Eksamensoppgaver etter tema

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør. Brøken i linje 9 kjenner vi igjen fra definisjonen av den deriverte.

1. Les hva funksjonene regner ut Linje 1 og 2 definerer \( f\text{,} \) og linje 4 og 5 definerer \( \texttt{areal(x)}\text{.} \) Med \( {B = (x, 0)} \) er \( {AB = x} \) og \( {BC = f(x)}\text{,} \) så \( \texttt{areal(x)} \) er arealet av rektangelet \( ABCD\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{A(x)} = x \cdot (-x^2 + 4) = 4x - x^3 \]

Linje 7 til 9 regner ut brøken med \( {h = 0{,}0001}\text{.} \) Den er stigningstallet mellom to punkter på grafen til \( \textcolor{blue}{A} \) som ligger svært nær hverandre, så den er nesten den deriverte, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\texttt{der\_areal(x)}} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{A(x + h)} - \textcolor{blue}{A(x)}}{h} \\ &\approx A'(x) \end{aligned} \]

2. Finn ut når løkka stopper Løkka i linje 13 og 14 starter i \( {x = 0} \) og øker \( x \) med \( 0{,}01 \) så lenge \( {\textcolor{red}{\texttt{der\_areal(x + dx)}} > 0}\text{,} \) altså så lenge arealet fortsatt øker. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ A'(x) = 4 - 3x^2 \]Den er positiv for \( {x < \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547}\text{.} \)

Når \( {x = 1{,}14}\text{,} \) er \( {A'(1{,}15) \approx 0{,}03 > 0}\text{,} \) så \( x \) blir \( 1{,}15\text{.} \) Når \( {x = 1{,}15}\text{,} \) er \( {A'(1{,}16) \approx -0{,}04 < 0}\text{,} \) så løkka stopper.

3. Regn ut utskriften Linje 16 skriver ut arealet i \( {x = 1{,}15}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A(1{,}15)} &= 1{,}15 \cdot (4 - 1{,}15^2) \\ &= 1{,}15 \cdot 2{,}6775 \\ &= 3{,}079125 \end{aligned} \]Lars prøver altså å finne det største arealet rektangelet \( ABCD \) kan få. Toppunktet er i \( {x = \dfrac{2}{\sqrt{3}}}\text{,} \) så programmet treffer nesten.

1. Kjør programmet Kjører vi programmet, skriver det ut:

Det er \( 3{,}079125\text{.} \) Sifrene til slutt kommer av en liten avrundingsfeil i datamaskinen.

Vi bruker at \( \texttt{der\_areal(x)} \) er nesten den deriverte av arealet, som vi fant i a).

Programmet går fram i små steg og stopper når den deriverte av arealet ikke lenger er positiv. Vi ser når det gir det største arealet, og når det ikke gjør det.

1. Beskriv strategien Lars starter i \( {x = 0} \) og går fram i steg på \( 0{,}01 \) så lenge den deriverte av arealet er positiv, altså så lenge arealet øker. Når den deriverte blir 0 eller negativ, har arealet nådd toppen, og programmet skriver ut arealet der. Det er det samme som at toppunktet ligger der den deriverte skifter fra pluss til minus, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

2. Finn et moteksempel Strategien virker bare når arealet først øker og så minker. Et moteksempel er \( {f(x) = 4}\text{.} \) Da er arealet \( \textcolor{blue}{4x}\text{,} \) som øker hele tiden: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\texttt{der\_areal(x)}} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{4(x + h)} - \textcolor{blue}{4x}}{h} = 4 > 0 \end{aligned} \]Løkka stopper aldri. Har arealet flere toppunkter, stopper programmet i det første, og det trenger ikke å være det største.