Universitetseksamen etter tema

\( f' \) er stigningstallet til \( f\text{,} \) og \( f'' \) er stigningstallet til \( f'\text{.} \) Vi leser av hvor \( f' \) er positiv, stiger og synker.

1. Les av grafen til den deriverte \( f'(x) \) er stigningstallet til tangenten til \( f\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Vi leser av: \[ \begin{aligned} f'(x) &\ge 0 \text{ på hele } (0, 1) \\ f'(x) &= 0 \text{ i } x = \dfrac{1}{4} \text{ og } x = \dfrac{3}{4} \\ f'(x) &\approx 1 \text{ nær } x = 0,\ \dfrac{1}{2},\ 1 \end{aligned} \]

Vi leser også av hvor \( f' \) \( \textcolor{blue}{\text{synker}} \) og \( \textcolor{red}{\text{stiger}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{synker}} &: \ \left(0, \dfrac{1}{4}\right) \text{ og } \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}\right) \\ \textcolor{red}{\text{stiger}} &: \ \left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}\right) \text{ og } \left(\dfrac{3}{4}, 1\right) \end{aligned} \]

2. Finn formen til grafen \( f \) starter i \( {f(0) = 0}\text{.} \) Stigningstallet forteller oss at: \[ \begin{aligned} f' \ge 0 &\Rightarrow f \text{ stiger} \\ f' \ \textcolor{blue}{\text{synker}} &\Rightarrow f \ \textcolor{blue}{\text{krummer nedover}} \\ f' \ \textcolor{red}{\text{stiger}} &\Rightarrow f \ \textcolor{red}{\text{krummer oppover}} \end{aligned} \]

I \( {x = \dfrac{1}{4}} \) og \( {x = \dfrac{3}{4}} \) er tangenten vannrett, men \( f' \) skifter ikke fortegn. Det er terrassepunkter, som i videoen Oppgave 6A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og ikke topp- eller bunnpunkter.

Krumningen skifter i \( {x = \dfrac{1}{4}}\text{,} \) \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og \( {x = \dfrac{3}{4}}\text{,} \) så der er det vendepunkter.

3. Finn høyden på grafen \( f(x) \) er arealet under grafen til \( f' \) fra \( 0 \) til \( x\text{,} \) som i videoen Hva er integrasjon: \[ f(x) = \int_0^x f'(t)\,dt \]

Vi anslår arealet med fire trapeser, som i videoen Trapesmetoden. Vi leser av \( {f' \approx 0{,}6 \text{, } 0{,}3 \text{ og } 0{,}1} \) i \( {x = \dfrac{1}{16}}\text{,} \) \( \dfrac{2}{16} \) og \( \dfrac{3}{16}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{4}\right) &\approx \dfrac{1}{16}\left(\tfrac{1}{2} + 0{,}6 + 0{,}3 + 0{,}1\right) \\ &\approx 0{,}09 \end{aligned} \]\( f' \) buer som en skål, så trapesene ligger litt over grafen, og vi runder ned.

De fire bitene ser ut til å ha like stort areal, siden de er speilbilder av hverandre: \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{2}\right) &\approx 0{,}18 \\ f\left(\dfrac{3}{4}\right) &\approx 0{,}27 \\ f(1) &\approx 0{,}36 \end{aligned} \]

Det gir skissen:

4. Skisser den dobbeltderiverte Fortegnet til \( f'' \) følger av hvor \( f' \) \( \textcolor{blue}{\text{synker}} \) og \( \textcolor{red}{\text{stiger}}\text{.} \) I \( {x = \dfrac{1}{4}} \) og \( {x = \dfrac{3}{4}} \) har \( f' \) sitt laveste punkt, med vannrett tangent: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f''(x)} &\textcolor{blue}{< 0} \text{ på } \left(0, \dfrac{1}{4}\right), \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}\right) \\ \textcolor{red}{f''(x)} &\textcolor{red}{> 0} \text{ på } \left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}\right), \left(\dfrac{3}{4}, 1\right) \\ f''(x) &= 0 \text{ i } x = \dfrac{1}{4},\ \dfrac{3}{4} \end{aligned} \]

\( f' \) er brattest ved spissene. Fra \( {x = 0} \) til \( {x = \dfrac{1}{20}} \) faller den fra omtrent \( 1 \) til omtrent \( 0{,}7\text{:} \) \[ f''(x) \approx \dfrac{0{,}7 - 1}{1/20} = -6 \text{ nær } x = 0 \]

Nær \( {x = \dfrac{1}{2}} \) fra venstre og \( {x = 1} \) er \( {f'' \approx 6}\text{.} \) Hvor krum buen er mellom disse, kan vi ikke lese nøyaktig av figuren.

I \( {x = \dfrac{1}{2}} \) har \( f' \) en spiss, så stigningstallet hopper fra omtrent \( 6 \) til omtrent \( {-6}\text{:} \) \[ f''\left(\dfrac{1}{2}\right) \text{ finnes ikke} \]