S1 eksamen våren 2022 – løsningsforslag

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 6 oppgaver

Oppgave 1

Flere oppgaver om potenser

Skriv uttrykket så enkelt som mulig.

(2a)^{-1} \cdot \left(\dfrac{b}{2}\right)^{-3} \cdot (a \cdot b)^3

Vis løsning

Svar

For

{a \neq 0}

{b \neq 0}

er uttrykket lik

\underline{\underline{4a^2}}

Vi ser at uttrykket er tre faktorer, og hver av dem er opphøyd i en potens. Vi skriver hver faktor uten parentes og ganger dem sammen til slutt.

1. Skriv hver faktor uten parentes Potensreglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} (p \cdot q)^n &= p^n \cdot q^n & p^{-n} &= \dfrac{1}{p^n} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoene Flere regneregler med Potenser og Regneregler med Potenser.

\( {\textcolor{blue}{(2a)^{-1}}} \) blir én delt på \( 2a\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{(2a)^{-1}} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2a}} \]

En brøk opphøyd i \( {-3} \) blir den omvendte brøken opphøyd i \( 3\text{,} \) som i videoen Oppgave 3: Forenkle uttrykket (brøk + negative potenser): \[ \textcolor{red}{\left(\dfrac{b}{2}\right)^{-3}} = \left(\dfrac{2}{b}\right)^3 = \textcolor{red}{\dfrac{8}{b^3}} \]

\( {\textcolor{green}{(a \cdot b)^3}} \) blir \( {\textcolor{green}{a^3 \cdot b^3}}\text{.} \)

2. Gang sammen og forkort Vi ganger faktorene sammen. \( \textcolor{darkorange}{b^3} \) står både oppe og nede, og \( {a^3 = a^2 \cdot \textcolor{darkorange}{a}}\text{,} \) så vi stryker \( \textcolor{darkorange}{b^3} \) og \( \textcolor{darkorange}{a}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2a}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{8}{b^3}} \cdot \textcolor{green}{a^3 b^3} &= \dfrac{8 \cdot a^2 \cdot \textcolor{darkorange}{a} \cdot \textcolor{darkorange}{b^3}}{2 \cdot \textcolor{darkorange}{a} \cdot \textcolor{darkorange}{b^3}} \\ &= \dfrac{8a^2}{2} = 4a^2 \end{aligned} \]

Oppgave 2

En fabrikk produserer strikkeluer. Dersom fabrikken produserer

x

luer en dag, vil produksjonskostnaden

E

per lue være gitt ved

E(x) = 0{,}2x + 40 + \dfrac{20\,000}{x}

Bestem

E'(100)\text{.}

Hva forteller dette tallet deg i denne situasjonen?

Vis løsning

Svar

Ved 100 luer om dagen synker kostnaden per lue med omtrent 1,80 kr for hver ekstra lue:

\underline{\underline{E'(100) = -1{,}8}}

\( E'(100) \) er hvor fort kostnaden per lue endrer seg når fabrikken lager 100 luer. Vi deriverer \( E \) ledd for ledd og setter inn \( {x = 100}\text{.} \)

1. Deriver ledd for ledd Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/Formler.

\( \textcolor{blue}{0{,}2x} \) derivert blir \( \textcolor{blue}{\underline{0{,}2}}\text{.} \)

\( 40 \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant.

\( \textcolor{red}{\dfrac{20\,000}{x}} \) skriver vi som \( {20\,000 \cdot x^{-1}}\text{.} \) Potensregelen med \( {n = -1} \) gir: \[ \begin{aligned} \left(20\,000 \cdot x^{-1}\right)' &= 20\,000 \cdot (-1) \cdot x^{-2} \\ &= \textcolor{red}{\underline{-\dfrac{20\,000}{x^2}}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ E'(x) = \textcolor{blue}{0{,}2} \textcolor{red}{{} - \dfrac{20\,000}{x^2}} \]

2. Sett inn og tolk svaret Vi setter inn \( {x = 100}\text{,} \) med \( {100^2 = 10\,000}\text{:} \) \[ \begin{aligned} E'(100) &= 0{,}2 - \dfrac{20\,000}{10\,000} \\ &= 0{,}2 - 2 = -1{,}8 \end{aligned} \]

Den deriverte sier hvor mye kostnaden per lue endrer seg per ekstra lue, som tolkningen i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Den er negativ, så kostnaden per lue synker. Når fabrikken lager 100 luer om dagen, blir hver lue altså omtrent 1,80 kroner billigere for hver ekstra lue de lager.

Oppgave 3

Flere oppgaver om grenseverdier

Bestem grenseverdien

\lim_{x \to 3} \dfrac{x - 3}{x^2 + x - 12}

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{\lim_{x \to 3} \dfrac{x - 3}{x^2 + x - 12} = \dfrac{1}{7}}}

Vi ser hvilken form brøken får når vi setter inn \( {x = 3}\text{.} \) Så faktoriserer vi nevneren og forkorter med \( {x - 3}\text{.} \)

1. Sett inn i teller og nevner Vi begynner med å sette inn \( {x = 3} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \text{Teller: } & 3 - 3 = 0 \\ \text{Nevner: } & 3^2 + 3 - 12 = 0 \end{aligned} \]Både telleren og nevneren blir \( 0\text{,} \) så innsetting gir formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \) Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så vi faktoriserer nevneren.

