2016 er: \[ \textcolor{green}{\text{reallønn}} = \dfrac{\textcolor{red}{43\,640}}{\textcolor{blue}{103{,}6}} \cdot 100 \approx \textcolor{green}{42\,124} \]

2. Regn ut endringen fra året før Hvor mange prosent noe endrer seg med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\text{gammel}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Fra 2015 til 2016 gikk reallønnen fra \( 42\,580 \) til \( \textcolor{green}{42\,124} \) kroner: \[ \dfrac{\textcolor{green}{42\,124} - 42\,580}{42\,580} \cdot 100\,\% \approx -1{,}1\,\% \]

3. Lag en oversikt Slik regner vi ut hvert år. Reallønnen er avrundet til hele kroner, og endringen til én desimal: \[ \begin{array}{r|r|r} \text{År} & \textcolor{green}{\text{Reallønn (kr)}} & \text{Endring} \\ \hline 2015 & 42\,580 & \\ 2016 & 42\,124 & -1{,}1\,\% \\ 2017 & 42\,332 & +0{,}5\,\% \\ 2018 & 42\,445 & +0{,}3\,\% \\ 2019 & 43\,069 & +1{,}5\,\% \\ 2020 & 43\,449 & +0{,}9\,\% \\ 2021 & 43\,747 & +0{,}7\,\% \\ 2022 & 43\,282 & -1{,}1\,\% \end{array} \]Kjøpekraften gikk ned i 2016 og i 2022, fordi prisene steg mer enn lønnen de årene. Alle årene mellom gikk den opp, mest i 2019. Fra 2015 til 2022 økte reallønnen med \( {43\,282 - 42\,580 = 702} \) kroner.

Metode: Med regneark

1. Lag oversikten i regnearket Vi skriver 2015 i A2 og \( {\texttt{=A2+1}} \) i A3, månedslønnen i kolonne B og KPI i kolonne C. Reallønnen og endringen fra året før er: \[ \begin{aligned} \text{D2:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=B2/C2*100}} \\ \text{E3:}\quad & \texttt{=(D3-D2)/D2} \end{aligned} \]Vi drar A3, D2 og E3 ned til rad 9, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Kolonne D får tallformat uten desimaler og med tusenskilletegn, og kolonne E prosentformat med én desimal:

Regnearket gir de samme reallønnene og endringene som med kalkulator. Kjøpekraften gikk ned med \( 1{,}1\,\% \) både i 2016 og i 2022, og opp alle årene mellom, mest i 2019 med \( 1{,}5\,\%\text{.} \)

Oppgave 3

2 poeng

Chris arbeider med de seks oppgavene nedenfor. Han har systematisert oppgavene i tre kolonner og kaller de to oppgavene som står i samme kolonne, for et oppgavepar.

Argumenter for hvorfor to oppgaver som er satt opp i oppgavepar på samme måte som ovenfor, alltid vil ha samme svar.

Vis løsning

Svar

Svaret på begge oppgavene er de to tallene ganget sammen og delt på 100:

\underline{\underline{a\,\% \text{ av } b = \dfrac{a \cdot b}{100} = b\,\% \text{ av } a}}

I hvert oppgavepar har prosenten og tallet byttet plass. Vi skriver «\( a\,\% \) av \( b \)» som en brøk ganget med \( b \) og ser at rekkefølgen ikke betyr noe.

Metode: For hånd

1. Regn ut ett oppgavepar Formelen for prosent av et tall forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{b} = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{100} \cdot \textcolor{red}{b} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

For den første kolonnen gir det: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{10}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{50} &= \dfrac{\textcolor{blue}{10}}{100} \cdot \textcolor{red}{50} = 5 \\ \textcolor{red}{50}\,\% \text{ av } \textcolor{blue}{10} &= \dfrac{\textcolor{red}{50}}{100} \cdot \textcolor{blue}{10} = 5 \end{aligned} \]

