Eksamensoppgaver etter tema

Den totale verdien vokser stadig raskere, omtrent med den samme prosenten hvert år. Vi leser av verdiene i figuren og lager en eksponentiell modell med regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Da kan vi lage en eksponentiell modell gjennom to punkter vi leser av, og øve på b) og c) med kalkulator.

1. Begrunn valget av modell Linja «Totalt» krummer oppover: verdien vokser mer for hvert år. Fra 1998 til 2008 økte den med omtrent 2 100 milliarder kroner, og fra 2014 til 2024 med omtrent 13 300. Fra 2008 til 2013, fra 2013 til 2019 og fra 2019 til 2024 ble verdien omtrent doblet hver gang. Når noe vokser med omtrent den samme prosenten hvert år, passer en eksponentiell modell: \[ O(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]der \( t \) er antall år etter 1998. En lineær modell passer ikke, fordi den vokser like mye hvert år.

2. Les av verdiene Vi leser av den totale verdien hvert år, avrundet til hele hundre milliarder kroner: \[ \begin{array}{rr|rr|rr} t & O & t & O & t & O \\ \hline 0 & 200 & 9 & 2000 & 18 & 7500 \\ 1 & 200 & 10 & 2300 & 19 & 8500 \\ 2 & 400 & 11 & 2600 & 20 & 8300 \\ 3 & 600 & 12 & 3100 & 21 & 10100 \\ 4 & 600 & 13 & 3300 & 22 & 10900 \\ 5 & 800 & 14 & 3800 & 23 & 12300 \\ 6 & 1000 & 15 & 5100 & 24 & 12500 \\ 7 & 1400 & 16 & 6400 & 25 & 15800 \\ 8 & 1800 & 17 & 7500 & 26 & 19700 \end{array} \]

Vi skriver \( t \) i kolonne A og verdiene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

3. Kjør eksponentiell regresjon Regresjonen finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp formen \( {\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^x}\text{,} \) med \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = RegEksp(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen: \[ O(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{344{,}70}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}1786}}\text{.} \) Vekstfaktoren betyr at verdien vokser med omtrent \( 18\,\% \) per år i modellen, og grafen følger punktene omtrent i hele perioden. Leser du av litt andre verdier, får du litt andre tall for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) og det er også riktig.

\( V(20) \) er verdien 20 år etter 1998, altså i 2018. \( V'(20) \) er hvor fort verdien vokser da, i milliarder kroner per år.

1. Regn ut verdien Vi setter \( {t = 20} \) inn i modellen: \[ V(20) = 330 \cdot 1{,}1787^{20} \approx 8842{,}59 \]

2. Deriver modellen Siden \( {1{,}1787 = e^{\ln 1{,}1787}}\text{,} \) kan vi skrive potensen med \( e\text{:} \) \[ 1{,}1787^t = e^{\textcolor{green}{t \cdot \ln 1{,}1787}} \]

Kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{t \cdot \ln 1{,}1787}}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\ln 1{,}1787}}\text{,} \) et tall. Det gir oss: \[ V'(t) = 330 \cdot 1{,}1787^t \cdot \textcolor{green}{\ln 1{,}1787} \]

Med \( {V(20) \approx 8842{,}59} \) og \( {\textcolor{green}{\ln 1{,}1787} \approx \textcolor{green}{0{,}164412}} \) er: \[ \begin{aligned} V'(20) &\approx 8842{,}59 \cdot \textcolor{green}{0{,}164412} \\ &\approx 1453{,}83 \end{aligned} \]

3. Tolk svarene \( {V(20) \approx 8843}\text{:} \) ifølge modellen var oljefondet verdt omtrent 8 843 milliarder kroner i 2018.

\( {V'(20) \approx 1454}\text{:} \) den deriverte er vekstfarten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. I 2018 økte verdien altså med omtrent 1 454 milliarder kroner per år.

1. Regn ut i Algebrafeltet Vi skriver inn modellen og regner ut verdien og den deriverte i \( {t = 20}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = 330*1.1787^x v_1 = V(20) d_1 = V'(20)

GeoGebra gir \( {V(20) \approx 8842{,}5925} \) og \( {V'(20) \approx 1453{,}8295}\text{.} \) I 2018 var verdien omtrent 8 843 milliarder kroner, og den økte med omtrent 1 454 milliarder kroner per år.

Den gjennomsnittlige vekstfarten er endringen i verdi delt på endringen i tid. Vi regner ut den for begge intervallene og sammenligner.

1. Regn ut de to vekstfartene Den gjennomsnittlige vekstfarten fra \( {t = r} \) til \( {t = s} \) er stigningstallet til linja mellom de to punktene på grafen, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta V}{\Delta t} = \dfrac{V(s) - V(r)}{s - r} \]

Med \( {V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^t} \) er: \[ \begin{aligned} V(0) &= 330 \\ V(10) &\approx 1708{,}23 \\ V(16) &\approx 4581{,}07 \\ V(26) &\approx 23\,713{,}70 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\dfrac{V(10) - V(0)}{10 - 0}} &\approx \dfrac{1378{,}23}{10} \\ &\approx \textcolor{blue}{137{,}8} \\ \textcolor{red}{\dfrac{V(26) - V(16)}{26 - 16}} &\approx \dfrac{19\,132{,}63}{10} \\ &\approx \textcolor{red}{1913{,}3} \end{aligned} \]

2. Sammenlign Vi deler den siste på den første: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1913{,}3}}{\textcolor{blue}{137{,}8}} \approx 13{,}9 \]Fra 1998 til 2008 vokste verdien i gjennomsnitt med omtrent 138 milliarder kroner per år. Fra 2014 til 2024 vokste den med omtrent 1 913 milliarder kroner per år, nesten 14 ganger så mye.