2. Faktoriser nevneren Et andregradsuttrykk med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives som: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er \( {a = 1}\text{,} \) \( {b = 1} \) og \( {c = -12}\text{.} \) Plugger vi dette inn i abc-formelen, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} \\ x &= \dfrac{-1 \pm 7}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x_1 = 3} \) og \( {x_2 = -4}\text{,} \) så nevneren blir: \[ x^2 + x - 12 = (\textcolor{darkorange}{x - 3})(x + 4) \]

3. Forkort og finn grenseverdien Så lenge \( x \) bare nærmer seg \( 3\text{,} \) er \( {x \neq 3}\text{,} \) og vi kan stryke \( {\textcolor{darkorange}{x - 3}} \) oppe mot \( {\textcolor{darkorange}{x - 3}} \) nede, som i videoen Grenseverdier: \[ \dfrac{\textcolor{darkorange}{x - 3}}{(\textcolor{darkorange}{x - 3})(x + 4)} = \dfrac{1}{x + 4} \]

Det nye uttrykket gir ikke lenger formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi setter inn \( {x = 3}\text{:} \) \[ \lim_{x \to 3} \dfrac{x - 3}{x^2 + x - 12} = \lim_{x \to 3} \dfrac{1}{x + 4} = \dfrac{1}{7} \]

Oppgave 4

Løs likningen

e^{2x} - e^x = 2

Vis løsning

Svar

{e^x = -1}

har ingen løsning, så likningen har én løsning:

\underline{\underline{x = \ln 2}}

Vi ser at \( {e^{2x} = \left(e^x\right)^2}\text{.} \) Vi gir \( e^x \) et nytt navn, \( u\text{,} \) og får en andregradslikning.

1. Skriv om til en andregradslikning En potensregel forteller oss at: \[ \left(e^x\right)^2 = e^{x \cdot 2} = e^{2x} \]

Vi setter \( {\textcolor{blue}{u} = \textcolor{blue}{e^x}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Løs likningen, og flytter 2 over på venstre side: \[ \begin{aligned} \left(\textcolor{blue}{e^x}\right)^2 - \textcolor{blue}{e^x} &= 2 \\ \textcolor{blue}{u}^2 - \textcolor{blue}{u} - 2 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}u^2 + \textcolor{red}{b}u + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{1 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-2})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ u &= \dfrac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {u = 2} \) eller \( {u = -1}\text{.} \)

3. Gå tilbake til x \( e^x \) er alltid positiv, så \( {e^x = -1} \) har ingen løsning. Da står vi igjen med \( {e^x = 2}\text{.} \) Vi tar \( \ln \) på begge sider, og siden \( {\ln\left(e^x\right) = x \cdot \ln e = x}\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer, får vi: \[ \begin{aligned} e^x &= 2 \\ x &= \ln 2 \end{aligned} \]

Oppgave 5

Flere oppgaver om logaritmer

Vi har gitt likningen

\lg(x + 3) + \lg x = \lg a

Bestem

a

slik at

{x = 7}

er en løsning av likningen.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{a = 70}}

At \( {x = 7} \) er en løsning, betyr at likningen stemmer når vi setter inn \( {x = 7}\text{.} \) Vi setter inn og slår sammen logaritmene på venstre side.

1. Sett inn løsningen Med \( {x = 7} \) blir \( {x + 3 = 10}\text{,} \) og likningen blir: \[ \lg \textcolor{blue}{10} + \lg \textcolor{red}{7} = \lg a \]

2. Slå sammen logaritmene Logaritmeregelen for et produkt forteller oss at: \[ \lg \textcolor{blue}{p} + \lg \textcolor{red}{q} = \lg(\textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q}) \quad \text{for } p, q > 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Med \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{10}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{7}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \lg(\textcolor{blue}{10} \cdot \textcolor{red}{7}) &= \lg a \\ \lg 70 &= \lg a \end{aligned} \]

To tall med samme logaritme er like, fordi \( \lg \) er voksende. Dermed vet vi at \( {a = 70}\text{.} \) Både \( {x = 7} \) og \( {x + 3 = 10} \) er positive, så logaritmene i likningen finnes.

Oppgave 6

En elev har skrevet programkoden nedenfor.

Oppgave 6a)

Forklar hva som skjer når programmet kjøres. Hva ønsker eleven å finne ut?

Vis løsning

Svar

Programmet kaster to terninger en million ganger og skriver ut andelen kast med sum 9, et anslag for:

\underline{\underline{P(\text{sum } 9) \text{ med to terninger}}}

Vi går gjennom programmet linje for linje og ser hva det teller. Til slutt skriver det ut en andel av mange forsøk, og den andelen er et anslag for en sannsynlighet.

1. Gå gjennom programmet Linje 1 henter funksjonen \( \texttt{randint(a, b)}\text{,} \) som gir et tilfeldig heltall fra og med a til og med b. Linje 4 setter antall forsøk til \( {\textcolor{red}{N} = \textcolor{red}{1\,000\,000}}\text{,} \) og linje 5 starter telleren \( \textcolor{blue}{\texttt{gunstige}} \) på 0.

Løkka i linje 7 til 11 går \( \textcolor{red}{N} \) ganger, som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 8 og 9 gir \( \texttt{a} \) og \( \texttt{b} \) hvert sitt tilfeldige tall fra 1 til 6, altså et kast med to terninger. Er summen 9, øker linje 10 og 11 telleren med 1.

2. Se hva som skrives ut Linje 13 skriver ut andelen av kastene der summen ble 9: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{\text{antall kast med sum } 9}}{\textcolor{red}{\text{antall kast}}} \]Med en million kast er denne andelen svært nær sannsynligheten for å få sum 9, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Eleven vil altså finne sannsynligheten for at summen av to terninger blir 9.

Oppgave 6b)

Bruk sannsynlighetsregning til å bestemme svaret som eleven ønsker å finne.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{P(\text{sum } 9) = \dfrac{1}{9}}}

Vi bruker fra a) at eleven vil finne sannsynligheten for sum 9 med to terninger.

To terninger gir 36 like sannsynlige utfall. Vi teller utfallene med sum 9 og deler på 36.

