Universitetseksamen etter tema

Integranden er et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Så deriverer vi to ganger, finner en grense for \( |f''(x)| \) og setter den inn i feilformelen.

1. Regn ut integralet Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int_a^b \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}\,dx = \Big[\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v}\Big]_a^b - \int_a^b \textcolor{blue}{v}\textcolor{red}{u'}\,dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^{-x}} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I = {} & \Big[\textcolor{red}{x} \cdot (\textcolor{blue}{-e^{-x}})\Big]_0^2 \\ & - \int_0^2 (\textcolor{blue}{-e^{-x}}) \cdot \textcolor{red}{1}\,dx \\ = {} & \Big[-xe^{-x} - e^{-x}\Big]_0^2 \\ = {} & (-2e^{-2} - e^{-2}) - (0 - 1) \\ = {} & 1 - 3e^{-2} \end{aligned} \]

2. Deriver to ganger Produktregelen gir oss, som i videoen Produktregelen: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) \\ &= (1 - x)e^{-x} \end{aligned} \]

Vi bruker den en gang til, med \( {(e^{-x})' = -e^{-x}} \) fra kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \begin{aligned} f''(x) &= -e^{-x} + (1 - x)(-e^{-x}) \\ &= (x - 2)e^{-x} \end{aligned} \]

3. Vis grensen for den andrederiverte For \( x \in [0, 2] \) er \( {x - 2 \le 0}\text{,} \) og vi kan skrive: \[ |f''(x)| = (2 - x)e^{-x} \]

Begge faktorene er størst i \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 \le 2 - x &\le 2 \\ 0 < e^{-x} &\le 1 \end{aligned} \]

Ganger vi dem sammen, får vi: \[ |f''(x)| \le 2 \cdot 1 = 2 \]

4. Finn antall delintervaller Midtpunktmetoden er midt-Riemannsummen, som i videoen Riemann sum. Vi setter \( {\textcolor{green}{K = 2}} \) inn i feilgrensen og krever at den er mindre enn \( {10^{-2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{2^3 \cdot \textcolor{green}{2}}{24n^2} &< \dfrac{1}{100} \\ \dfrac{2}{3n^2} &< \dfrac{1}{100} \\ n^2 &> \dfrac{200}{3} \approx 66{,}7 \end{aligned} \]

Vi prøver hele tall: \[ 8^2 = 64 < 66{,}7 < 81 = 9^2 \]Så det minste antallet delintervaller vi kan garantere det med, er \( {n = 9}\text{.} \) Alle større \( n \) går også.

Vi ser \( \ln(x) \) inni integralet og den deriverte \( \dfrac{1}{x} \) ved siden av. Vi bruker derfor substitusjon, og tar det som er igjen med delvis integrasjon.

1. Bruk substitusjon Vi setter kjernen lik \( \textcolor{green}{t} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{t} &= \textcolor{green}{\ln(x)} \\ dt &= \dfrac{1}{x}\,dx \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \int \dfrac{\ln(\ln(x))}{x}\,dx = \int \ln(\textcolor{green}{t})\,dt \]

2. Bruk delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dt = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dt \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Vi skriver \( {\ln(t) = 1 \cdot \ln(t)}\text{,} \) som i vinket. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln(t)} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{t}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{t} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \ln(t)\,dt &= \textcolor{red}{\ln(t)} \cdot \textcolor{blue}{t} - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{t}} \cdot \textcolor{blue}{t}\,dt \\ &= t\ln(t) - \int 1\,dt \\ &= t\ln(t) - t + C \end{aligned} \]

3. Bytt tilbake til x Vi setter inn \( {\textcolor{green}{t} = \textcolor{green}{\ln(x)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{\ln(\ln(x))}{x}\,dx \\ &= \textcolor{green}{\ln(x)}\ln(\textcolor{green}{\ln(x)}) - \textcolor{green}{\ln(x)} + C \end{aligned} \]