Eksamensoppgaver etter tema

Formen i oppgaven er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre potensregresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver radiusen i kolonne A og volumet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør potensregresjon Potensregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = RegPot(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ V(x) = \textcolor{red}{a} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{31{,}9554}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{2{,}0968}}\text{.} \)

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Runder vi \( b \) av til \( 2{,}1\text{,} \) blir svaret i b) omtrent \( 308 \) i stedet for \( 307\text{,} \) og økningen i c) omtrent \( 329\,\% \) i stedet for \( 328\,\%\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( V'(4) \) er hvor fort volumet vokser når radien er \( 4 \) cm. Vi deriverer modellen med potensregelen og setter inn \( {x = 4}\text{.} \)

1. Deriver modellen I a) fant vi modellen: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}96} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}097}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt.

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^{\textcolor{blue}{n}})' = \textcolor{blue}{n} \cdot x^{\textcolor{blue}{n} - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{b}}\text{.} \) Konstanten \( \textcolor{red}{a} \) står ganget med potensen, så den blir stående: \[ V'(x) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot x^{\textcolor{blue}{b} - 1} \]

2. Sett inn tallene Plugger vi inn tallene fra svaret i a), får vi: \[ \begin{aligned} V'(4) &\approx \textcolor{red}{31{,}96} \cdot \textcolor{blue}{2{,}097} \cdot 4^{\textcolor{blue}{2{,}097} - 1} \\ V'(4) &\approx 306{,}7 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Radien \( x \) er i cm og volumet i mL, så \( V'(4) \) er i mL per cm. Når radien er \( 4 \) cm, øker volumet med omtrent \( 307 \) mL for hver centimeter radien øker.

1. Regn ut den deriverte I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}9554} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}0968}} \]Vi skriver den deriverte i \( {x = 4} \) inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: d = V'(4)

GeoGebra gir \( {V'(4) \approx 306{,}5292}\text{,} \) altså omtrent \( 307 \) mL per cm.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter inn \( 2x \) i stedet for \( x \) i modellen og sammenligner med \( V(x)\text{.} \) Svaret blir det samme for alle radier.

1. Sett inn den doble radien I a) fant vi modellen: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}96} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}097}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt. Med radien \( 2x \) blir volumet \( {V(2x) = \textcolor{red}{a} \cdot (2x)^{\textcolor{blue}{b}}}\text{.} \)

En potens av et produkt er produktet av potensene: \[ (2 \cdot x)^{\textcolor{blue}{b}} = 2^{\textcolor{blue}{b}} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} V(2x) &= 2^{\textcolor{blue}{b}} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} \\ V(2x) &= 2^{\textcolor{blue}{b}} \cdot V(x) \end{aligned} \]

2. Regn ut faktoren Med \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{2{,}097}} \) fra svaret i a) gir kalkulatoren: \[ 2^{\textcolor{blue}{2{,}097}} \approx 4{,}28 \]Volumet blir altså omtrent \( 4{,}28 \) ganger så stort. Det øker med \( {4{,}28 - 1 = 3{,}28} \) ganger det første volumet, altså med omtrent \( 328\,\%\text{.} \)

1. Forenkle forholdet i CAS I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}9554} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}0968}} \]

Vi lar CAS forenkle \( \dfrac{V(2x)}{V(x)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Forenkle(V(2x)/V(x))

CAS gir \( 4{,}2777\text{,} \) uten noen \( x\text{.} \) Volumet blir omtrent \( 4{,}28 \) ganger så stort, uansett radius, og øker med omtrent \( 328\,\%\text{.} \)