1. Tell de gunstige utfallene Hver terning kan vise 1 til 6, så det er \( {\textcolor{red}{6 \cdot 6} = \textcolor{red}{36}} \) mulige utfall, og alle er like sannsynlige. Summen blir 9 i disse utfallene: \[ (3, 6), \quad (4, 5), \quad (5, 4), \quad (6, 3) \]Det er \( \textcolor{blue}{4} \) gunstige utfall.

2. Regn ut sannsynligheten Når alle utfallene er like sannsynlige, er sannsynligheten antall gunstige delt på antall mulige, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{antall gunstige}}}{\textcolor{red}{\text{antall mulige}}} \]

Her er det \( \textcolor{blue}{4} \) gunstige og \( \textcolor{red}{36} \) mulige: \[ P(\text{sum } 9) = \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{36}} = \dfrac{1}{9} \]Programmet til eleven skriver altså ut et tall nær \( \dfrac{1}{9}\text{.} \)

Del 2

Med hjelpemidler · 7 oppgaver

Oppgave 1

Tabellen nedenfor viser antall gårdsbruk i Norge for noen gitte årstall.

\begin{array}{r|r} \text{År} & \text{Antall gårdsbruk} \\ \hline 1969 & 154\,977 \\ 1989 & 99\,382 \\ 1999 & 68\,539 \\ 2009 & 47\,688 \\ 2020 & 38\,633 \end{array}

Oppgave 1a)

Bruk opplysningene i tabellen, og bestem en modell som du mener egner seg til å si noe om antall gårdsbruk i Norge i årene framover. Begrunn ditt valg av modell.

Vis løsning

Svar

Med

x

år etter 1969,

a

avrundet til hele tall og

b

til fire desimaler:

\underline{\underline{f(x) \approx 160\,845 \cdot 0{,}9719^x}}

Vi ser at antallet synker med omtrent like mange prosent hvert år, mens nedgangen i antall har blitt mindre siden 1989. Det passer med en eksponentiell modell, som vi finner med regresjon.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Øv heller på å regne ut den årlige vekstfaktoren mellom to år i tabellen, og på å lage en eksponentiell modell gjennom det første og det siste punktet.

Metode: Med GeoGebra

1. Velg en type modell Vi lar \( x \) være antall år etter 1969. Fra 1969 til 1989 ble antallet ganget med \( {\dfrac{99\,382}{154\,977} \approx 0{,}64} \) på 20 år, fra 2009 til 2020 med \( {\dfrac{38\,633}{47\,688} \approx 0{,}81} \) på 11 år. Per år er det en nedgang på omtrent 2 til 4 prosent i hver periode, og siden 1989 har nedgangen i antall blitt mindre og mindre.

En eksponentiell modell \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x} \) med \( {\textcolor{red}{b} < 1} \) synker med like mange prosent hvert år, som når vekstfaktoren er mindre enn 1 i videoen Vekstfaktor. Den blir aldri negativ, men flater ut mot 0. En lineær modell synker med like mye hvert år og passer dårlig: lineær regresjon gir 0 gårdsbruk allerede rundt 2032.

2. Lag modellen med regresjon 1969 blir \( {x = 0}\text{,} \) 1989 blir \( {x = 20} \) og så videre, til 2020, som blir \( {x = 51}\text{.} \) Vi skriver \( x \) i kolonne A og antallet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Regresjon finner de tallene for \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = RegEksp(l1)

Det gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{160\,845}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}9719}}\text{.} \) Antallet gårdsbruk synker altså med omtrent \( {1 - 0{,}9719 \approx 2{,}8\,\%} \) per år. Grafen ligger nær alle fem punktene.

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret. Andre modeller kan også være riktige når valget er begrunnet.

Oppgave 1b)

Hvor mange gårdsbruk vil det være i Norge i 2060 ifølge modellen din? Vurder svaret.

Vis løsning

Svar

Ifølge modellen, avrundet til nærmeste tusen, og usikkert fordi det bygger på at nedgangen på 2,8 % per år fortsetter i 40 år til:

\underline{\underline{\text{omtrent } 12\,000 \text{ gårdsbruk}}}

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

2060 er \( {x = 2060 - 1969 = 91}\text{.} \) Vi setter inn i modellen og vurderer om en modell for 1969–2020 kan si noe om 2060.

Metode: Med kalkulator

1. Sett inn x = 91 I a) fant vi modellen: \[ f(x) \approx \textcolor{blue}{160\,845} \cdot \textcolor{red}{0{,}9719}^x \]

Vi setter inn \( {x = 91} \) og regner ut med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} f(91) &\approx \textcolor{blue}{160\,845} \cdot \textcolor{red}{0{,}9719}^{91} \\ &\approx 12\,022 \end{aligned} \]Modellen gir altså omtrent 12 000 gårdsbruk i 2060.

2. Vurder svaret 2060 ligger 40 år etter det siste tallet i tabellen, så svaret bygger på at nedgangen på 2,8 % per år fortsetter så lenge. Det er usikkert, som når gyldighetsområdet til en modell vurderes i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Fra 2009 til 2020 sank antallet med bare omtrent 1,9 % per år, og i 2020 ligger modellen litt under tabellen: \( {f(51) \approx 37\,600} \) mot \( 38\,633\text{.} \) Hvis nedgangen fortsetter å avta, blir det flere enn 12 000 gårdsbruk i 2060. Svaret er derfor bare et grovt anslag.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS Vi regner ut \( f(91) \) i CAS med modellen fra a), slik den er lagret med alle desimalene, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: f(2060 - 1969)

CAS gir \( 12\,061{,}1389\text{,} \) altså omtrent 12 000 gårdsbruk. Vurderingen er den samme som i kalkulatorruten.

Oppgave 1c)

I hvilket år vil antall gårdsbruk i Norge avta med ca. 1000 ifølge modellen din?