2. Vis at det alltid gjelder Et oppgavepar er \( \textcolor{blue}{a}\,\% \) av \( \textcolor{red}{b} \) og \( \textcolor{red}{b}\,\% \) av \( \textcolor{blue}{a}\text{.} \) Vi skriver begge som én brøk: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{b} &= \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{100} \cdot \textcolor{red}{b} = \dfrac{\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}}{100} \\ \textcolor{red}{b}\,\% \text{ av } \textcolor{blue}{a} &= \dfrac{\textcolor{red}{b}}{100} \cdot \textcolor{blue}{a} = \dfrac{\textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{blue}{a}}{100} \end{aligned} \]

I et produkt spiller rekkefølgen ingen rolle, \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{blue}{a}}\text{,} \) så de to brøkene er like. Begge svarene er altså de to tallene ganget sammen og delt på 100, så de er alltid like. I de andre kolonnene er svarene \( {\dfrac{30 \cdot 12}{100} = 3{,}6} \) og \( {\dfrac{25 \cdot 8}{100} = 2}\text{.} \)

Oppgave 4

6 poeng

En fotoklubb arrangerer quiz hver torsdag. Det er tre lag som alltid deltar på quizen. På hvert av lagene er det seks personer.

Nedenfor ser du alderen til de seks personene på lag A.

15 \text{ år} \enspace\, 60 \text{ år} \enspace\, 24 \text{ år} \enspace\, 18 \text{ år} \enspace\, 45 \text{ år} \enspace\, 78 \text{ år}

Oppgave 4a)

Bestem medianalderen, gjennomsnittsalderen og standardavviket for alderen til de seks personene på laget.

Vis løsning

Svar

Standardavviket er for hele laget, der vi deler på

n\text{,}

avrundet til én desimal:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Median} = 34{,}5 \text{ år}}} \\ &\underline{\underline{\text{Gjennomsnitt} = 40 \text{ år}}} \\ &\underline{\underline{\text{Standardavvik} \approx 23{,}2 \text{ år}}} \end{aligned}

Vi sorterer de seks aldrene først. Medianen og gjennomsnittet finner vi for hånd, og standardavviket med formelen.

Metode: Med kalkulator

1. Finn medianen og gjennomsnittet Medianen er tallet i midten når tallene står i stigende rekkefølge, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Sortert: \[ 15 \quad 18 \quad \textcolor{blue}{24} \quad \textcolor{blue}{45} \quad 60 \quad 78 \]

Med 6 tall er det to tall i midten, nummer 3 og 4: \[ \text{median} = \dfrac{\textcolor{blue}{24} + \textcolor{blue}{45}}{2} = 34{,}5 \]

Gjennomsnittet er summen delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\bar{x}} &= \dfrac{15 + 18 + 24 + 45 + 60 + 78}{6} \\ &= \dfrac{240}{6} = \textcolor{red}{40} \end{aligned} \]

2. Finn standardavviket Standardavviket måler hvor langt aldrene typisk ligger fra gjennomsnittet \( \textcolor{red}{\bar{x}}\text{:} \) \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{(x_1 - \textcolor{red}{\bar{x}})^2 + \ldots + (x_n - \textcolor{red}{\bar{x}})^2}{n}} \]Vi deler på \( n\text{,} \) fordi vi har hele laget, alle de seks personene. Det er standardavvik p i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Med \( {\textcolor{red}{\bar{x}} = \textcolor{red}{40}} \) er avvikene og kvadratene: \[ \begin{array}{r|r|r} x & x - \textcolor{red}{40} & (x - \textcolor{red}{40})^2 \\ \hline 15 & -25 & 625 \\ 18 & -22 & 484 \\ 24 & -16 & 256 \\ 45 & 5 & 25 \\ 60 & 20 & 400 \\ 78 & 38 & 1444 \\ \hline & \text{Sum} & 3234 \end{array} \]

Det gir: \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{3234}{6}} = \sqrt{539} \approx 23{,}2 \]

