Universitetseksamen etter tema

Vannoverflaten er en sirkel, så vi trenger radien, og den får vi fra Pytagoras. Volumet er så summen av tynne sirkelskiver, altså integralet av arealet.

1. Finn radien til vannoverflaten Vi kaller radien til vannoverflaten \( \textcolor{red}{r}\text{.} \) Midten av kula ligger \( 10 \) over bunnen, og vannflaten ligger \( x \) over bunnen. Det gir en rettvinklet trekant:

Pytagoras forteller oss at: \[ \textcolor{red}{r}^2 + (10 - x)^2 = 10^2 \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{r}^2\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r}^2 &= 100 - (100 - 20x + x^2) \\ &= \textcolor{red}{20x - x^2} \end{aligned} \]

2. Finn arealet Arealet av en sirkel er \( \pi \textcolor{red}{r}^2\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi for \( {0 \le x \le 10}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{A(x)} = \pi\textcolor{red}{(20x - x^2)} \]

3. Sett opp og regn ut integralet En tynn skive med vann har volum areal ganger tykkelse, og volumet er summen av alle skivene, som i videoen Omdreiningslegeme x-akse. \( x \) er øvre grense, så vi kaller høyden i integralet for \( t\text{:} \) \[ \begin{aligned} V(x) &= \int_0^x \textcolor{blue}{A(t)}\,dt \\ &= \int_0^x \pi(20t - t^2)\,dt \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} V(x) &= \pi\left[10t^2 - \dfrac{t^3}{3}\right]_0^x \\ &= \pi\left(10x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right) \end{aligned} \]

Kontroll: Full skål, \( {x = 10}\text{,} \) gir \( {\pi\left(1000 - \dfrac{1000}{3}\right) = \dfrac{2000\pi}{3}}\text{,} \) som er volumet \( {\dfrac{2}{3}\pi \cdot 10^3} \) av en halvkule.