Vis løsning

Svar

Ifølge modellen avtar antallet med omtrent 1000 per år når

{x \approx 53{,}4}\text{:}

\underline{\underline{\text{I 2022}}}

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Hvor mye antallet avtar per år, er vekstfarten \( f'(x)\text{.} \) Vi setter \( {f'(x) = -1000}\text{,} \) løser for \( x \) og gjør \( x \) om til et årstall.

Metode: Med kalkulator

1. Deriver modellen I a) fant vi modellen \( {f(x) \approx \textcolor{blue}{160\,845} \cdot \textcolor{red}{0{,}9719}^x}\text{.} \) Vi regner med \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) og setter inn tallene til slutt. Vi skriver \( {\textcolor{red}{b}^x = e^{x \cdot \ln \textcolor{red}{b}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/Formler.

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x \cdot \ln b}} \) er \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\ln b}}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x \cdot \ln \textcolor{red}{b} \]

2. Sett den deriverte lik −1000 \( \ln \textcolor{red}{b} \) er negativ, fordi \( {\textcolor{red}{b} < 1}\text{.} \) Vi deler begge sider på \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \ln \textcolor{red}{b}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x \cdot \ln \textcolor{red}{b} &= -1000 \\ \textcolor{red}{b}^x &= \dfrac{-1000}{\textcolor{blue}{a} \cdot \ln \textcolor{red}{b}} \end{aligned} \]

Med tallene fra a) og \( {\ln \textcolor{red}{0{,}9719} \approx -0{,}028502} \) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} \cdot \ln \textcolor{red}{b} &\approx \textcolor{blue}{160\,845} \cdot (-0{,}028502) \\ &\approx -4584{,}4 \\ \textcolor{red}{0{,}9719}^x &\approx \dfrac{-1000}{-4584{,}4} \approx 0{,}2181 \end{aligned} \]

3. Løs med lg Vi tar \( \lg \) på begge sider og flytter \( x \) ned fra eksponenten, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ \begin{aligned} x \cdot \lg \textcolor{red}{0{,}9719} &\approx \lg 0{,}2181 \\ x &\approx \dfrac{\lg 0{,}2181}{\lg \textcolor{red}{0{,}9719}} \approx 53{,}4 \end{aligned} \]Det er \( {1969 + 53{,}4 = 2022{,}4}\text{,} \) altså i løpet av 2022.

Kontroll: Fra 2022 til 2023 avtar antallet med \( {f(53) - f(54) \approx 998}\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningen i CAS Vi løser \( {f'(x) = -1000} \) i CAS med modellen fra a), slik den er lagret med alle desimalene, med knappen ≈. I rad 2 ser vi hvor mye antallet avtar fra 2022, \( {x = 53}\text{,} \) til 2023:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(f'(x) = -1000, x) f(53) - f(54)

CAS gir \( {x \approx 53{,}4458}\text{,} \) altså i 2022. Fra 2022 til 2023 avtar antallet med omtrent 998.

Oppgave 2

Statistikk viser at 74 prosent av alle oppkjøringer til førerkort klasse B blir bestått.

17. juni 2022 skal 7 gutter og 5 jenter fra en videregående skole ha oppkjøring til førerkort klasse B.

Oppgave 2a)

Hva må vi gå ut fra i denne situasjonen for å kunne se på dette som et binomisk forsøk?

Vis løsning

Svar

Vi må gå ut fra at alle de 12 elevene består med samme sannsynlighet, 0,74, og at resultatene er uavhengige av hverandre:

\begin{aligned} &\underline{\underline{p = 0{,}74 \text{ for alle 12}}} \\ &\underline{\underline{\text{uavhengige resultater}}} \end{aligned}

Et binomisk forsøk har fire krav. Vi går gjennom dem ett for ett og ser hva de betyr for de 12 elevene.

Metode: For hånd

1. Gå gjennom de fire kravene Vi sjekker de fire kravene til en binomisk fordeling, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. To av kravene stemmer av seg selv: det er et fast antall forsøk, \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{12}} \) oppkjøringer, og hver oppkjøring har to utfall, bestått eller ikke bestått.

De to andre må vi gå ut fra. Sannsynligheten for å bestå er den samme for alle de 12 elevene, \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}74}}\text{,} \) både for guttene og jentene, selv om tallet gjelder alle oppkjøringer. Og resultatene er uavhengige: om én elev består, påvirker ikke det de andre. Det kan for eksempel slå feil hvis mange av dem har gått på samme kjøreskole.

Oppgave 2b)

Hva er sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består oppkjøringen?

Vis løsning

Svar

Med en binomisk fordeling,

{n = 12}

{p = 0{,}74}\text{,}

avrundet til tre desimaler:

\underline{\underline{P(X \ge 8) \approx 0{,}821}}

Antall elever som består, er binomisk fordelt med \( {n = 12} \) og \( {p = 0{,}74}\text{.} \) «Minst 8» er 8, 9, 10, 11 eller 12, så vi legger sammen de fem sannsynlighetene.