Metode: Med regneark

1. Bruk funksjonene i regnearket Vi skriver de seks aldrene i A2 til A7 og bruker MEDIAN, GJENNOMSNITT og STDAV.P: \[ \begin{aligned} \text{D1:}\quad & \texttt{=MEDIAN(A2:A7)} \\ \text{D2:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=GJENNOMSNITT(A2:A7)}} \\ \text{D3:}\quad & \texttt{=STDAV.P(A2:A7)} \end{aligned} \]STDAV.P deler på \( n\text{,} \) og den bruker vi fordi vi har hele laget, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. STDAV.S deler på \( {n - 1}\text{.} \) Vi gir D3 én desimal:

Regnearket gir medianen \( 34{,}5\text{,} \) gjennomsnittet \( \textcolor{red}{40} \) og standardavviket \( 23{,}2\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Du får vite dette om alderen til personene som er med på hvert av de to andre lagene:

Lag B Medianalderen og gjennomsnittsalderen for personene på lag B er høyere enn for lag A, men standardavviket er mindre.

Lag C Medianalderen for personene på lag C er lavere enn for lag A. Gjennomsnittsalderen er høyere enn for lag A. Standardavviket er også høyere enn for lag A.

Oppgave 4b)

Hva kan du si om alderen til personene på lag B og på lag C sammenliknet med personene på lag A ut fra disse opplysningene?

Vis løsning

Svar

Lag B er eldre og mer like gamle enn lag A, og på lag C er minst halvparten yngre enn 34,5 år:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{B: eldre, jevnere alder}}} \\ &\underline{\underline{\text{C: mange unge, noen eldre}}} \\ &\underline{\underline{\text{C: større spredning}}} \end{aligned}

Vi sammenligner med medianen, gjennomsnittet og standardavviket for lag A fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Medianen og gjennomsnittet sier hvor gamle personene typisk er, og standardavviket hvor mye alderen varierer. Vi tar ett lag om gangen.

Metode: For hånd

1. Sammenlign lag B med lag A I a) fant vi for lag A medianen \( \textcolor{blue}{34{,}5} \) år, gjennomsnittet \( \textcolor{red}{40} \) år og standardavviket \( \textcolor{green}{23{,}2} \) år.

Lag B har høyere median og høyere gjennomsnitt, så personene på lag B er generelt eldre enn på lag A. Standardavviket er mindre, så alderen varierer mindre: personene på lag B er mer like gamle.

2. Sammenlign lag C med lag A Medianen er lavere enn \( \textcolor{blue}{34{,}5} \) år, så minst halvparten av personene på lag C er yngre enn \( \textcolor{blue}{34{,}5} \) år. Likevel er gjennomsnittet høyere enn \( \textcolor{red}{40} \) år. Da må noen på lag C være så gamle at de drar gjennomsnittet opp over medianen, slik medianen og gjennomsnittet sammenlignes i videoen Oppgave 3C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Standardavviket er høyere, så alderen varierer mer enn på lag A.

Oppgave 4c)

Sett opp et eksempel som viser en mulig aldersfordeling for lag B og for lag C. Vis at gjennomsnittsalder, medianalder og standardavvik stemmer med opplysningene om alderen til personene på lagene.

Vis løsning

Svar

For eksempel disse aldrene, som oppfyller alle opplysningene:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{B: } 30,\ 40,\ 42,\ 48,\ 50,\ 60 \text{ år}}} \\ &\underline{\underline{\text{C: } 16,\ 18,\ 20,\ 22,\ 84,\ 92 \text{ år}}} \end{aligned}

Vi sammenligner med medianen, gjennomsnittet og standardavviket for lag A fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Oppgaven er åpen, så mange eksempler er riktige. Vi velger seks aldre for hvert lag og sjekker de tre opplysningene mot lag A: median 34,5 år, gjennomsnitt 40 år og standardavvik 23,2 år.