1. Regn ut i CAS Vi skriver inn modellen og regner ut de to brøkene med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: V(t) := 330*1.1787^t (V(10) - V(0))/10 (V(26) - V(16))/10

CAS gir \( 137{,}8232 \) og \( 1913{,}2634\text{.} \) Den gjennomsnittlige vekstfarten er nesten 14 ganger så stor i \( [16, 26] \) som i \( [0, 10]\text{.} \)

Vi ser på hvordan tallene endrer seg fra år til år. Endrer de seg med omtrent like mye hvert år, passer en lineær modell. Endrer de seg med omtrent samme prosent, passer en eksponentiell modell.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Øv heller på å lage modellene fra to av årene: en rett linje for bensin, og vekstfaktoren for elbilene med en rot, for eksempel \( {\left(\dfrac{5363}{557}\right)^{\tfrac{1}{7}} \approx 1{,}38} \) fra 2015 til 2022.

1. Velg modellene Bensinbilene blir færre hvert år, med mellom 193 og 895 biler, i snitt omtrent 457 per år. Nedgangen er omtrent like stor hvert år, så vi velger en lineær modell for bensin.

Elbilene blir stadig flere. Fram til 2015 var det få elbiler, og antallet ble mellom 1,8 og 7 ganger så stort hvert år. Fra 2015 ble det mellom 1,33 og 1,43 ganger så stort hvert år, altså omtrent samme prosent. Da er antallet startverdien ganget med en fast vekstfaktor én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. Vi velger derfor en eksponentiell modell for elbilene, fra 2015, da \( {t = 5}\text{.} \)

2. Lag modellene med regresjon Vi skriver \( t \) og bensintallene i regnearket og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Det samme gjør vi med elbilene fra 2015. Regresjonen finner den linja og den eksponentialfunksjonen som går nærmest punktene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: B(x) = RegLin(l1) E(x) = RegEksp(l2)

GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{.} \) Det gir modellene: \[ \begin{aligned} B(t) &\approx \textcolor{blue}{-451{,}79}t + 14\,243{,}25 \\ E(t) &\approx 107{,}76 \cdot \textcolor{red}{1{,}3868}^t \end{aligned} \]Bensinbilene blir omtrent \( \textcolor{blue}{452} \) færre hvert år, og elbilene blir omtrent \( \textcolor{red}{39\,\%} \) flere hvert år fra 2015. Andre begrunnede modeller kan også være riktige, for eksempel en andregradsfunksjon for elbilene.

Vi bruker modellene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hva modellene sier om noen år, og sammenligner med hvor mange biler som finnes.

1. Se på bensinmodellen I a) fant vi modellen: \[ B(t) \approx \textcolor{blue}{-452}t + \textcolor{blue}{14\,243} \]Den gir \( {B(t) = 0} \) når \[ t = \dfrac{\textcolor{blue}{14\,243}}{\textcolor{blue}{452}} \approx 31{,}5 \]Ifølge modellen er bensinbilene borte rundt 2041. Etter det gir den et negativt antall, så den kan ikke brukes så langt. Nedgangen vil trolig også endre seg når det blir færre bensinbiler igjen.

2. Se på elbilmodellen I a) fant vi modellen: \[ E(t) \approx 107{,}8 \cdot \textcolor{red}{1{,}387}^t \]Vekstfaktoren \( {\textcolor{red}{1{,}387} = 1 + 0{,}387} \) betyr at elbilene blir omtrent \( 39\,\% \) flere hvert år, som i videoen Vekstfaktor. I 2030 er \( {t = 20}\text{:} \) \[ E(20) \approx 107{,}8 \cdot \textcolor{red}{1{,}387}^{20} \approx 74\,800 \]

I 2022 var det til sammen dette antallet personbiler i Moss: \[ \begin{aligned} &8705 + 8533 + 0 \\ &+ 2 + 5363 + 3414 \\ &= 26\,017 \end{aligned} \]Modellen gir nesten tre ganger så mange elbiler i 2030. Så mange biler blir det ikke, så veksten må flate ut. Den eksponentielle modellen gjelder derfor bare noen få år framover.

1. Bruk modellene i GeoGebra I a) lagret vi modellene som \( B \) og \( E \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi finner nullpunktet til \( B \) og regner ut \( E(20)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: N = Nullpunkt(B) e = E(20)

Nullpunktet er \( {N \approx (31{,}5266,\ 0)}\text{,} \) altså rundt 2041, og \( {E(20) \approx 74\,578}\text{:} \) nesten tre ganger alle de 26 017 personbilene i Moss i 2022.