Universitetseksamen etter tema

Dette er en homogen andreordens differensiallikning. Vi finner derfor røttene til den karakteristiske likningen og bruker startverdiene til å finne konstantene.

1. Finn røttene Den karakteristiske likningen er: \[ \textcolor{blue}{1} \cdot r^2 + \textcolor{red}{6}r + \textcolor{green}{9} = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ r = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andre ordens homogene diff ligninger TEORI.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{green}{c} &= \textcolor{green}{9} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i abc-formelen, får vi: \[ \begin{aligned} r &= \dfrac{-\textcolor{red}{6} \pm \sqrt{\textcolor{red}{6}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{9}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-6 \pm 0}{2} \\ &= -3 \end{aligned} \]

2. Skriv opp den generelle løsningen Vi får bare én rot, altså en dobbel rot. Da må den andre løsningen ha med en ekstra \( x\text{,} \) som i videoen Differensiallikning med dobbel rot: \[ y = C_1e^{rx} + C_2xe^{rx} \]

Med \( {r = -3} \) får vi: \[ y = C_1e^{-3x} + C_2xe^{-3x} \]

3. Bruk startverdiene Setter vi inn \( {y(0) = 1}\text{,} \) får vi: \[ C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = 1 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 1 \]

Vi trenger \( y'\text{.} \) Med kjerneregelen er \( {(e^{-3x})' = -3e^{-3x}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Det andre leddet er et produkt, så produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{C_2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{C_2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^{-3x}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-3e^{-3x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y' = {} & -3C_1e^{-3x} + \textcolor{red}{C_2}\textcolor{blue}{e^{-3x}} \\ & + \textcolor{red}{C_2x}\textcolor{blue}{(-3e^{-3x})} \end{aligned} \]

Setter vi inn \( {y'(0) = 1} \) og \( {C_1 = 1}\text{,} \) får vi: \[ -3 + C_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 4 \]