Hopp til hovedinnholdet

Universitetseksamen etter tema

Øv på ett tema om gangen med oppgavene fra universitetseksamenene vi har lagt ut, foreløpig NTNU Matematikk 1. Velg område og tema, så henter vi oppgavene fra alle settene. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Område

Emne

programmering

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i NTNU Matematikk 1 om programmering

Oppgavene

TMA4400 ordinær eksamen 2025 - Del 1

Oppgave 3

4 poeng

Følgende kode for Eulers eksplisitte metode er gitt under.
Hvilken differensiallikning løser metoden numerisk?
A {y′(t)=y(t)(1−y(t)),t∈(0,10],y(0)=0,1. {\begin{cases} y'(t) = y(t)(1 - y(t)), \\ t \in (0, 10], \\ y(0) = 0{,}1. \end{cases}} B {y′(t)=y(t)(1−y(t)),t∈(0,10000],y(0)=0,1. {\begin{cases} y'(t) = y(t)(1 - y(t)), \\ t \in (0, 10000], \\ y(0) = 0{,}1. \end{cases}} C {y′(t)=y(t)+hy(t)(1−y(t)),t∈(0,10],y(0)=0,1. {\begin{cases} y'(t) = y(t) \\ \quad + hy(t)(1 - y(t)), \\ t \in (0, 10], \\ y(0) = 0{,}1. \end{cases}} D {y′(t)=y(t)+y(t)(1−y(t)),t∈(0,10],y(0)=0,1. {\begin{cases} y'(t) = y(t) \\ \quad + y(t)(1 - y(t)), \\ t \in (0, 10], \\ y(0) = 0{,}1. \end{cases}} E {y′(t)=hy(t)(1−y(t)),t∈(0,10],y(0)=0,1. {\begin{cases} y'(t) = hy(t)(1 - y(t)), \\ t \in (0, 10], \\ y(0) = 0{,}1. \end{cases}}
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Riktig alternativ er A.
{y′(t)=y(t)(1−y(t)),t∈(0,10],y(0)=0,1‾‾ \underline{\underline{\begin{cases} y'(t) = y(t)(1 - y(t)), \\ t \in (0, 10], \\ y(0) = 0{,}1 \end{cases}}}
Vi sammenligner linja i løkka med formelen for Eulers metode. Det som står ganget med steglengden, er høyresiden i differensiallikningen.
1. Finn høyresiden Eulers metode for \( {y' = \textcolor{blue}{f(t, y)}} \) forteller oss at: \[ y_{i+1} = y_i + \textcolor{red}{h} \cdot \textcolor{blue}{f(t_i, y_i)} \]Hvis du er usikker på Eulers metode, kan du se videoen Eulers metode.
Linja i løkka sier: \[ y_{i+1} = y_i + \textcolor{red}{h} \cdot \textcolor{blue}{y_i(1 - y_i)} \]
Det betyr at \( {\textcolor{blue}{f(t, y) = y(1 - y)}}\text{,} \) og likningen er: \[ y'(t) = y(t)(1 - y(t)) \]Steglengden \( \textcolor{red}{h} \) hører til metoden, ikke til likningen, så C, D og E faller bort.
2. Finn intervallet og startverdien Koden tar \( N \) steg med lengde \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) så den ender i: \[ t = N\textcolor{red}{h} = t_{\text{end}} = 10 \]\( {N = 10000} \) er antall steg, ikke sluttiden, så B faller bort.
Den første verdien i lista er startverdien: \[ y(0) = y_0 = 0{,}1 \]