Universitetseksamen etter tema

Øv på ett tema om gangen med oppgavene fra universitetseksamenene vi har lagt ut, foreløpig NTNU Matematikk 1. Velg område og tema, så henter vi oppgavene fra alle settene. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Område

Emne

Tema

vektorrom

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i NTNU Matematikk 1 om vektorrom

TMA4400 ordinær eksamen 2025 - Del 1

Oppgave 4

4 poeng

Flere oppgaver om vektorrom

Nedenfor ser du fem mengder av vektorer i

\mathbf{R}^3\text{.}

Merk av den mengden som er lineært uavhengig.

{\small \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -5 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}}

{\small \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}}

{\small \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -5 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}}

{\small \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} \right\}}

{\small \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}}

Vis løsning

Svar

Riktig alternativ er C.

\underline{\underline{\left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -5 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}}}

Vi ser at A, B, D og E er avhengige med en gang. Så sjekker vi C med determinanten.

1. Skriv opp kravet Vektorene er lineært uavhengige når dette bare holder med alle \( c \) lik \( 0\text{:} \) \[ c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} \]

2. Se bort fra de avhengige A har fire vektorer med tre koordinater. Det gir tre likninger med fire ukjente, og da finnes det alltid andre løsninger enn bare nuller: \[ 4 \text{ vektorer} > 3 \text{ koordinater} \]

B og E har nullvektoren med. Da kan vi sette \( 1 \) foran den og \( 0 \) foran resten. For B: \[ 0\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{0} \]

For E: \[ 0\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{0} \]

I D er den andre vektoren to ganger den første: \[ \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

3. Regn ut determinanten for C Tre vektorer i \( \mathbf{R}^3 \) er uavhengige når determinanten ikke er \( 0\text{.} \) Formelen for en \( 3 \times 3 \)-matrise, utviklet langs første rad, forteller oss at: \[ \begin{aligned} & \begin{vmatrix} \textcolor{red}{a} & \textcolor{blue}{b} & \textcolor{green}{c} \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \\ &= \textcolor{red}{a}(ei - fh) - \textcolor{blue}{b}(di - fg) \\ &\quad + \textcolor{green}{c}(dh - eg) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Determinanter 3x3 matrise.

Vi setter vektorene inn som kolonner, så her er: \[ \begin{vmatrix} \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{-5} & \textcolor{green}{1} \\ 1 & 4 & -2 \\ -3 & 2 & 3 \end{vmatrix} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{2}(4 \cdot 3 - (-2) \cdot 2) \\ &- (\textcolor{blue}{-5})(1 \cdot 3 - (-2)(-3)) \\ &+ \textcolor{green}{1}(1 \cdot 2 - 4 \cdot (-3)) \\ &= \textcolor{red}{32} \textcolor{blue}{- 15} + \textcolor{green}{14} \\ &= 31 \end{aligned} \]

Determinanten er ikke \( 0\text{,} \) så vektorene i C er lineært uavhengige.

Oppgavene

Oppgave 4

Svar