Metode: Med kalkulator

1. Skriv opp formelen La \( X \) være antall av de 12 elevene som består. Sannsynligheten for at nøyaktig \( k \) består, er: \[ P(X = k) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{k} \cdot \textcolor{red}{p}^k \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - k} \]Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{12}} \) og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}74}}\text{,} \) så \( {1 - \textcolor{red}{p} = 0{,}26}\text{.} \)

2. Regn ut de fem sannsynlighetene Vi setter inn \( {k = 8} \) til \( 12 \) og regner ut med kalkulatoren. For eksempel er \( {\binom{12}{8} = 495}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} P(X = 8) &= 495 \cdot \textcolor{red}{0{,}74}^8 \cdot 0{,}26^4 \\ &\approx 0{,}2034 \end{aligned} \]

På samme måte får vi, avrundet til fire desimaler: \[ \begin{aligned} P(X = 9) &\approx 0{,}2573 \\ P(X = 10) &\approx 0{,}2197 \\ P(X = 11) &\approx 0{,}1137 \\ P(X = 12) &\approx 0{,}0270 \end{aligned} \]

3. Legg sammen Slår vi dette sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ \begin{aligned} P(X \ge 8) &\approx 0{,}2034 + 0{,}2573 \\ &\quad + 0{,}2197 + 0{,}1137 \\ &\quad + 0{,}0270 \\ &\approx 0{,}8210 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS «Minst 8» er det motsatte av høyst 7. FordelingBinomial med true gir sannsynligheten for høyst 7, så vi trekker den fra 1, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(12, 0.74, 7, true)

CAS gir \( {P(X \ge 8) \approx 0{,}821}\text{.} \) Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra gir det samme, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Oppgave 2c)

Hva er sannsynligheten for at akkurat 5 av guttene og akkurat 4 av jentene består oppkjøringen?

Vis løsning

Svar

Sannsynligheten for at akkurat 5 gutter og 4 jenter består, avrundet til tre desimaler:

\underline{\underline{P \approx 0{,}123}}

Vi ser på guttene og jentene hver for seg: antall gutter som består, er binomisk fordelt med \( {n = 7}\text{,} \) og antall jenter med \( {n = 5}\text{.} \) De er uavhengige, så vi ganger de to sannsynlighetene.

Metode: Med kalkulator

1. Finn sannsynligheten for guttene La \( \textcolor{blue}{G} \) være antall gutter og \( \textcolor{red}{J} \) antall jenter som består. Hver for seg er de binomisk fordelt: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{G} = g) &= \binom{7}{g} \cdot 0{,}74^g \cdot 0{,}26^{7 - g} \\ P(\textcolor{red}{J} = j) &= \binom{5}{j} \cdot 0{,}74^j \cdot 0{,}26^{5 - j} \end{aligned} \]

For guttene er \( {g = 5}\text{,} \) og med \( {\binom{7}{5} = 21} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(G = 5)} &= 21 \cdot 0{,}74^5 \cdot 0{,}26^2 \\ &\approx \textcolor{blue}{0{,}3150} \end{aligned} \]

2. Finn sannsynligheten for jentene For jentene er \( {j = 4}\text{,} \) og med \( {\binom{5}{4} = 5} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{P(J = 4)} &= 5 \cdot 0{,}74^4 \cdot 0{,}26 \\ &\approx \textcolor{red}{0{,}3898} \end{aligned} \]

3. Gang sammen Guttene og jentene påvirker ikke hverandre, så sannsynligheten for begge deler er produktet, som når vi ganger sannsynligheter i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P &= \textcolor{blue}{P(G = 5)} \cdot \textcolor{red}{P(J = 4)} \\ &\approx \textcolor{blue}{0{,}3150} \cdot \textcolor{red}{0{,}3898} \approx 0{,}1228 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS FordelingBinomial med false gir sannsynligheten for nøyaktig et antall. Vi regner ut de to sannsynlighetene og ganger dem, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: g := FordelingBinomial(7, 0.74, 5, false) j := FordelingBinomial(5, 0.74, 4, false) g*j

CAS gir \( {P(G = 5) \approx 0{,}3150}\text{,} \) \( {P(J = 4) \approx 0{,}3898} \) og produktet omtrent 0,1228.

Oppgave 3

Knut har satt inn

70\,000

kroner på en konto med en fast månedlig rentesats. Beløpet

B

som Knut har på kontoen

x

måneder etter han satte inn pengene, er gitt ved

B(x) = 70\,000 \cdot 1{,}003^x

Oppgave 3a)

Bestem den årlige rentesatsen på denne kontoen.

Vis løsning

Svar

Avrundet til to desimaler:

\underline{\underline{3{,}66\,\% \text{ per år}}}

Vekstfaktoren per måned er \( 1{,}003\text{.} \) Et år er 12 måneder, så vekstfaktoren per år er \( 1{,}003^{12}\text{,} \) og den gir rentesatsen.

Metode: Med kalkulator

1. Finn vekstfaktoren per år Hver måned blir beløpet ganget med \( \textcolor{blue}{1{,}003}\text{.} \) Etter 12 måneder er det ganget med \( \textcolor{blue}{1{,}003} \) tolv ganger, som når vi opphøyer vekstfaktoren i tiden i videoen Vekstfaktor: \[ \textcolor{blue}{1{,}003}^{12} \approx \textcolor{red}{1{,}0366} \]

2. Gjør om til rentesats En vekstfaktor er \( 1 \) pluss rentesatsen som desimaltall: \[ \textcolor{red}{1{,}0366} = 1 + 0{,}0366 \]Rentesatsen er altså \( {0{,}0366 = 3{,}66\,\%}\text{.} \) Det er litt mer enn \( {12 \cdot 0{,}3\,\% = 3{,}6\,\%}\text{,} \) fordi renten hver måned også gir rente de neste månedene.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS Vi regner ut vekstfaktoren per år i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1.003^12

CAS gir \( 1{,}0366\text{,} \) altså en årlig rentesats på \( 3{,}66\,\%\text{.} \)

Oppgave 3b)

Hvor lang tid går det før han har

80\,000

kroner på denne kontoen?