Metode: For hånd

1. Lag et eksempel for lag B Lag B trenger median over \( \textcolor{blue}{34{,}5} \) år, gjennomsnitt over \( \textcolor{red}{40} \) år og standardavvik under \( \textcolor{green}{23{,}2} \) år. Vi velger seks aldre som ligger tett rundt 45 år: \[ 30 \quad 40 \quad 42 \quad 48 \quad 50 \quad 60 \]

Medianen er \( {\dfrac{42 + 48}{2} = 45}\text{,} \) og gjennomsnittet er \( {\dfrac{270}{6} = 45}\text{.} \) Avvikene fra 45 er \( {-15}\text{,} \) \( {-5}\text{,} \) \( {-3}\text{,} \) 3, 5 og 15. Med formelen for standardavviket fra a), som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, får vi: \[ \begin{aligned} \sigma &= \sqrt{\dfrac{225 + 25 + 9 + 9 + 25 + 225}{6}} \\ &= \sqrt{\dfrac{518}{6}} \approx 9{,}3 \end{aligned} \]Både \( {45 > \textcolor{blue}{34{,}5}} \) og \( {45 > \textcolor{red}{40}}\text{,} \) og \( {9{,}3 < \textcolor{green}{23{,}2}}\text{.} \)

2. Lag et eksempel for lag C Lag C trenger median under \( \textcolor{blue}{34{,}5} \) år, men gjennomsnitt over \( \textcolor{red}{40} \) år og standardavvik over \( \textcolor{green}{23{,}2} \) år. Vi velger fire unge og to svært gamle: \[ 16 \quad 18 \quad 20 \quad 22 \quad 84 \quad 92 \]

Medianen er \( {\dfrac{20 + 22}{2} = 21}\text{,} \) og gjennomsnittet er \( {\dfrac{252}{6} = 42}\text{.} \) Avvikene fra 42 er \( {-26}\text{,} \) \( {-24}\text{,} \) \( {-22}\text{,} \) \( {-20}\text{,} \) 42 og 50, og kvadratene av dem er til sammen: \[ \begin{aligned} &676 + 576 + 484 + 400 \\ &{} + 1764 + 2500 = 6400 \end{aligned} \]

Det gir: \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{6400}{6}} \approx 32{,}7 \]Både \( {21 < \textcolor{blue}{34{,}5}} \) og \( {42 > \textcolor{red}{40}}\text{,} \) og \( {32{,}7 > \textcolor{green}{23{,}2}}\text{.} \)

Oppgave 5

3 poeng

Tobine har en fast arbeidstid på 162,5 timer hver måned og en fast månedslønn på

35\,750

kroner.

Ved overtid får hun et tillegg på

40\,\%\text{.}

Tobine har et pensjonstrekk på

2\,\%

og et skattetrekk på

18\,\%\text{.}

En måned arbeidet hun 10 timer overtid.

Bestem nettoinntekten til Tobine denne måneden.

Vis løsning

Svar

Med skattetrekket regnet av lønnen etter pensjonstrekket, avrundet til hele øre:

\underline{\underline{31\,203{,}79 \text{ kroner}}}

Vi finner timelønnen og overtidsbetalingen, og så bruttolønnen. Pensjonstrekket trekkes fra før skattetrekket regnes ut, og resten etter skatten er nettoinntekten.

Metode: For hånd

1. Finn bruttolønnen Den faste månedslønnen er for 162,5 timer, så timelønnen er: \[ \dfrac{35\,750\,\text{kr}}{162{,}5 \text{ timer}} = \textcolor{blue}{220} \text{ kr per time} \]

Med et tillegg på \( 40\,\% \) er vekstfaktoren \( {1 + 0{,}40 = 1{,}40}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. For de 10 timene overtid får hun: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{220} \cdot 1{,}40 &= 308 \text{ kr per time} \\ 10 \cdot 308 &= 3080 \text{ kr} \end{aligned} \]

Bruttolønnen denne måneden er: \[ 35\,750 + 3080 = \textcolor{red}{38\,830} \text{ kr} \]

