Eksamensoppgaver etter tema

Den gjennomsnittlige vekstfarten er stigningstallet til linja gjennom grafen i \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Vi leser av funksjonsverdiene i figuren.

1. Les av funksjonsverdiene Grafen går gjennom rutepunktene \( (0, 4) \) og \( {(3,\ -0{,}5)}\text{:} \) \[ f(0) = 4 \qquad f(3) = -0{,}5 \]

2. Regn ut stigningstallet Den gjennomsnittlige vekstfarten fra \( {x = a} \) til \( {x = b} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) altså stigningstallet til den blå linja, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x}} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

Med \( {a = 0} \) og \( {b = 3} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} &= \dfrac{-0{,}5 - 4}{3} \\ \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} &= \dfrac{-4{,}5}{3} = \textcolor{blue}{-1{,}5} \end{aligned} \]I gjennomsnitt synker \( f \) med \( 1{,}5 \) for hver enhet \( x \) øker.

Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten i punktet. Vi tegner tangentene i \( {x = 0} \) og \( {x = 3} \) og leser av stigningstallene.

1. Tegn tangentene Tangenten er linja som berører grafen i punktet. Tar vi en linje gjennom punktet og et annet punkt på grafen, og lar det andre punktet gli mot punktet, blir linja til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Stigningstallet til tangenten er den deriverte, og det er den momentane vekstfarten.

2. Les av stigningstallene I \( {x = 0} \) har grafen et toppunkt i \( (0, 4)\text{.} \) Der er tangenten vannrett, den røde linja, så: \[ \textcolor{red}{f'(0) = 0} \]

I \( {x = 3} \) går den blå tangenten gjennom \( {(3,\ -0{,}5)} \) og \( (5,\ 2{,}5)\text{.} \) Den går 2 bortover og 3 opp: \[ \textcolor{blue}{f'(3)} \approx \dfrac{2{,}5 - (-0{,}5)}{5 - 3} = \dfrac{3}{2} = \textcolor{blue}{1{,}5} \]En tangent tegnet for hånd blir aldri helt nøyaktig, så svar nær \( 1{,}5 \) er også riktige.