Vis løsning

Svar

Med

{x \approx 44{,}6}

har han

80\,000

kroner etter 3 år og 9 måneder, altså

\underline{\underline{\text{etter } 45 \text{ måneder}}}

Vi setter \( {B(x) = 80\,000} \) og får \( x \) ned fra eksponenten med \( \lg\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp likningen Vi setter \( B(x) \) lik \( 80\,000 \) og deler begge sider på \( 70\,000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 70\,000 \cdot 1{,}003^{\textcolor{green}{x}} &= 80\,000 \\ 1{,}003^{\textcolor{green}{x}} &= \dfrac{8}{7} \end{aligned} \]

2. Løs med lg Vi tar \( \lg \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \lg\left(a^{\textcolor{green}{x}}\right) = \textcolor{green}{x} \cdot \lg a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{x} \) ned fra eksponenten, som i videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x} \cdot \lg 1{,}003 &= \lg \dfrac{8}{7} \\ \textcolor{green}{x} &= \dfrac{\lg\left(\dfrac{8}{7}\right)}{\lg 1{,}003} \approx 44{,}58 \end{aligned} \]Etter 44 måneder har han litt under \( 80\,000 \) kroner, og renten kommer hver måned. Han har altså \( 80\,000 \) kroner etter 45 måneder, som er 3 år og 9 måneder.

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(70000*1.003^x = 80000, x)

CAS gir \( {x \approx 44{,}5772}\text{,} \) altså etter 45 måneder.

Nøyaktig 24 måneder etter at Knut satte inn pengene på kontoen, setter han inn 2000 kroner i et aksjefond. Han fortsetter å sette inn 2000 kroner hver måned framover. Han regner med at aksjefondet vil gi en månedlig avkastning på 0,7 prosent.

T(x)

være den totale verdien av beløpet på kontoen og verdien i aksjefondet

x

måneder etter at han begynte å spare i aksjefondet.

Oppgave 3c)

Er funksjonen

T

kontinuerlig? Begrunn svaret.

Vis løsning

Svar

T

øker brått med 2000 kroner hver gang Knut setter inn penger i aksjefondet:

\underline{\underline{T \text{ er ikke kontinuerlig}}}

Hver måned setter Knut inn 2000 kroner på én gang, og da øker \( T \) brått. Vi ser på \( T \) rett før og rett etter et innskudd.

Metode: For hånd

1. Se på et innskudd Ta for eksempel innskuddet når \( {x = 1}\text{.} \) Rett før er verdien \( T \) uten det nye innskuddet, og i det han setter inn, kommer det 2000 kroner til: \[ \lim_{x \to 1^-} T(x) = \textcolor{blue}{T(1) - 2000} \]

2. Avgjør om T er kontinuerlig \( T \) er kontinuerlig i \( {x = 1} \) bare hvis grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 1^-} T(x) = \lim_{x \to 1^+} T(x) = T(1) \]Her er grenseverdien fra venstre \( \textcolor{blue}{2000} \) kroner mindre enn \( T(1)\text{.} \) Grafen gjør et sprang på 2000 kroner, som grafen i det første eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Det samme skjer ved hvert innskudd, når \( {x = 2}\text{,} \) \( {x = 3} \) og så videre. \( T \) er derfor ikke kontinuerlig.

Oppgave 3d)

Hvor lang tid vil det gå før

T(x)

blir større enn

200\,000

kroner?

Vis løsning

Svar

Med

{T(47) \approx 200\,218}

kroner blir verdien større enn

200\,000

kroner etter 3 år og 11 måneder, altså

\underline{\underline{\text{etter } 47 \text{ måneder}}}

Verdien vokser litt hver måned, og hver måned kommer det 2000 kroner til. Vi lar et program regne ut verdien måned for måned, til den blir større enn \( 200\,000 \) kroner.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive en while-løkke som regner ut en verdi måned for måned og stopper når et krav er oppfylt.

Metode: Med Python

1. Skriv programmet Når \( {x = 0}\text{,} \) har kontoen stått i 24 måneder, og han setter inn de første 2000 kronene i fondet. Hver måned etter det blir kontoen ganget med \( \textcolor{blue}{1{,}003} \) og fondet med \( \textcolor{red}{1{,}007}\text{,} \) og så kommer et nytt innskudd. Her er programmet, med utskriften:

2. Forklar programmet Linje 1 regner ut kontoen etter 24 måneder, \( {B(24) = 70\,000 \cdot 1{,}003^{24}}\text{,} \) og linje 2 er det første innskuddet i fondet. While-løkka i linje 5 til 8 går én måned fram hver gang, så lenge \( T \) er høyst \( 200\,000\text{,} \) som i videoen Oppgave 4C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 7 gir kontoen renten \( \textcolor{blue}{0{,}3\,\%}\text{,} \) og linje 8 gir fondet avkastningen \( \textcolor{red}{0{,}7\,\%} \) og legger til det nye innskuddet.

Programmet stopper på \( {x = 47}\text{,} \) med \( {T(47) \approx 200\,218} \) kroner. Rett før innskuddet den måneden er verdien bare omtrent \( {200\,218 - 2000 = 198\,218} \) kroner, så det er innskuddet når \( {x = 47} \) som tar verdien over \( 200\,000 \) kroner.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut T i CAS Etter \( x \) måneder har han satt inn \( {x + 1} \) beløp i fondet. Et innskudd som har stått i \( i \) måneder, er verdt \( {2000 \cdot 1{,}007^i}\text{,} \) og \( i \) går fra 0 (det nyeste) til \( x \) (det første). Verdien i fondet er summen av dem. Vi skriver \( T \) inn i CAS og regner ut verdien etter 46 og 47 måneder, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: T(x) := 70000*1.003^(x + 24) + Sum(2000*1.007^i, i, 0, x) T(46) T(47)

CAS gir \( {T(46) \approx 197\,183} \) og \( {T(47) \approx 200\,218}\text{.} \) Verdien blir altså større enn \( 200\,000 \) kroner når han setter inn penger etter 47 måneder.