2. Trekk fra pensjon og skatt Prosent av et tall finner vi med: \[ a\,\% \text{ av tall} = \dfrac{a}{100} \cdot \text{tall} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Pensjonstrekket er \( 2\,\% \) av bruttolønnen: \[ 0{,}02 \cdot \textcolor{red}{38\,830} = 776{,}60 \]

Pensjonstrekket gir fradrag i skatten, så det trekkes fra bruttolønnen før skattetrekket regnes ut. Det som er igjen, kalles trekkgrunnlaget: \[ \textcolor{red}{38\,830} - 776{,}60 = \textcolor{green}{38\,053{,}40} \]

Skattetrekket er \( 18\,\% \) av trekkgrunnlaget: \[ 0{,}18 \cdot \textcolor{green}{38\,053{,}40} \approx 6849{,}61 \]

3. Finn nettoinntekten Nettoinntekten er trekkgrunnlaget minus skattetrekket: \[ \begin{aligned} \text{netto} &= \textcolor{green}{38\,053{,}40} - 6849{,}61 \\ &= 31\,203{,}79 \end{aligned} \]

Oppgave 6

4 poeng

Tabellen nedenfor viser hvor mange timer menn og kvinner brukte på ulike aktiviteter en gjennomsnittsdag i 1970, 1990 og 2010.

\small \begin{array}{l|ccc} & & \text{Menn} & \\ \hline \text{År} & 1970 & 1990 & 2010 \\ \hline \begin{aligned} &\text{Inntektsgivende} \\ &\text{arbeid} \end{aligned} & 5{,}48 & 4{,}50 & 4{,}17 \\ \text{Husholdsarbeid} & 2{,}22 & 2{,}60 & 3{,}00 \\ \text{Utdanning} & 0{,}38 & 0{,}48 & 0{,}45 \\ \hline & & \text{Kvinner} & \\ \hline \text{År} & 1970 & 1990 & 2010 \\ \hline \begin{aligned} &\text{Inntektsgivende} \\ &\text{arbeid} \end{aligned} & 1{,}93 & 2{,}80 & 3{,}02 \\ \text{Husholdsarbeid} & 5{,}92 & 4{,}37 & 3{,}83 \\ \text{Utdanning} & 0{,}28 & 0{,}55 & 0{,}47 \end{array}

Kilde: SSB

Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.

Gjør beregninger og sammenlikninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger, diagrammer og forklarende kommentarer.

Vis løsning

Svar

Forskjellen mellom menn og kvinner i timer per dag ble mye mindre fra 1970 til 2010:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Inntektsgivende: } 3{,}55 \to 1{,}15}} \\ &\underline{\underline{\text{Husholdsarbeid: } 3{,}70 \to 0{,}83}} \end{aligned}

Oppgaven er åpen, så mange presentasjoner er riktige. Vi regner ut hvor mye arbeidet har endret seg for menn og kvinner fra 1970 til 2010, tegner to diagrammer og trekker fram to funn.

Metode: Med kalkulator

1. Regn ut endringene Tallene er timer med desimaler: 5,48 timer er omtrent 5 timer og 29 minutter. Hvor mange prosent noe endrer seg med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\text{gammel}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Inntektsgivende arbeid fra 1970 til 2010, for \( \textcolor{blue}{\text{menn}} \) og \( \textcolor{red}{\text{kvinner}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{Menn: }} & \dfrac{4{,}17 - 5{,}48}{5{,}48} \approx -23{,}9\,\% \\ \textcolor{red}{\text{Kvinner: }} & \dfrac{3{,}02 - 1{,}93}{1{,}93} \approx +56{,}5\,\% \end{aligned} \]

Husholdsarbeid fra 1970 til 2010: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{Menn: }} & \dfrac{3{,}00 - 2{,}22}{2{,}22} \approx +35{,}1\,\% \\ \textcolor{red}{\text{Kvinner: }} & \dfrac{3{,}83 - 5{,}92}{5{,}92} \approx -35{,}3\,\% \end{aligned} \]

