Hopp til hovedinnholdet

Universitetseksamen etter tema

Øv på ett tema om gangen med oppgavene fra universitetseksamenene vi har lagt ut, foreløpig NTNU Matematikk 1. Velg område og tema, så henter vi oppgavene fra alle settene. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Område

Emne

numerisk derivasjon

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i NTNU Matematikk 1 om numerisk derivasjon

Oppgavene

TMA4400 ordinær eksamen 2025 - Del 2

Oppgave 4

10 poeng

La f(x)=x3+ex. {f(x) = \sqrt{x^3 + e^x}}\text{.} Bruk approksimasjonen
f′′(x0)≈1h2(f(x0+h)−2f(x0)+f(x0−h)) \begin{aligned} f''(x_0) \approx {} & \dfrac{1}{h^2}\big(f(x_0 + h) \\ & - 2f(x_0) + f(x_0 - h)\big) \end{aligned}
med h=0,1 {h = 0{,}1} og x0=1 {x_0 = 1} til å regne ut en tilnærmingsverdi til f′′(1). f''(1)\text{.}
Vis deretter at feilen i denne approksimasjonen er begrenset av
h212∣f(4)(ξ)∣,for ξ∈(x0−h,x0+h) \dfrac{h^2}{12}\left|f^{(4)}(\xi)\right|, \quad \text{for } \xi \in (x_0 - h, x_0 + h)
Vink: Du kan gå ut ifra at f(k)(x) f^{(k)}(x) for k=1,2,3,4 {k = 1, 2, 3, 4} alle er kontinuerlige på intervallet [x0−h,x0+h], {[x_0 - h, x_0 + h]}\text{,} men du trenger ikke å regne ut disse.
Taylors teorem er gitt som
f(x0+h)=f(x0)+hf′(x0)+12!h2f′′(x0)+13!h3f′′′(x0)+14!h4f(4)(c), \begin{aligned} f(x_0 + h) = {} & f(x_0) + hf'(x_0) \\ & + \dfrac{1}{2!}h^2f''(x_0) \\ & + \dfrac{1}{3!}h^3f'''(x_0) \\ & + \dfrac{1}{4!}h^4f^{(4)}(c), \end{aligned}
for c c mellom x0 x_0 og x0+h. {x_0 + h}\text{.}
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Tilnærmingen er avrundet til tre desimaler, og feilen gjelder for en ξ∈(x0−h,x0+h): {\xi \in (x_0 - h, x_0 + h)}\text{:}
f′′(1)≈1,120‾‾ \underline{\underline{f''(1) \approx 1{,}120}}
feil=h212∣f(4)(ξ)∣‾‾ \underline{\underline{\text{feil} = \dfrac{h^2}{12}\left|f^{(4)}(\xi)\right|}}
Vi setter først inn tallene. For feilen skriver vi opp Taylors teorem for både \( {+h} \) og \( {-h}\text{,} \) og legger dem sammen, for da faller oddetallsleddene bort.
1. Regn ut tilnærmingen Vi regner ut de tre funksjonsverdiene med kalkulator, med seks desimaler så vi ikke runder av for tidlig: \[ \begin{aligned} f(1{,}1) &= \sqrt{1{,}1^3 + e^{1{,}1}} \approx 2{,}082106 \\ f(1) &= \sqrt{1 + e} \approx 1{,}928285 \\ f(0{,}9) &= \sqrt{0{,}9^3 + e^{0{,}9}} \approx 1{,}785666 \end{aligned} \]
Parentesen i approksimasjonen blir: \[ \begin{aligned} & f(1{,}1) - 2f(1) + f(0{,}9) \\ &\approx 2{,}082106 - 3{,}856570 + 1{,}785666 \\ &= 0{,}011202 \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ f''(1) \approx \dfrac{1}{0{,}1^2} \cdot 0{,}011202 \approx 1{,}120 \]
2. Skriv opp Taylor begge veier Taylors teorem står i oppgaven, og du ser hvor leddene kommer fra i videoen Taylor & Mclauren polynomer DEL 2. Vi skriver det opp for \( h \) med \( \textcolor{red}{c_1} \) mellom \( x_0 \) og \( {x_0 + h}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x_0 + h) = {} & f + hf' + \dfrac{h^2}{2}f'' \\ & + \dfrac{h^3}{6}f''' + \dfrac{h^4}{24}f^{(4)}(\textcolor{red}{c_1}) \end{aligned} \]
Her står \( f\text{,} \) \( f'\text{,} \) \( f'' \) og \( f''' \) for verdiene i \( x_0\text{.} \) Så setter vi inn \( {-h}\text{,} \) med \( \textcolor{blue}{c_2} \) mellom \( {x_0 - h} \) og \( x_0\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x_0 - h) = {} & f - hf' + \dfrac{h^2}{2}f'' \\ & - \dfrac{h^3}{6}f''' + \dfrac{h^4}{24}f^{(4)}(\textcolor{blue}{c_2}) \end{aligned} \]
3. Legg sammen og finn feilen Legger vi sammen, faller leddene med \( h \) og \( h^3 \) bort: \[ \begin{aligned} & f(x_0 + h) + f(x_0 - h) \\ &= 2f + h^2f'' \\ &\quad + \dfrac{h^4}{24}\big(f^{(4)}(\textcolor{red}{c_1}) + f^{(4)}(\textcolor{blue}{c_2})\big) \end{aligned} \]
Vi kaller approksimasjonen \( \textcolor{green}{T}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{T} = \dfrac{f(x_0 + h) - 2f + f(x_0 - h)}{h^2} \]
Vi flytter \( 2f \) over og deler på \( h^2\text{.} \) Da står \( \textcolor{green}{T} \) minus \( f'' \) igjen, altså feilen: \[ \begin{aligned} & \textcolor{green}{T} - f''(x_0) \\ &= \dfrac{h^2}{24}\big(f^{(4)}(\textcolor{red}{c_1}) + f^{(4)}(\textcolor{blue}{c_2})\big) \\ &= \dfrac{h^2}{12} \cdot \dfrac{f^{(4)}(\textcolor{red}{c_1}) + f^{(4)}(\textcolor{blue}{c_2})}{2} \end{aligned} \]
4. Bruk skjærsetningen Brøken til slutt er gjennomsnittet av to verdier til \( f^{(4)}\text{,} \) så den ligger mellom dem. \( f^{(4)} \) er kontinuerlig, så skjærsetningen forteller oss at den treffer gjennomsnittet i et punkt \( \xi \) mellom \( \textcolor{red}{c_1} \) og \( \textcolor{blue}{c_2}\text{,} \) som i videoen Skjærsetningen: \[ f^{(4)}(\xi) = \dfrac{f^{(4)}(\textcolor{red}{c_1}) + f^{(4)}(\textcolor{blue}{c_2})}{2} \]
Siden \( \textcolor{blue}{c_2} \) ligger til venstre for \( x_0 \) og \( \textcolor{red}{c_1} \) til høyre, er \( {\xi \in (x_0 - h, x_0 + h)}\text{.} \) Tar vi absoluttverdi, er feilen: \[ \left|\textcolor{green}{T} - f''(x_0)\right| = \dfrac{h^2}{12}\left|f^{(4)}(\xi)\right| \]