Oppgave 4

I et spill kaster du tre terninger. Du multipliserer sammen antall øyne på terningene. Dersom dette produktet er større enn 100, vinner du.

Bestem sannsynligheten for å vinne ved å kjøre simuleringer. Husk å vise hvordan du kommer fram til svaret.

Vis løsning

Svar

Med

1\,000\,000

simulerte spill, avrundet til én desimal:

\underline{\underline{P(\text{vinne}) \approx 9{,}3\,\%}}

Vi lar et program kaste tre terninger svært mange ganger og telle hvor ofte produktet blir større enn 100. Andelen er omtrent sannsynligheten for å vinne.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive ett spill som en funksjon, og en løkke som teller.

Metode: Med Python

1. Skriv programmet Programmet har to deler: ett spill og mange spill. Her er det, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar ett spill Funksjonen \( \texttt{spill()} \) i linje 3 til 13 kaster tre terninger i linje 4 til 6. \( \texttt{np.random.randint(1, 7)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, fordi den øvre grensen ikke er med, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 8 ganger sammen øynene, og linje 10 sjekker om produktet er større enn 100.

3. Tell spillene vi vinner Løkka i linje 18 til 20 spiller \( \textcolor{red}{1\,000\,000} \) ganger og teller i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_seire}} \) hvor mange av dem vi vinner, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 22 regner ut andelen i prosent: \[ P(\text{vinne}) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{spill vi vant}}}{\textcolor{red}{\text{alle spill}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at vi vant i omtrent \( 9{,}27\,\% \) av spillene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 9{,}3\,\%\text{.} \)

Kontroll: Teller vi alle de 216 like sannsynlige utfallene, har 20 av dem produkt større enn 100, så \( {P(\text{vinne}) = \dfrac{20}{216} = \dfrac{5}{54}}\text{,} \) omtrent \( 9{,}26\,\%\text{.} \)

Oppgave 5

Figuren nedenfor viser et rektangel som er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant. Trekanten har hjørner i

{(-2, 0)}\text{,}

(2, 0)

(0, 2)\text{.}

Arealet

T

av rektangelet er avhengig av hvor på kateten punktet

P(a, b)

blir plassert.

Bestem den største verdien

T

kan ha.

Vis løsning

Svar

Arealet er størst når

{a = 1}

{b = 1}\text{:}

\underline{\underline{T = 2}}

Rektangelet har bredde \( 2a \) og høyde \( b\text{,} \) og \( P \) ligger på kateten. Vi skriver arealet som en funksjon av \( a \) og finner toppunktet, der den deriverte er null.

Metode: For hånd

1. Skriv arealet med a Kateten går gjennom \( (0, 2) \) og \( (2, 0)\text{,} \) så den har stigningstall \( {-1} \) og skjærer \( y \)-aksen i 2: \[ y = -x + 2 \]Punktet \( P(a, b) \) ligger på kateten, så \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2 - a}}\text{.} \)

Det andre øvre hjørnet ligger i samme høyde på den andre kateten, \( {y = x + 2}\text{,} \) altså i \( {x = b - 2 = -a}\text{.} \) Rektangelet går derfor fra \( {-a} \) til \( a \) og har bredde \( \textcolor{blue}{2a}\text{.} \) Arealet er bredde ganger høyde: \[ \begin{aligned} T(a) &= \textcolor{blue}{2a} \cdot (\textcolor{red}{2 - a}) \\ &= 4a - 2a^2 \end{aligned} \]Her er \( {0 < a < 2}\text{.} \)

2. Finn toppunktet Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/Formler: \[ T'(a) = 4 - 4a \]

Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} 4 - 4a &= 0 \\ a &= 1 \end{aligned} \]Tallet foran \( a^2 \) er negativt, \( {-2}\text{,} \) så grafen til \( T \) er en parabel som vender ned, og dette er et toppunkt.

3. Regn ut arealet Med \( {a = 1} \) er \( {b = 2 - 1 = 1}\text{,} \) og arealet blir: \[ T(1) = 2 \cdot 1 \cdot (2 - 1) = 2 \]Rektangelet er da 2 bredt og 1 høyt.

Metode: Med GeoGebra

1. Løs i CAS Vi skriver inn arealet fra den første ruten, \( {T(a) = 2a(2 - a)}\text{,} \) løser \( {T'(a) = 0} \) og regner ut \( T(1)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: T(a) := 2a*(2 - a) Løs(T'(a) = 0, a) T(1)

CAS gir \( {a = 1} \) og \( {T(1) = 2}\text{.} \) \( T \) er en parabel som vender ned, så det er det største arealet.

Oppgave 6

Ifølge Newtons avkjølingslov vil temperaturen

T

til et objekt etter

t

minutter være gitt ved

\ln(T - T_0) = -k \cdot t + r

hvor

T_0

er romtemperaturen, og der

k

r

er konstanter.

I et rom med temperatur

22\,^\circ\text{C}

setter vi en kopp med kaffe. Ved tidspunktet

{t = 0}

er temperaturen i kaffen

82\,^\circ\text{C}\text{.}

Etter 2 minutter er temperaturen

66\,^\circ\text{C}\text{.}

Hvor lang tid tar det før temperaturen i kaffen er mindre enn

40\,^\circ\text{C}\text{?}

Vis løsning

Svar

Temperaturen er under

40\,^\circ\text{C}

etter omtrent 7 minutter og 46 sekunder, avrundet til to desimaler:

\underline{\underline{t \approx 7{,}76 \text{ minutter}}}

Vi har to målinger og to ukjente konstanter. Vi setter inn målingene og finner \( r \) og \( k\text{,} \) og så løser vi ulikheten for \( t\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Finn r fra den første målingen Romtemperaturen er \( {T_0 = 22}\text{.} \) Ved \( {t = 0} \) er \( {T = 82}\text{,} \) og setter vi inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} \ln(82 - 22) &= -\textcolor{blue}{k} \cdot 0 + \textcolor{red}{r} \\ \textcolor{red}{r} &= \textcolor{red}{\ln 60} \end{aligned} \]