2. Sammenlign menn og kvinner Forskjellen mellom menn og kvinner i inntektsgivende arbeid, i timer per dag: \[ \begin{aligned} 1970\text{: } & 5{,}48 - 1{,}93 = 3{,}55 \\ 2010\text{: } & 4{,}17 - 3{,}02 = 1{,}15 \end{aligned} \]

Forskjellen i husholdsarbeid: \[ \begin{aligned} 1970\text{: } & 5{,}92 - 2{,}22 = 3{,}70 \\ 2010\text{: } & 3{,}83 - 3{,}00 = 0{,}83 \end{aligned} \]

3. Tegn diagrammene Et linjediagram viser utviklingen over tid, og et søylediagram er fint når vi sammenligner grupper. Begge får en tittel, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

4. Trekk fram to funn Funn 1: \( \textcolor{red}{\text{Kvinner}} \) brukte \( 56{,}5\,\% \) mer tid på inntektsgivende arbeid i 2010 enn i 1970, og \( \textcolor{blue}{\text{menn}} \) \( 23{,}9\,\% \) mindre. Forskjellen ble mindre, fra 3,55 til 1,15 timer per dag.

Funn 2: \( \textcolor{blue}{\text{Menn}} \) brukte \( 35{,}1\,\% \) mer tid på husholdsarbeid, og \( \textcolor{red}{\text{kvinner}} \) \( 35{,}3\,\% \) mindre. Forskjellen ble mindre, fra 3,70 til 0,83 timer per dag.

Andre funn er også riktige, for eksempel at tiden til utdanning har økt litt for begge.

Metode: Med regneark

1. Regn ut endringene og forskjellene Vi lager én tabell for inntektsgivende arbeid i A1 til D6 og én for husholdsarbeid i A8 til D13. Årene skriver vi som tekst, med en apostrof foran ('1970), så Excel bruker dem som navn langs aksen, og tallene i B3 til D5 og B10 til D12 får to desimaler, som i oppgaven. Endringen fra 1970 til 2010 og forskjellen mellom menn og kvinner er: \[ \begin{aligned} \text{B6:}\quad & \texttt{=(B5-B3)/B3} \\ \text{D3:}\quad & \texttt{=B3-C3} \\ \text{B13:}\quad & \texttt{=(B12-B10)/B10} \\ \text{D10:}\quad & \texttt{=C10-B10} \end{aligned} \]Vi drar B6 bortover til C6 og B13 til C13, og D3 ned til rad 5 og D10 ned til rad 12. Rad 6 og 13 får prosentformat med én desimal:

2. Lag diagrammene Vi markerer A2 til C5 og velger Sett inn, Linjediagram, Linje med indikatorer, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Til husholdsarbeidet markerer vi A9 til C12 og velger Stående stolpediagram, med dataetiketter. Hvert diagram får en tittel:

Regnearket gir de samme endringene som med kalkulator. Forskjellen mellom menn og kvinner ble mindre, fra 3,55 til 1,15 timer per dag i inntektsgivende arbeid og fra 3,70 til 0,83 timer i husholdsarbeid.

Oppgave 7

3 poeng

Julia har tatt opp et forbrukslån som skal betales ned i løpet av de neste 12 månedene.

Hun skal betale ned på lånet hver måned.

Betalingsplanen ser slik ut:

\scriptsize \begin{array}{c|r|r|r|r} \text{Måned} & \begin{matrix} \text{Termin-} \\ \text{beløp} \end{matrix} & \text{Renter} & \text{Avdrag} & \text{Restlån} \\ & \text{(kr)} & \text{(kr)} & \text{(kr)} & \text{(kr)} \\ \hline 1 & 6\,962{,}00 & 1\,275{,}00 & 5\,687{,}00 & 69\,313{,}00 \\ 2 & 6\,962{,}00 & 1\,178{,}32 & 5\,783{,}68 & 63\,529{,}32 \\ 3 & 6\,962{,}00 & 1\,080{,}00 & 5\,882{,}00 & 57\,647{,}32 \\ 4 & 6\,962{,}00 & 980{,}00 & 5\,982{,}00 & 51\,665{,}32 \\ 5 & 6\,962{,}00 & 878{,}31 & 6\,083{,}69 & 45\,581{,}63 \\ 6 & 6\,962{,}00 & 774{,}89 & 6\,187{,}11 & 39\,394{,}52 \\ 7 & 6\,962{,}00 & 669{,}71 & 6\,292{,}29 & 33\,102{,}23 \\ 8 & 6\,962{,}00 & 562{,}74 & 6\,399{,}26 & 26\,702{,}97 \\ 9 & 6\,962{,}00 & 453{,}95 & 6\,508{,}05 & 20\,194{,}92 \\ 10 & 6\,962{,}00 & 343{,}31 & 6\,618{,}69 & 13\,576{,}23 \\ 11 & 6\,962{,}00 & 230{,}80 & 6\,731{,}20 & 6\,845{,}03 \\ 12 & 6\,961{,}39 & 116{,}37 & 6\,845{,}03 & \text{-} \end{array}

Bruk betalingsplanen til å avgjøre • om lånet er et serielån eller et annuitetslån • hvor mye penger Julia har lånt • hvor mange prosent Julia betaler i månedlig rente

Vis løsning

Svar

Terminbeløpet er det samme hver måned:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Annuitetslån}}} \\ &\underline{\underline{\text{Lånt: } 75\,000 \text{ kroner}}} \\ &\underline{\underline{\text{Månedlig rente: } 1{,}7\,\%}} \end{aligned}

Vi ser hvilken kolonne som er lik hver måned. Lånet finner vi fra den første måneden, og renten er rentene den første måneden delt på lånet.

Metode: For hånd

1. Avgjør hvilken lånetype det er Terminbeløpet er det Julia betaler til banken hver måned, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Det er rentene pluss avdraget: \[ \text{terminbeløp} = \textcolor{red}{\text{renter}} + \textcolor{blue}{\text{avdrag}} \]

I et serielån er avdraget like stort hver måned, så terminbeløpet synker. I et annuitetslån er terminbeløpet like stort hver måned. I planen er terminbeløpet 6962 kroner hver måned, mens avdragene øker og rentene synker, så lånet er et annuitetslån. Den siste terminen er 61 øre mindre, fordi den bare betaler det som er igjen av lånet.

2. Finn hvor mye hun har lånt Avdraget er det som faktisk betales ned på lånet, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Etter første måned skylder Julia \( \textcolor{green}{69\,313} \) kroner, og da har hun betalt \( \textcolor{blue}{5687} \) kroner i avdrag: \[ \textcolor{green}{69\,313} + \textcolor{blue}{5687} = \textcolor{green}{75\,000} \]

3. Finn den månedlige renten Rentene er det hun skylder, ganget med rentesatsen, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Den første måneden skylder hun hele lånet, så rentesatsen er: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1275}}{\textcolor{green}{75\,000}} = 0{,}017 = 1{,}7\,\% \]

Kontroll: Måned 2: \( {0{,}017 \cdot 69\,313 \approx 1178{,}32} \) kroner, som i planen.

Oppgave 8

4 poeng

En barneskole skal kjøpe lesehuler til de yngste elevene. Se bildene ovenfor. En lesehule har mål som vist på tegningen nedenfor. Dybden er

1000\,\text{mm}\text{.}

Oppgave 8a)

Bestem volumet av rommet inne i lesehulen. Gi svaret i kubikkmeter.

Vis løsning

Svar

Rommet over skuffene, med forsiden som grunnflate og dybden som høyde:

\underline{\underline{V = 1{,}287\,\text{m}^3}}

Rommet over skuffene er et prisme. Forsiden er et rektangel med en trekant over, og dybden er 1000 mm. Vi gjør om til meter og ganger arealet av forsiden med dybden.