2. Finn k fra den andre målingen Ved \( {t = 2} \) er \( {T = 66}\text{,} \) så \( {T - 22 = 44}\text{.} \) Vi setter inn og løser for \( \textcolor{blue}{k}\text{.} \) \( \ln 60 \) og \( \ln 44 \) regner vi ut med ln-tasten på kalkulatoren, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln 44 &= -\textcolor{blue}{k} \cdot 2 + \textcolor{red}{\ln 60} \\ \textcolor{blue}{k} &= \dfrac{\textcolor{red}{\ln 60} - \ln 44}{2} \approx \textcolor{blue}{0{,}1551} \end{aligned} \]

3. Løs ulikheten for t Temperaturen er under \( 40 \) når \( {T - 22 < 18}\text{.} \) \( \ln \) er voksende, så det betyr \( {\ln(T - 22) < \ln 18}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\textcolor{blue}{k} \cdot t + \textcolor{red}{\ln 60} &< \ln 18 \\ \textcolor{red}{\ln 60} - \ln 18 &< \textcolor{blue}{k} \cdot t \end{aligned} \]

Vi deler på \( {\textcolor{blue}{k} > 0} \) og regner ut med alle desimalene fra kalkulatoren: \[ t > \dfrac{\textcolor{red}{\ln 60} - \ln 18}{\textcolor{blue}{k}} \approx \dfrac{1{,}2040}{\textcolor{blue}{0{,}1551}} \approx 7{,}76 \]Det er 7 minutter og \( {0{,}76 \cdot 60 \approx 46} \) sekunder.

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningene i CAS Vi setter inn den første målingen og får \( \textcolor{red}{r}\text{,} \) den andre og får \( \textcolor{blue}{k}\text{,} \) og løser så for \( t \) der temperaturen er 40, med knappen ≈ i rad 2 og 3:

Skriv inn i GeoGebra: r := ln(82 - 22) k := (r - ln(66 - 22))/2 Løs(ln(40 - 22) = -k*t + r, t)

CAS gir \( {\textcolor{blue}{k} \approx \textcolor{blue}{0{,}1551}} \) og \( {t \approx 7{,}7637}\text{.} \) Temperaturen synker hele tiden, fordi \( {\textcolor{blue}{k} > 0}\text{,} \) så etter dette er den under \( 40\,^\circ\text{C}\text{.} \)

Oppgave 7

Vi har gitt to funksjoner

f

g\text{.}

Nedenfor ser du grafene til funksjonene

f\text{,}

f'\text{,}

g

g'\text{.}

Du får vite at graf A enten er grafen til

f

eller grafen til

f'\text{.}

Argumenter for hvilken graf som hører til hvilken funksjon.

Vis løsning

Svar

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{A: } f \qquad \text{D: } f'}} \\ &\underline{\underline{\text{C: } g \qquad \text{B: } g'}} \end{aligned}

Der en funksjon har et topp- eller bunnpunkt, er den deriverte null og skifter fortegn. Vi bruker det til å se hvilke grafer som hører sammen, og begynner med graf A.

Metode: For hånd

1. Skriv opp sammenhengen Den deriverte \( f'(x) \) er stigningstallet til tangenten i punktet, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det betyr at: \[ \begin{aligned} f'(x) > 0 \quad &\Rightarrow \quad f \text{ stiger} \\ f'(x) < 0 \quad &\Rightarrow \quad f \text{ synker} \end{aligned} \]I et toppunkt eller bunnpunkt er \( {f'(x) = 0}\text{,} \) og \( f' \) skifter fortegn der, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

2. Bestem hva graf A er Hvis A var grafen til \( f'\text{,} \) ville \( f' \) gå fra pluss til minus i \( {x = 0}\text{.} \) Da måtte \( f \) ha et toppunkt i \( {x = 0}\text{.} \) Ingen av de andre grafene har det: B synker gjennom \( (0, 4)\text{,} \) C stiger gjennom origo, og D har et bunnpunkt i \( {x = 0}\text{.} \) A er derfor grafen til \( \textcolor{blue}{f}\text{.} \)

3. Finn grafen til f′ A har et toppunkt omtrent i \( {x = -1} \) og et bunnpunkt omtrent i \( {x = 1}\text{.} \) A stiger til venstre for \( {-1}\text{,} \) synker mellom \( {-1} \) og \( 1 \) og stiger til høyre for \( 1\text{.} \) Grafen til \( \textcolor{red}{f'} \) må altså være null i \( {x = -1} \) og \( {x = 1}\text{,} \) negativ mellom dem og positiv utenfor. Bare D er slik.

Det passer også at A synker brattest i origo, og at D har bunnpunktet \( {(0, -2)} \) der. D er grafen til \( \textcolor{red}{f'}\text{.} \)

4. Finn g og g′ B og C er da grafene til \( g \) og \( g'\text{.} \) B synker fra venstre kant til et bunnpunkt omtrent i \( {x = 2{,}9}\text{.} \) Var B grafen til \( g\text{,} \) måtte \( g' \) være negativ der, men C er positiv for alle \( {x > 0}\text{.} \) Altså er C grafen til \( \textcolor{blue}{g}\text{.} \)

C stiger fram til et toppunkt omtrent i \( {x = 1{,}4} \) og synker etterpå. B er positiv til venstre for omtrent \( {x = 1{,}4} \) og negativ til høyre, så B er grafen til \( \textcolor{red}{g'}\text{.} \) C er også bratt i origo, og der er \( {B = 4}\text{.} \)

Ferdig med settet? Se de andre S1-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.