Metode: For hånd

1. Finn arealet av forsiden Rommet inne i lesehulen er delen over skuffene: veggene, som er 1047 mm høye, og taket, som er 480 mm høyt. Det er 1000 mm på en meter, så bredden er \( \textcolor{blue}{1{,}0\,\text{m}}\text{,} \) veggene \( \textcolor{red}{1{,}047\,\text{m}} \) og taket \( \textcolor{green}{0{,}48\,\text{m}}\text{.} \)

Arealet av et rektangel er lengden ganget med bredden, og arealet av en trekant er grunnlinja ganget med høyden delt på to, som i videoen Areal og Omkrets. Vi kaller arealet av rektangelet \( A_1 \) og arealet av trekanten \( A_2\text{:} \) \[ \begin{aligned} A_1 &= \textcolor{blue}{1{,}0\,\text{m}} \cdot \textcolor{red}{1{,}047\,\text{m}} = 1{,}047\,\text{m}^2 \\ A_2 &= \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}0\,\text{m}} \cdot \textcolor{green}{0{,}48\,\text{m}}}{2} = 0{,}24\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Til sammen er arealet av forsiden: \[ \begin{aligned} A_1 + A_2 &= 1{,}047\,\text{m}^2 + 0{,}24\,\text{m}^2 \\ &= 1{,}287\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Gang med dybden Volumet av et prisme er grunnflaten ganget med høyden, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = G \cdot h \]

Her er grunnflaten \( G \) forsiden, \( 1{,}287\,\text{m}^2\text{,} \) og høyden \( h \) er dybden, \( 1{,}0\,\text{m}\text{:} \) \[ V = 1{,}287\,\text{m}^2 \cdot 1{,}0\,\text{m} = 1{,}287\,\text{m}^3 \]

Lesehulen har en sekskantet inngang. Sekskanten er regulær. Alle sidene i sekskanten er

398\,\text{mm}\text{.}

Oppgave 8b)

Gjør beregninger og bestem arealet av den sekskantede inngangen. Gi svaret i kvadratmeter.

Vis løsning

Svar

Avrundet til to desimaler er arealet av inngangen:

\underline{\underline{A \approx 0{,}41\,\text{m}^2}}

En regulær sekskant kan deles i seks like store trekanter fra midten. Høyden i hver trekant er halvparten av de 689 mm mellom den øverste og den nederste kanten.

Metode: For hånd

1. Del sekskanten i trekanter Vi trekker linjer fra midten av sekskanten til hjørnene. Da får vi seks like trekanter, og hver har en side i sekskanten, \( \textcolor{blue}{398\,\text{mm}}\text{,} \) som grunnlinje. Høyden går fra midten rett ned på en kant, halvparten av 689 mm: \[ \textcolor{red}{h} = \dfrac{689\,\text{mm}}{2} = \textcolor{red}{344{,}5\,\text{mm}} \]

Det er 1000 mm på en meter, så \( {\textcolor{blue}{398\,\text{mm}} = \textcolor{blue}{0{,}398\,\text{m}}} \) og \( {\textcolor{red}{344{,}5\,\text{mm}} = \textcolor{red}{0{,}3445\,\text{m}}}\text{.} \)

2. Regn ut arealet Arealet av en trekant er grunnlinja \( \textcolor{blue}{g} \) ganget med høyden \( \textcolor{red}{h} \) delt på to, som i videoen Areal og Omkrets: \[ A_{\text{trekant}} = \dfrac{\textcolor{blue}{g} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]

Sekskanten er seks slike trekanter: \[ \begin{aligned} A &= 6 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}398\,\text{m}} \cdot \textcolor{red}{0{,}3445\,\text{m}}}{2} \\ A &\approx 0{,}4113\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Kontroll: Med Pytagoras' setning er høyden \( {\sqrt{398^2 - 199^2} \approx 344{,}7\,\text{mm}}\text{,} \) og arealet blir også \( 0{,}41\,\text{m}^2 \) avrundet.

Ferdig med settet? Se de andre 2P-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.